歡迎來到線性規劃 (D1 Decision Maths)！
你好！線性規劃聽起來或許很複雜，但它其實是決策數學中最實用且直觀的課題之一。簡單來說，它是一套強大的工具，廣泛應用於商業、製造業和物流業，目的是在資源有限的情況下，幫助我們找到最佳方案（例如利潤最大化或成本最小化）。
在本章中，我們將學習如何將現實問題轉化為一組線性不等式，然後利用圖解法將其解決。如果一開始覺得有點棘手也不用擔心，我們會把步驟拆解得清清楚楚！
第一部分：建立問題模型
線性規劃最關鍵的第一步就是將現實情況轉化為數學語言。每個線性規劃問題都包含三個主要部分：
1. 決策變量 (Decision Variables)
這是指你需要決定生產、購買或使用多少數量的項目。由於我們是利用圖解法來求解，通常會設有兩個變量，即 \(x\) 和 \(y\)。
- 設 \(x\) 為第一種項目的數量（例如：A 型椅子的數量）。
- 設 \(y\) 為第二種項目的數量（例如：B 型椅子的數量）。
小提醒：由於任何物品的生產數量都不可能是負數，因此必須始終包含非負約束條件 (non-negativity constraints)：\(x \ge 0\) 和 \(y \ge 0\)。
2. 目標函數 (Objective Function)
這是代表你想最大化（例如利潤 P）或最小化（例如成本 C）的數量的數學表達式。它永遠是 \(x\) 和 \(y\) 的線性函數。
例子：如果 A 型椅子利潤為 £50，B 型椅子為 £80，則目標函數（P 代表利潤）為：
\[ P = 50x + 80y \]
目標：我們希望找到能讓 P 達到最大（或最小）的 \(x\) 和 \(y\) 值。
3. 約束條件 (Constraints)
這是由資源（時間、材料、預算等）所帶來的限制。約束條件總是以線性不等式來表示。
例子：如果製作 A 型椅子需要 2 小時工時，B 型需要 4 小時，而總共只有 100 小時工時：
\[ 2x + 4y \le 100 \]
理解不等號：
- \(\le\) (小於或等於)： 用於有限制的資源（例如：最大容量、可用總時間）。
- \(\ge\) (大於或等於)： 用於最低要求（例如：必須生產至少 10 件、最低營養攝取量）。
重點總結（第一部分）：建立模型涉及定義變量（\(x, y\)）、設定目標（目標函數）以及將限制條件寫成不等式。別忘了加上 \(x \ge 0\) 和 \(y \ge 0\)！
第二部分：圖解法求解
建立模型後，我們使用圖表來找出同時滿足所有約束條件的點集。這個區域稱為可行區域 (Feasible Region)。
1. 繪製約束條件（畫邊界線）
要繪製不等式（例如 \(2x + 4y \le 100\)），先把它看作等式（\(2x + 4y = 100\)）來處理。
繪圖步驟：
- 找出截距：
- 設 \(x=0\) 求 y 截距。 （若 \(x=0\)，\(4y=100\)，則 \(y=25\)。點為：(0, 25)）
- 設 \(y=0\) 求 x 截距。 （若 \(y=0\)，\(2x=100\)，則 \(x=50\)。點為：(50, 0)）
- 在坐標軸上標出這兩個點。
- 連成一條直線。
關於線條類型的注意：由於我們所有的不等式都包含「或等於」（\(\le\) 或 \(\ge\)），我們使用實線。如果你遇到嚴格不等式（如 \(x + y < 10\)），則應使用虛線，但這在 D1 考試中較少見。
2. 識別可行區域 (R)
可行區域 (R) 是滿足「所有」約束條件的區域。我們使用測試點來確定直線哪一側是「所需」區域。
陰影慣例（非常重要！）
在 Edexcel 決策數學中，標準做法是塗黑「不需要」的區域 (shade the UNWANTED region)。這樣剩下的白色區域就是可行區域 (R)。
如何測試並塗影：
- 選擇一個測試點，通常選 \((0, 0)\)（除非線通過原點）。
- 將 \((0, 0)\) 代入不等式。
- 如果測試點滿足不等式（為真），則 \((0, 0)\) 在所需區域內。因此，塗黑遠離 \((0, 0)\) 的那一側。
- 如果測試點「不」滿足不等式（為假），則 \((0, 0)\) 在不需要的區域內。因此，塗黑包含 \((0, 0)\) 的那一側。
- 對所有約束條件重複此步驟，包括 \(x \ge 0\)（塗黑 y 軸左側）和 \(y \ge 0\)（塗黑 x 軸下方）。
最後剩下的空白區域就是可行區域 (R)。
3. 尋找最優解
線性規劃的一個關鍵概念是：最優解（最大利潤或最小成本）永遠會落在可行區域 R 的其中一個頂點 (vertices/corner points) 上。
我們有兩種主要方法來找到最優點：
方法 A：目標函數線（尺規法）
