歡迎來到微分的世界：掌握變化率！
你好，未來的數學家！你已經進入了 P4 單元，這裡的微分將會變得更加強大。在之前的單元（P3）中，你已經學會了計算斜率的基礎知識；現在，我們要開始處理那些巢狀、相乘、相除，或是由其他變數定義的函數了。
為什麼這很重要？ 微分是微積分的基石。工程師利用它來模擬水的流速，經濟學家利用它來尋找最大利潤，物理學家則利用它來計算瞬時速度和加速度。掌握這些進階規則，你將有能力解決複雜的現實世界問題。
如果有些部分一開始看起來很棘手，別擔心！我們會將每個規則拆解成簡單易懂的步驟，並附上記憶技巧和例題！
1. 重溫基礎（P3 預備知識速覽）
在進入 P4 之前，我們先快速回顧核心概念與符號：
- 導數 \( \frac{dy}{dx} \) 代表曲線 \(y = f(x)\) 上切線的瞬時變化率或斜率。
- 冪法則複習： 若 \( y = ax^n \)，則 \( \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \)。
現在，我們要建立一套工具箱，來處理那些看起來不像簡單冪函數的函數！
2. 連鎖律（Chain Rule）：函數的複合微分
概念：洋蔥類比
當一個函數「嵌套」在另一個函數裡面時，我們就會用到連鎖律。想像剝洋蔥的過程：
你必須先微分外層，保持內層不變，然後再乘上內層的導數。
連鎖律公式（正式定義）
若 \( y \) 是 \( u \) 的函數，而 \( u \) 是 \( x \) 的函數，則：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]
簡化技巧（實戰規則）
若 \( y = f(g(x)) \)：
\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
第一步： 微分外層函數，保持內層函數完全不動。
第二步： 將結果乘以內層函數的導數。
範例：微分 \( y = (3x^2 + 5)^4 \)。
在這裡，外層函數是 \( (\cdot)^4 \)，內層是 \( 3x^2 + 5 \)。
- 外層： 把 4 拿下來，冪次減 1： \( 4(3x^2 + 5)^3 \)。
- 內層： 微分內部： \( \frac{d}{dx}(3x^2 + 5) = 6x \)。
- 相乘： \( \frac{dy}{dx} = 4(3x^2 + 5)^3 \cdot (6x) = 24x(3x^2 + 5)^3 \)。
連鎖律要點總結
連鎖律對於複合函數至關重要，特別是在處理高次方、三角函數（如 \( \sin(2x) \)）或指數函數（如 \( e^{x^2} \)）時。
3. 乘法法則（Product Rule）：兩個函數相乘
如果你有兩個 \(x\) 的函數相乘（例如 \( x^2 \sin x \)），你不能直接分別微分。你需要使用乘法法則。
乘法法則公式
若 \( y = uv \)，其中 \( u \) 和 \( v \) 皆為 \( x \) 的函數：
\[ \frac{dy}{dx} = v \frac{du}{dx} + u \frac{dv}{dx} \]
記憶輔助（口訣）
記住：後乘前導加前乘後導。
步驟流程
範例：微分 \( y = x^3 \cos x \)。
- 定義 u 和 v：
\( u = x^3 \)
\( v = \cos x \) - 找出導數：
\( \frac{du}{dx} = 3x^2 \)
\( \frac{dv}{dx} = -\sin x \) - 代入公式 \( v \frac{du}{dx} + u \frac{dv}{dx} \)：
\( \frac{dy}{dx} = (\cos x)(3x^2) + (x^3)(-\sin x) \) - 化簡：
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x \)
常見錯誤： 初學者常犯的錯誤是分別微分 \(u\) 和 \(v\) 再相乘。 \( \frac{d}{dx}(uv) \neq \frac{du}{dx} \frac{dv}{dx} \)。你一定要使用完整的乘法法則！
4. 除法法則（Quotient Rule）：兩個函數相除
當一個 \(x\) 的函數除以另一個函數時（例如 \( \frac{\sin x}{x^2} \)），我們使用除法法則。
除法法則公式
若 \( y = \frac{u}{v} \)，其中 \( u \) 和 \( v \) 皆為 \( x \) 的函數：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \]
記憶輔助
如果不妨稱 \(u\) 為「高（High）」，\(v\) 為「低（Low）」：
「低乘高導減高乘低導，分母平方。」
範例：微分 \( y = \frac{\ln x}{x} \)。
- 定義 u 和 v：
\( u = \ln x \) (高)
\( v = x \) (低) - 找出導數：
\( \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \)
\( \frac{dv}{dx} = 1 \) - 代入公式 \( \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \)：
分子： \( (x)(\frac{1}{x}) - (\ln x)(1) = 1 - \ln x \) 分母： \( (x)^2 = x^2 \) - 最終結果：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \)
關鍵點： 這裡順序非常重要！如果你在分子中弄反了 \(u\) 和 \(v\)，正負號就會錯。永遠記得從低乘高導開始！
