Numerical methods - Mathematics (YMA01) - Pearson Edexcel International A Level

歡迎來到數值方法！

你好！你現在接觸到的是純粹數學（Pure Mathematics）中最實用且引人入勝的課題之一：數值方法（Numerical Methods）。如果這個主題起初聽起來有點抽象，不用擔心；這本質上就是電腦和計算機在幕後使用的數學邏輯！

我們會學到什麼？ 我們將學習一些技巧，用以找出那些無法或極難透過標準代數方法求解的方程式的近似解（根）。例如，嘗試求解 $e^x + 2x^2 = 5$。你無法用代數方法將 $x$ 獨立出來，這時候我們就需要數值方法了！

重點摘要：當代數方法失效時，數值方法能提供精確且系統化的近似值。

第 1 節：定位根與變號原理（Change of Sign Principle）

什麼是根？

方程式 $f(x) = 0$ 的根（root）是指函數 $y = f(x)$ 的圖像與 $x$ 軸相交時的 $x$ 值。在這一點上，$y=0$。

1.1 變號原理

這是數值求根中最基礎的概念，非常簡單直觀：

如果我們有一個連續函數（continuous function） $f(x)$（意思是函數圖像沒有中斷或斷裂），且我們找到兩個數值 $a$ 和 $b$，使得：
1. $f(a)$ 是正數。
2. $f(b)$ 是負數。
……那麼，由於函數必須從正數區域過渡到負數區域（反之亦然），在 $a$ 和 $b$ 之間必定至少存在一個根。

步驟說明：使用變號原理

定義 $f(x)$：確保你的方程式已整理為 $f(x) = 0$ 的形式。
選擇區間：選取兩個數值 $a$ 和 $b$，組成區間 $[a, b]$。
計算符號：將 $a$ 和 $b$ 代入 $f(x)$。
驗證：如果 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的符號相反，則保證該區間內存在一個根。

例子：證明 $f(x) = x^3 - 4x + 1 = 0$ 的一個根位於 $x=0$ 和 $x=1$ 之間：
$f(0) = (0)^3 - 4(0) + 1 = 1$（正數）
$f(1) = (1)^3 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$（負數）
由於符號發生了改變，因此在 0 和 1 之間存在一個根。

說明：變號法直接引出了二分法（Interval Bisection Method），即透過不斷將區間減半，直到根的精確度符合要求為止。雖然速度慢，但非常可靠！

常見錯誤提醒！

變號法僅在函數連續時才適用。如果函數存在不連續點（例如漸近線），即使符號發生變化，也不代表它一定跨越了 $x$ 軸！除非題目涉及正切函數或已知有漸近線的函數，否則在 P3 課程中，通常假設函數是連續的。

快速回顧：變號原理

我們用它來定位根。它要求我們檢查 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 內是否從正數變為負數（或反之）。

第 2 節：不動點迭代法（Fixed Point Iteration，循環法）

2.1 理解迭代

我們不再試圖直接找到根，而是從一個初始猜測值（稱為 $x_0$）開始。接著將 $x_0$ 代入特定的公式，得到一個更接近的猜測值 $x_1$。重複此過程（我們稱之為迭代（iterate）），直到數值不再有明顯變化，這意味著我們已經收斂到根了。

一般形式為：
$$x_{n+1} = g(x_n)$$

類比：想像一個自動調節溫度的恆溫器。它測量當前溫度（$x_n$），應用規律（$g$），並調整設置以獲得新溫度（$x_{n+1}$），目標是最終穩定在設定溫度（即根）。

2.2 建立迭代公式

這裡的挑戰在於將 $f(x) = 0$ 轉換為 $x = g(x)$ 的形式。通常有多種轉換方法，但並非每一種都能收斂！

例子： $x^3 - 2x - 5 = 0$。

嘗試 A（重排 1）：
$$x^3 = 2x + 5$$ $$x = \sqrt[3]{2x + 5}$$
這得出迭代公式：$x_{n+1} = \sqrt[3]{2x_n + 5}$。

嘗試 B（重排 2）：
$$2x = x^3 - 5$$ $$x = \frac{x_3 - 5}{2}$$
這得出迭代公式：$x_{n+1} = \frac{x_n^3 - 5}{2}$。

核心概念：如果迭代收斂，$x_{n+1}$ 最終會幾乎等於 $x_n$。當 $x_{n+1} = x_n$ 時，我們得到 $x = g(x)$，這就解出了原來的方程式！

2.3 收斂性：階梯圖與蛛網圖

當你在圖表上繪製 $y = x$ 和 $y = g(x)$ 時，根就是它們的交點。迭代過程描述了圖上的一條路徑：

從 $x$ 軸上的 $x_0$ 開始。
垂直移動到曲線 $y = g(x)$ 上，這就是 $x_1$。
水平移動到直線 $y = x$ 上（這一步至關重要，因為它將 $x_1$ 設定為下一步的輸入值）。
重複上述步驟（垂直回到 $y=g(x)$，水平回到 $y=x$）。

