單元 P2：純數學 2 – 第 6 章：積分 (Integration)
你好，未來的微積分大師！歡迎來到積分的世界。如果微分是關於求變化率（曲線的斜率），那麼積分就像是把散落的拼圖重新拼湊起來。這是微分的逆運算，它能讓我們計算曲線下的面積等，應用非常廣泛！
如果剛開始覺得有點複雜也不用擔心。我們將會逐步拆解這個強大的工具。學完這一章後，你將能夠進行「反微分」，並解決關鍵的面積問題！
1. 反微分簡介（不定積分）
核心概念：逆向過程
你可以將積分視為反微分。如果微分就像繫鞋帶，積分就像解開鞋帶。你是在進行逆向操作，以找出原始函數。
如果你有一個函數 \(F(x)\)，將其微分後得到 \(f(x)\)：
$$F(x) \xrightarrow{\text{微分}} f(x)$$
那麼，將 \(f(x)\) 積分就會帶你回到 \(F(x)\)：
$$f(x) \xrightarrow{\text{積分}} F(x)$$
我們用長長的 'S' 來代表積分符號：\(\int\)。這個符號代表求和的過程，而這本質上就是積分在做的事（將無數微小的變化量累加起來）。
- 被積函數 (Integrand)： 即被積分的函數（例如 \(\int f(x) dx\) 中的 \(f(x)\)）。
- 積分變數 (Variable of Integration)： 由 \(dx\) 表示（意指我們正對 \(x\) 進行積分）。
冷知識
積分符號 \(\int\) 是由德國數學家萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在 17 世紀末引入的。它是一個變體的字母 'S'，代表 "summa"（總和）。
2. 積分的冪法則 (The Power Rule)
P2 積分中最重要的一條法則就是冪法則。它是你微分時所用冪法則的逆向運算。
冪法則操作步驟
要對 \(x^n\) 這一項進行積分：
- 將次方（指數）加 1。
- 將整個項除以新的次方。
- 加上積分常數 \(+C\)。 （稍後我們會詳細說明這重要的一步！）
法則公式：
$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
（此法則適用於所有 \(n\) 的值，但 \(n=-1\) 除外。\(x^{-1}\) 的積分將在 P3 學習。）
冪法則範例
例 1： 積分 \(x^3\)
$$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \mathbf{\frac{1}{4}x^4 + C}$$
例 2： 積分 \(\sqrt{x}\)
首先，使用指數形式重寫： \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)
$$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \mathbf{\frac{2}{3}x^{3/2} + C}$$
例 3： 積分 \(\frac{1}{x^2}\)
首先，使用指數形式重寫： \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\)
$$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = \mathbf{-\frac{1}{x} + C}$$
多項式的積分
就像微分一樣，積分具有線性。這意味著你可以將多項式表達式中的每一項分別積分。
法則： 如果 \(k\) 是常數，\(\int k f(x) dx = k \int f(x) dx\)
範例： 積分 \(f(x) = 4x^3 - 6x + 5\)
$$\int (4x^3 - 6x + 5) dx = 4 \left( \frac{x^4}{4} \right) - 6 \left( \frac{x^2}{2} \right) + 5x + C$$
$$= \mathbf{x^4 - 3x^2 + 5x + C}$$
快速複習： 在運用冪法則之前，務必先整理好你的式子（將所有變數移至分子，將根號轉為分數指數）！
3. 積分常數 (+C)
積分常數 \(+C\) 可以說是不定積分中最重要的一部分，也是學生最容易丟分的地方！
為什麼一定要加 +C？
當你對一個常數進行微分時，結果總是零。看看以下這三個函數：
- \(y = x^2 + 5 \quad \implies \frac{dy}{dx} = 2x\)
- \(y = x^2 - 100 \quad \implies \frac{dy}{dx} = 2x\)
- \(y = x^2 \quad \implies \frac{dy}{dx} = 2x\)
如果我們從 \(\frac{dy}{dx} = 2x\) 開始積分，我們怎麼知道原來的函數是什麼？我們無法得知！\(+C\) 作為一個佔位符，代表了在微分過程中消失的那個未知常數。
類比： 如果你知道一輛車的速度 (\(2x\)) 但不知道它的起點，你知道它的速度函數，但除非有人告訴你起點，否則你無法得知它的精確位置函數。
求出 C 的值
在許多考試題目中，你會得到額外的資訊——即邊界條件 (boundary condition) 或曲線經過的特定點 \((x, y)\)。這些點讓你能夠解出 \(C\)。
求 C 的流程：
- 對 \(\frac{dy}{dx}\) 進行積分，記得加上 \(+C\)。
- 將給定的 \(x\) 和 \(y\) 值代入積分後的方程式。
- 解出 \(C\)。
- 寫出完整的函數 \(y = F(x)\)，並將算出的 \(C\) 代入。
範例： 一條曲線的導數為 \(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4\)。曲線經過點 \((2, 1)\)，求該曲線的方程式。
1. 積分：
$$y = \int (3x^2 - 4) dx = \frac{3x^3}{3} - 4x + C = x^3 - 4x + C$$2. 代入 \((x=2, y=1)\)：