5. 指數與對數函數的微分
這些函數在自然界中極為常見（生長、衰減、財務模型），因此了解它們的導數至關重要。
5.1 指數函數（神奇的函數）
\( e^x \) 的導數簡單得不可思議：
\[ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x \]
你知道嗎？ \( e^x \) 是唯一一個導數等於其自身的函數（除了自身的倍數外）。這就是為什麼它被稱為自然指數函數。
結合連鎖律
如果冪次不僅僅是 \( x \)，你「必須」使用連鎖律。
若 \( y = e^{f(x)} \)，則 \( \frac{dy}{dx} = f'(x) e^{f(x)} \)。
範例：微分 \( y = e^{3x^2 - 1} \)。
冪次 \( 3x^2 - 1 \) 的導數是 \( 6x \)。
\( \frac{dy}{dx} = (6x) e^{3x^2 - 1} \)。
5.2 自然對數函數
自然對數（\(\ln x\)）的導數也很簡單：
\[ \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \]
結合連鎖律
如果輸入的是 \( x \) 的函數：
\[ \frac{d}{dx} (\ln(f(x))) = \frac{f'(x)}{f(x)} \]
範例：微分 \( y = \ln(5x+2) \)。
內部 \( (5x+2) \) 的導數是 5。
\( \frac{dy}{dx} = \frac{5}{5x+2} \)。
關於隱函數的說明（與對數相關）
有時你需要微分 \( \ln(kx) \)。記住對數定律： \( \ln(kx) = \ln k + \ln x \)。由於 \(\ln k\) 是常數，其導數為 0。因此， \( \frac{d}{dx} (\ln(kx)) = \frac{1}{x} \)。
6. 三角函數的微分
雖然你在 P3 學過 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 的微分，但 P4 要求你掌握 \(\tan x\) 的導數，並將所有三角微分與連鎖律結合。
P4 核心三角導數
\[ \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x \]
（此結果可透過對 \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) 使用除法法則得出。）
循環導數（複習）
記住 P3 的循環：
- \( \sin x \rightarrow \cos x \)
- \( \cos x \rightarrow -\sin x \)
- \( -\sin x \rightarrow -\cos x \)
- \( -\cos x \rightarrow \sin x \) (回到開頭)
三角函數的連鎖律
只要角度不是單純的 \( x \)，就必須使用連鎖律。
範例 1：微分 \( y = \cos(4x) \)。
外層導數 (\(\cos \rightarrow -\sin\)): \( -\sin(4x) \)。
內層導數 (\( 4x \)): \( 4 \)。
\( \frac{dy}{dx} = -4\sin(4x) \)。
範例 2：微分 \( y = \tan^3 x \)。
(改寫為 \( y = (\tan x)^3 \)。內層是 \(\tan x\)，外層是 \( (\cdot)^3 \)。)
外層： \( 3(\tan x)^2 \)。
內層導數 (\(\frac{d}{dx} \tan x \)): \( \sec^2 x \)。
\( \frac{dy}{dx} = 3\tan^2 x \sec^2 x \)。
快速複習：核心導數表
| 函數 \(y\) | 導數 \(\frac{dy}{dx}\) |
|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\ln x\) | \(1/x\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(\sec^2 x\) |
7. 隱函數微分法（Implicit Differentiation）
到目前為止，所有的函數都是顯函數，意味著 \(y\) 可以被獨立在一側（例如 \( y = x^2 + 3 \)）。當 \(x\) 和 \(y\) 在方程式中混合在一起，且難以或無法分離出 \(y\) 時，我們使用隱函數微分法（例如 \( x^2 + y^2 = 25 \) 或 \( xy + e^y = 1 \)）。
核心規則：微分 \(y\) 項
當你對 \(x\) 微分包含 \(y\) 的項時，必須應用連鎖律。由於 \(y\) 被視為 \(x\) 的函數，你照常微分該項，然後乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
把 \(\frac{dy}{dx}\) 看作是你每次微分 \(y\) 項時必須繳納的「連鎖律稅」。
範例 1：對 \( x \) 微分 \( y^3 \)。
微分外層 (\( y^3 \rightarrow 3y^2 \))。
乘以「稅」： \( \frac{d}{dx} (y^3) = 3y^2 \frac{dy}{dx} \)。
隱函數微分步驟
範例：求圓 \( x^2 + y^2 = 25 \) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 逐項微分（對 \(x\)）：
\( \frac{d}{dx} (x^2) = 2x \)