你知道嗎？
如果根是以單調方式逼近（總是增加或總是減少），形成的圖形稱為階梯圖（staircase diagram）；如果數列在根的兩側波動，則稱為蛛網圖（cobweb diagram）。

迭代收斂的條件是，在根的位置，$g(x)$ 的梯度絕對值必須小於 1：
$$|\,g'(x)\;| < 1$$

如果 $|\,g'(x)\;| > 1$，迭代將會發散（即螺旋式或階梯式遠離根部）。

收斂記憶法：

想像根是碗的底部。如果函數 $g(x)$ 太陡（梯度 > 1），你的起始值會滾開；如果函數較平緩（梯度 < 1），你的數值就會滾進根部。

第 3 節：牛頓-拉弗森法（Newton-Raphson Method）

固定點迭代法（第 2 節）可能很慢，或者如果重排方式不當可能會失敗。牛頓-拉弗森法通常速度更快，威力更強。

3.1 牛頓-拉弗森公式

此方法利用曲線 $y = f(x)$ 在當前猜測點 $x_n$ 的切線，來預測下一個更準確的猜測值 $x_{n+1}$。

其公式為：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

先決條件檢查：請注意，此方法要求你先求出導數 $f'(x)$！

3.2 工作原理（幾何解釋）

該公式源於切線近似。如果你選擇一個猜測點 $x_n$，計算該點的切線，這條切線與 $x$ 軸的交點就是下一個猜測點 $x_{n+1}$。由於切線是曲線在局部很好的近似，$x_{n+1}$ 通常非常接近真實的根。

計算步驟

假設我們想求 $f(x) = x^2 - 3$ 的根（我們知道答案是 $\sqrt{3}$ $\approx$ 1.732）。我們取 $x_0 = 2$。

求 $f(x)$ 和 $f'(x)$：
$f(x) = x^2 - 3$
$f'(x) = 2x$
建立迭代公式：
$$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 3}{2x_n}$$
計算 $x_1$（從 $x_0 = 2$ 開始）：
$$x_1 = 2 - \frac{(2)^2 - 3}{2(2)} = 2 - \frac{1}{4} = 1.75$$
計算 $x_2$：
$$x_2 = 1.75 - \frac{(1.75)^2 - 3}{2(1.75)} \approx 1.73214$$
看看我們收斂得有多快！$x_2$ 已經精確到小數點後 4 位了。這種速度就是牛頓-拉弗森法的主要優勢。

3.3 失敗案例與侷限性

雖然速度快，但牛頓-拉弗森法在特定情況下可能會失敗：

當 $f'(x_n) \approx 0$ 時： 如果在猜測值 $x_n$ 附近的切線幾乎是水平的，分母 $f'(x_n)$ 就會變得非常小，導致分數變得極大，將 $x_{n+1}$ 推離根部。在幾何上，一條幾乎平坦的切線會與 $x$ 軸在很遠的地方相交。
駐點（Turning Points）： 如果你的初始猜測點 $x_0$ 接近極大值或極小值（駐點），該方法可能會試圖收斂到遙遠的根，或完全失敗。

牛頓-拉弗森法關鍵總結：它是最快的方法，但你需要一個足夠接近的初始猜測值，且必須避免曲線平坦的地方（即 $f'(x)=0$ 的點）。

第 4 節：方法總結與精確度

4.1 證明根的精確度

使用迭代法後，題目通常會要求你證明根落在某個區間內，並精確到小數點後指定的位數。

如果你被要求證明根 $\alpha$ 精確到 3 位小數為 $1.732$：

你必須測試該區間的下界和上界（四捨五入後會變成該值的臨界值）：

下界： $1.7315$
上界： $1.7325$

你必須對原始函數 $f(x)$ 使用變號原理。

1. 計算 $f(1.7315)$，證明其為某個符號（例如負號）。 2. 計算 $f(1.7325)$，證明其符號相反（例如正號）。

由於該區間內發生了符號變化，真實的根 $\alpha$ 必定介於 1.7315 和 1.7325 之間。在這個區間內的所有值，四捨五入後都是 1.732（3 位小數）。證畢。

4.2 選擇合適的工具

你選擇的數值方法取決於問題的要求。

方法	目的	速度/效率	要求/注意
變號/二分法	定位並證明區間內存在根。	慢，但 100% 可靠。	函數必須是連續的。
不動點迭代法 ($x_{n+1}=g(x_n)$)	迭代計算根。	中等。不保證一定收斂。	需要代數重排。僅在 $\|\,g'(x)\;\| < 1$（根附近）時有效。
牛頓-拉弗森法	快速計算根。	非常快（通常）。	需要導數 $f'(x)$。如果 $f'(x) \approx 0$ 則會失敗。

最後的鼓勵：數值方法非常講究步驟。只要你熟練掌握公式，並勤加練習如何正確設定迭代過程，你會發現這一章非常有成就感。祝你學習順利！

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