Continuous random variables

簡介：歡迎來到連續變數的世界

各位未來的統計學家，你們好！單元 S2 將帶領大家進入連續隨機變數 (Continuous Random Variables) 的精彩世界。你們在 S1 已經熟練掌握了「離散隨機變數」，也就是統計那些可以「數」出來的項目（例如擲硬幣的正面次數：0, 1, 2 等等）。

在這一章，我們要將焦點轉向「測量」——比如時間、高度、重量或溫度。這些測量值可以在一個範圍內取任何數值，而不僅僅是特定的整數。

這一章至關重要，因為它將統計學與微積分（積分與微分）結合在一起。別擔心！我們會一步步拆解每一個概念。掌握這些計算方法後，你將能解鎖強大的預測能力！

快速複習：離散 vs. 連續

• 離散 (Discrete)：數值是可數的。機率定義在確定的點上：\(P(X = x)\)。
• 連續 (Continuous)：數值是在一個範圍內可測量的。機率定義在區間之上。

第 1 節：認識連續隨機變數 (CRVs)

什麼是 CRV？

連續隨機變數 (Continuous Random Variable, CRV)，通常以 \(X\) 表示，是指可以在指定區間或多個區間內取任意值的變數。

它與離散變數的主要區別在於我們如何處理機率：

零機率規則

對於任何連續隨機變數 \(X\)，變數取某個精確單一點值的機率永遠為零。

\[P(X = x) = 0\]

類比：試想你要射中一個連續線段上的目標。你擊中精確點 3.000000000... 的機率是多少？這個機率小到無限趨近於零，所以我們直接將其視為零。

核心含義：由於擊中精確點的機率為零，所以在計算區間機率時，是否包含端點完全沒有影響：

\[P(a \le X \le b) = P(a < X < b) = P(a \le X < b)\]

與離散變數相比，這簡化了不少工作！

第 2 節：機率密度函數 (PDF) – \(f(x)\)

由於我們不能將機率分配給單一點，我們使用一個函數來描述機率如何在一個範圍內「分佈」。這就是機率密度函數 (Probability Density Function, PDF)，記作 \(f(x)\)。

你可以把 PDF 想成機率分佈的形狀。在 \(f(x)\) 較高的地方，該變數出現的機率就越高。

PDF \(f(x)\) 的性質

要成為有效的 PDF，\(f(x)\) 必須滿足兩個基本規則：

1. 非負性：密度函數絕不能為負數。 \[f(x) \ge 0 \quad \text{對於所有 } x\]
2. 總面積為一：曲線 \(f(x)\) 下方的總面積必須等於 1，這代表總機率 (100%)。 \[\int_{\text{所有 } x} f(x) \, dx = 1\]

使用 PDF 計算機率

機率可以通過計算 \(f(x)\) 在目標區間內的曲線下面積得出。這意味著我們需要使用積分。

變數 \(X\) 落在 \(a\) 和 \(b\) 之間的機率為：

\[P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\]

逐步教學：尋找未知常數 (k)

通常 PDF 會以 \(f(x) = kx^2\)（在特定區間內）的形式給出，你需要求出 \(k\)。

1. 設定積分：使用「總面積規則」（性質 2）。 \[\int_{\text{下限}}^{\text{上限}} f(x) \, dx = 1\]
2. 積分並代入極限：對該函數關於 \(x\) 進行積分。
3. 解出 k：將結果設為 1 並解方程式。

步驟 1 的重要提示：只對 \(f(x)\) 非零的範圍進行積分。如果 \(f(x)\) 定義在 \(1 \le x \le 3\)，你的積分上下限就是 1 和 3。

第 3 節：累積分布函數 (CDF) – \(F(x)\)

PDF 告訴我們某一點的密度，而累積分布函數 (Cumulative Distribution Function, CDF) 則告訴我們累積到某個數值 \(x\) 為止的總機率。

定義與計算

CDF 記作 \(F(x)\)，定義為隨機變數 \(X\) 小於或等於特定值 \(x\) 的機率。

\[F(x) = P(X \le x) = \int_{\text{最小值}}^{x} f(t) \, dt\]

注意：我們在積分內使用 \(t\) 作為虛擬變數，以避免與上限 \(x\) 混淆。

CDF \(F(x)\) 的性質

1. \(F(x)\) 是一個非遞減函數（隨著 \(x\) 增加，機率只會增加或保持不變）。
2. 在分佈的起點（下限 L）：\(F(L) = 0\)。
3. 在分佈的終點（上限 U）：\(F(U) = 1\)。