這是最快的直觀方法。
步驟 1：確定斜率。 看你的目標函數，例如 \(P = 50x + 80y\)。為 P 設定一個任意常數 K，得到目標線方程：\(50x + 80y = K\)。
求斜率 \(m\)： \[ 80y = -50x + K \] \[ y = -\frac{50}{80}x + \frac{K}{80} \] \[ m = -\frac{5}{8} \]
步驟 2：畫出目標線。 在可行區域 R 內或附近畫出這條線。通常選擇一個能產生整數截距的 K 值會最方便（例如若 K=400，\(50x+80y=400\)，截距為 (8, 5)）。
步驟 3：平移直線。 使用直尺保持目標線的斜率（\(-\frac{5}{8}\)），在可行區域 R 內平移。
- 最大化： 將線向遠離原點的方向平移，直到它碰到可行區域 R 的最後一個點。
- 最小化： 將線向靠近原點的方向平移，直到它碰到可行區域 R 最靠近原點的最後一個點（通常若是可行，即為 \((0, 0)\)）。
步驟 4：找出坐標。 這個最優角點的 \((x, y)\) 坐標就是你的解。
方法 B：頂點測試（代入角點）
這是一種純代數方法，用於確認圖解法的結果。
步驟 1：找到所有頂點。 系統地列出可行區域 R 的所有角點坐標。如果一個頂點是兩條約束線的交點，你必須聯立方程求出精確坐標。
步驟 2：代入目標函數。 將每個頂點的 \((x, y)\) 坐標代入目標函數 (P 或 C)。
步驟 3：比較結果。 得到最高值的頂點即為最大值解；得到最低值的頂點即為最小值解。
例子：尋找精確頂點
假設最優點是兩線的交點：
約束 1：\(x + 2y = 12\) (1)
約束 2：\(3x + y = 16\) (2)
聯立求解：
(2) 式乘以 2：\(6x + 2y = 32\) (3)
(3) 減去 (1)：\((6x - x) + (2y - 2y) = 32 - 12\)
\[ 5x = 20 \implies x = 4 \]
代入 \(x=4\) 到 (2)：\(3(4) + y = 16 \implies 12 + y = 16 \implies y = 4\)
頂點為 \((4, 4)\)。
重點總結（第二部分）：畫出邊界線，塗黑不需要的區域找出 R，然後使用平移目標線法或頂點測試法找到最大化或最小化目標函數的坐標。
第三部分：特殊考慮與最終答案
1. 處理整數約束
在許多現實問題中（例如你不能生產 3.4 輛車或聘請 5.7 個人），變量 \(x\) 和 \(y\) 必須是整數。
如果你在第二部分找到的最優解是非整數點（例如 \((4.5, 6.2)\)），你不能簡單地四捨五入，因為新的點可能落在可行區域 R 之外！
整數解法：
- 找出最優頂點 \(V_{opt}\)（例如 \((4.5, 6.2)\)）。
- 定位 \(V_{opt}\) 附近且仍在可行區域 R 內的整數點。（這通常意味著測試最優頂點周圍的四個整數點：(4, 6), (5, 6), (4, 7), (5, 7)，並只保留在 R 內的點）。
- 將這些可行的整數點代入目標函數 P 進行測試。
- 產生最高（最大化）或最低（最小化）值的整數點即為最終答案。
常見錯誤：千萬不要假設直接四捨五入就能奏效！務必檢查該點是否在可行區域 R 內。
2. 平行最優線
有時，目標函數線的斜率與其中一條約束邊界線完全相同。
在這種情況下，最優解不僅僅是一個點，而是可行區域 R 該邊上的「所有點」。
例子：如果最大利潤發生在頂點 A 和 B 之間的線段上，你應該說明最大利潤發生在 A、B 以及線段 AB 上的任何一點。
3. 完整回答問題
最終答案必須不僅寫出最大/最小值，還要明確指出達到該值的具體決策變量。
例子：最大化 \(P = 50x + 80y\)。在 \((4, 4)\) 處找到最優頂點。
最終答案格式：
- 當生產 \(x = 4\) 單位產品 A 及 \(y = 4\) 單位產品 B 時，可達到最大利潤。
- 最大利潤為 \(P = 50(4) + 80(4) = 200 + 320 = 520\)。
快速複習：線性規劃檢查清單
- 建立模型： 定義 \(x\) 和 \(y\)，寫下目標函數 (P 或 C)，並列出所有約束條件（不等式）。
- 繪圖： 準確畫出邊界線（利用截距）。
- 可行區域 (R)： 塗黑「不需要」的區域。標記可行區域 R。
- 最優點： 使用尺規法（目標線斜率）或通過聯立方程測試所有頂點。
- 整數解： 若有要求，測試周圍可行的整數點。
- 結論： 清晰列出 \(x\)、\(y\) 以及最終的最大/最小值。
冷知識：線性規劃是由軍方在第二次世界大戰期間開發的，旨在幫助優化戰時資源分配，這充分體現了它在物流領域的強大威力！