$$1 = (2)^3 - 4(2) + C$$ $$1 = 8 - 8 + C$$ $$1 = C$$3. 最終方程式：
$$y = \mathbf{x^3 - 4x + 1}$$重點提示： 如果題目要求你求出曲線方程式或原始函數，你必須求出 \(C\) 的值。如果僅是要求不定積分，則保留 \(+C\) 即可。
4. 定積分 (Definite Integration)
當你在兩個指定的限值之間對函數進行積分時，這稱為定積分。這會給你一個數值，通常代表面積。
理解積分上下限
定積分的形式如下：
$$\int_a^b f(x) dx$$- \(b\) 是上限。
- \(a\) 是下限。
定積分的結果是使用微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus) 計算出來的。
定積分的過程
1. 求出 \(f(x)\) 的不定積分 \(F(x)\)。 （這裡可以省略 \(+C\)，因為它在相減時會抵消。）
2. 計算上限 \(b\) 的函數值，得到 \(F(b)\)。
3. 計算下限 \(a\) 的函數值，得到 \(F(a)\)。
4. 相減：\(F(b) - F(a)\)。
符號表示： 我們寫作 \([F(x)]_a^b\)：
$$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$
範例： 計算 \(\int_1^3 (2x + 1) dx\)
1. 積分：
$$F(x) = x^2 + x$$2. 設定計算式：
$$[x^2 + x]_1^3$$3. 代入上限 (3)：
$$F(3) = (3)^2 + 3 = 9 + 3 = 12$$4. 代入下限 (1)：
$$F(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$$5. 相減：
$$F(3) - F(1) = 12 - 2 = \mathbf{10}$$常見錯誤！
代入上下限時，請務必小心負號和括號。在 \(F(a)\) 中犯一個簡單的符號錯誤會毀掉整個答案。
建議在進行最後相減前，先分別計算 \(F(b)\) 和 \(F(a)\)。
5. 曲線下的面積
P2 中定積分最常見的幾何應用是求曲線 \(y = f(x)\)、x 軸以及兩條垂直線 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之間所圍成的面積。
簡單情況：x 軸上方的面積
如果函數 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 到 \(x=b\) 之間完全位於 x 軸上方，那麼面積 \(A\) 就是定積分的數值：
$$A = \int_a^b f(x) dx$$複雜情況：x 軸下方的面積
如果曲線位於 x 軸下方，定積分的計算結果會是負數。
因為面積是一個物理量，它必須是正數。如果你的積分得出負值，表示該面積位於 x 軸下方。
法則： 如果面積在 x 軸下方，請取結果的模（絕對值），使其變為正數。
$$A = \left| \int_a^b f(x) dx \right|$$組合面積（當曲線穿過 x 軸時）
如果曲線在 \(a\) 和 \(b\) 之間穿過 x 軸，你不能只做一次積分！正面積和負面積會互相抵消，導致總面積計算錯誤。
穿過 x 軸時的處理步驟：
- 找出 \(a\) 和 \(b\) 之間的 x 截距（即 \(f(x) = 0\) 的點）。這些點會將總面積劃分為不同的區域。
- 分別計算每個區域的定積分。
- 將位於 x 軸下方的區域結果取絕對值（使其變正）。
- 將各個面積的絕對值相加，得出總面積。
類比：想像你向前走了 5 公里，然後向後走了 3 公里。你的總路程是 8 公里，而不是 2 公里。同理，我們必須將各個積分區段的絕對值相加。
範例情境： 若函數在 \(x=2\) 處穿過 x 軸，求 \(x=0\) 到 \(x=4\) 之間的面積。
總面積 \(A = \left| \int_0^2 f(x) dx \right| + \left| \int_2^4 f(x) dx \right|\)
面積法則總結
計算面積必須得出正數。如果函數不熟悉，請務必畫圖或檢查截距，以免意外將面積相減！
6. 簡單函數 (ax + b) 的積分
雖然 P3 才會引入完整的連鎖律積分，但 P2 要求你能處理簡單的線性項冪次，例如 \((3x + 2)^5\)。
這基本上是微分連鎖律的逆運算。
\( (ax+b)^n \) 的法則
要對 \( (ax+b)^n \) 進行積分：
- 按照一般的冪法則：將次方加 1，並除以新的次方。
- 此外，再除以 \(x\) 的係數（即 \(a\)）。
- 如果是不定積分，別忘了加上 \(+C\)！
公式：
$$\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$$
範例： 積分 \( (2x - 1)^3 \)
這裡 \(a=2\)，\(n=3\)。
$$\int (2x - 1)^3 dx = \frac{(2x - 1)^{3+1}}{2(3+1)} + C = \frac{(2x - 1)^4}{8} + C$$小貼士： 透過微分你的答案來檢查！對 \(\frac{(2x - 1)^4}{8}\) 進行微分，應該會回到 \((2x - 1)^3\)。
章節重點總結
- 不定積分： 使用冪法則：次方加 1，除以新次方，並加上 \(+C\)。
- 求 C： 需要一個給定的點 \((x, y)\) 代入積分後的方程式來解出。
- 定積分： 使用 \([F(b) - F(a)]\) 計算數值，表示淨面積。
- 面積計算： 如果面積部分位於 x 軸下方，必須將積分拆開處理，並對負值區域取絕對值，最後再將面積相加。
持續練習設定題目與代數運算——積分非常依賴你的指數與分數運算基礎！你一定沒問題的！