PDF 與 CDF 的關係：微積分是你的好朋友

這兩個函數通過微積分基本定理聯繫在一起：

1. PDF \(\to\) CDF：對 \(f(x)\) 進行積分以求出 \(F(x)\)。
2. CDF \(\to\) PDF：對 \(F(x)\) 進行微分以求出 \(f(x)\)。 \[f(x) = \frac{d}{dx} F(x)\]

記憶小撇步：在字母表中，C 排在 P 後面。如果你從 F(x) 回到 f(x)（字母表倒退），你需要微分（較簡單的運算）。如果你從 f(x) 到 F(x)（字母表前進），你需要積分（較複雜的運算）。

使用 CDF 找區間機率

一旦你有了 \(F(x)\)，求區間機率只需簡單的減法：

\[P(a < X < b) = F(b) - F(a)\]

這通常比再次對 PDF 進行積分要快得多！

避免常見錯誤！

當使用積分計算 \(F(x)\) 時，千萬別忘了加上 +C（積分常數）（如果你進行的是不定積分）。你可以通過邊界條件 \(F(\text{下限}) = 0\) 來求出 C。

第 4 節：位置測量（平均值、中位數、眾數）

就像任何數據集一樣，我們需要找出分佈的中心和典型值。

1. 平均值（期望值，\(\mu\) 或 \(E(X)\)）

平均值代表如果你對變數進行多次抽樣後所預期的平均值。它是分佈的重心。

對於連續變數，期望值的計算公式如下：

\[E(X) = \mu = \int_{\text{所有 } x} x \cdot f(x) \, dx\]

你知道嗎？這是離散公式 \(\sum x P(X=x)\) 的連續版本。在這裡，積分取代了求和，而 \(f(x) \, dx\) 取代了 \(P(X=x)\)。

2. 中位數 (\(m\))

中位數是將機率分佈精確分為兩半的數值 \(m\)。分佈中 50% 的部分低於 \(m\)，50% 高於 \(m\)。

要找到中位數 \(m\)，你需要解以下其中一個方程式：

使用 CDF： \[F(m) = 0.5\]

使用 PDF： \[\int_{\text{下限}}^{m} f(x) \, dx = 0.5\]

給同學的小撇步：如果你已經算出了 CDF \(F(x)\)，那麼找中位數通常更容易。只需將 \(F(x)\) 的表達式設為 0.5 並解出 \(x\) 即可。

3. 眾數

眾數是 \(X\) 的值，使得機率密度函數 \(f(x)\) 達到其最高點（曲線的峰值）。

尋找眾數（無需微積分）：
如果 \(f(x)\) 的形狀簡單（例如常數或直線），通過觀察或在範圍邊界即可找到眾數。

尋找眾數（使用微積分）：
如果 \(f(x)\) 是複雜曲線（例如二次或三次函數）：

1. 微分 PDF：求出 \(f'(x)\)。
2. 將導數設為零：\(f'(x) = 0\)。
3. 解出 \(x\)。
4. 檢查邊界，並使用二階導數檢定（或觀察法）確保這是最大值，而不是最小值。

第 5 節：離散度測量（變異數與標準差）

離散度測量告訴我們數據圍繞平均值的集中或分散程度。

\(X^2\) 的期望值

在計算變異數之前，必須先計算 \(X^2\) 的期望值，記作 \(E(X^2)\)。其計算方式類似 \(E(X)\)，但我們要積分 \(x^2 f(x)\)。

\[E(X^2) = \int_{\text{所有 } x} x^2 \cdot f(x) \, dx\]

變異數 (\(Var(X)\) 或 \(\sigma^2\))

變異數測量的是距離平均值的平方平均距離。它定義為著名的恆等式：

\[Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\]

變異數計算步驟：

1. 使用 \(\int x f(x) \, dx\) 計算 \(E(X) = \mu\)。
2. 使用 \(\int x^2 f(x) \, dx\) 計算 \(E(X^2)\)。
3. 將結果代入變異數公式：\(E(X^2) - (\mu)^2\)。

標準差 (\(\sigma\))

標準差是變異數的平方根。我們通常更偏好使用標準差，因為它的單位與隨機變數 \(X\) 相同。

\[\sigma = \sqrt{Var(X)}\]

你現在已經涵蓋了連續隨機變數的所有核心概念！記住，多做積分練習是這一章成功的關鍵。