\( \frac{d}{dx} (y^2) = 2y \frac{dy}{dx} \) (記得繳稅！)
\( \frac{d}{dx} (25) = 0 \) (常數微分為 0) - 寫出微分方程：
\( 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \) - 分離 \(\frac{dy}{dx}\)：
\( 2y \frac{dy}{dx} = -2x \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y} \)
隱函數與乘法法則
如果你有像 \( xy \) 這樣的混合項，必須將其視為兩個 \(x\) 函數的乘積： \( u=x \)、\( v=y \)。
\[ \frac{d}{dx} (xy) = v \frac{du}{dx} + u \frac{dv}{dx} \]
\[ \frac{d}{dx} (xy) = (y)(1) + (x)\left(\frac{dy}{dx}\right) = y + x \frac{dy}{dx} \]
總結： 隱函數微分法讓你即使在 \(x\) 和 \(y\) 無法分離時也能求出斜率。關鍵在於：每當微分包含 \(y\) 的項時，都要記得加上 \(\frac{dy}{dx}\)。
8. 參數微分法（Parametric Differentiation）
有時，坐標 \(x\) 和 \(y\) 同時由第三個變數定義，通常是時間 \(t\) 或角度 \(\theta\)。這第三個變數稱為參數。
範例： \( x = 2t^2 \)、\( y = 4t \)。
我們想求斜率 \( \frac{dy}{dx} \)，但手頭上只有 \( \frac{dx}{dt} \) 和 \( \frac{dy}{dt} \)。
參數微分公式
利用連鎖律，我們可以寫成：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} \]
由於 \( \frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} \)，實際使用的公式變為：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \]
參數微分步驟
範例：求曲線 \( x = \cos \theta \)、\( y = \sin 2\theta \) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 求 \( \frac{dx}{d\theta} \) 和 \( \frac{dy}{d\theta} \)：
\( \frac{dx}{d\theta} = -\sin \theta \)
\( \frac{dy}{d\theta} = 2\cos 2\theta \) (記得連鎖律！) - 應用公式：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2\cos 2\theta}{-\sin \theta} \] - 化簡（選做，但通常被要求）：
利用恆等式 \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta\):
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2(1 - 2\sin^2 \theta)}{-\sin \theta} = \frac{-2 + 4\sin^2 \theta}{\sin \theta} \]
關鍵總結： 參數微分比看起來簡單。它只是將兩個你已經會求的導數相除！只要確保在對參數進行微分時正確應用連鎖律即可。
9. 微分應用（P4 環境）
9.1 切線與法線
這些應用與 P3 相同，但現在你需要使用新的規則（連鎖律、乘法法則、除法法則、隱函數、參數微分）來求斜率 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 切線斜率： 在特定點計算出的 \( m_t = \frac{dy}{dx} \)。
- 法線斜率： \( m_n = -\frac{1}{m_t} \) （負倒數）。
- 使用公式 \( y - y_1 = m(x - x_1) \) 求直線方程式。
參數/隱函數問題的關鍵： 如果題目給定點 \((x_1, y_1)\)，對於隱函數曲線，將 \(x_1\) 和 \(y_1\) 代入導數公式；對於參數曲線，必須先找出對應於該點的參數（\(t\) 或 \(\theta\)）值。
範例：若 \( x = t^2 \)，且需要在 \( x=4 \) 處求切線，先解 \( 4 = t^2 \) 找到 \( t=\pm 2 \)。如果適用，你必須計算這兩個 \(t\) 值的 \(\frac{dy}{dx}\)！
9.2 變化率
這個應用完全依賴於使用連鎖律將不同的變數聯繫起來。如果題目詢問體積 \(V\) 對時間 \(t\) 的變化率，即 \( \frac{dV}{dt} \)，而你知道半徑 \(r\) 對時間的變化率 \( \frac{dr}{dt} \)，則使用：
\[ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} \]
想像這些分數就像一連串的車廂，中間變數（\(dr\)）將開頭（\(dV\)）與結尾（\(dt\)）連結起來。
在解題前，一定要先清晰定義你的變化率！
「半徑以 2 cm/s 的速率增加」意味著 \( \frac{dr}{dt} = 2 \)。
最後鼓勵： 你現在已經掌握了微分微積分中最核心的工具。系統地練習應用這些規則，並記住口訣。你一定做得到！