Representation and summary of data

單元 S1：數據的表示與摘要

歡迎來到統計學的奇妙世界！本章是你的基石。我們將學習如何將雜亂無章的原始數字，透過圖表與關鍵的摘要計算，轉化為清晰且具洞察力的分析。

為什麼這很重要？ 因為僅僅看著一長串數字，我們很難得到什麼資訊。透過有效地表示與摘要數據，我們可以找出趨勢、比較群組並做出明智的決策——這些技能不僅對你的考試至關重要，對生活也非常有用！別擔心「變異數 (Variance)」等概念看起來很抽象，我們會一步步將其拆解。讓我們開始吧！

第 1 節：數據類型（基本構成要素）

在分析數據之前，我們必須先了解手上的數據類型。數據通常分為兩大類：

1. 定性數據 (Qualitative Data) 與定量數據 (Quantitative Data)

• 定性數據：描述特徵或類別。它是非數值的。
  例子： 眼睛顏色、汽車型號、最喜歡的口味。
• 定量數據：由數字組成且可測量或計算的數據。這是 S1 大部分內容的重點。

2. 離散數據 (Discrete Data) 與連續數據 (Continuous Data)（側重於定量數據）

• 離散數據：只能取特定、固定數值（通常為整數）的數據。這通常來自於計數。
  類比： 離散數據就像房間裡的人數——你不可能有 3.5 個人。
  例子： 通過某一點的車輛數、鞋碼（英國尺碼為特定的步進值）。
• 連續數據：可以在給定範圍內取任何數值的數據。這通常來自於測量。
  類比： 連續數據就像沙子——你總能在兩個數值之間找到另一個數值。
  例子： 身高、體重、溫度、跑步比賽所花費的時間。

溫馨提示： 收集連續變數（如身高）的數據時，常會使用組區間 (class intervals)（例如 170cm 至 180cm）。務必檢查邊界！

第 2 節：數據的視覺化表示

圖表有助於我們觀察數據的整體形狀（分佈）。

1. 莖葉圖 (Stem and Leaf Diagrams)

莖葉圖在保留原始數據的同時，以有組織的格式呈現。它非常適合小型到中型的數據集。

• 莖 (Stem) 顯示較高位數的值（例如十位、百位）。
• 葉 (Leaf) 顯示最小位數的值（例如個位、十分位）。
• 葉必須始終按數值順序排列，並從最靠近莖的位置開始。
• 關鍵步驟： 你必須包含一個圖例 (Key)！沒有圖例，圖表就毫無意義。
  圖例範例： 2 | 5 表示 25。

你知道嗎？ 我們使用背靠背莖葉圖 (back-to-back stem and leaf plots) 來輕鬆比較兩個相關的數據集（例如男生與女生的考試成績）。

2. 直方圖 (Histograms)（針對連續數據）

直方圖用於連續的分組數據。這是熱門的考試題目，請務必留意！

直方圖的黃金法則： 長條的面積必須與該組的頻數 (frequency)（觀測值的數量）成正比。

由於組寬往往不相等，我們不能像製作條形圖那樣直接繪製頻數與組區間的關係。我們必須計算 y 軸的頻數密度 (Frequency Density)。

頻數密度 \( = \frac{\text{頻數}}{\text{組寬}} \)

繪製步驟：

1. 確定每一組的組寬（\( \text{上邊界} - \text{下邊界} \)）。
2. 計算每一組的頻數密度。
3. 將組區間繪製在橫軸 (x) 上。
4. 將頻數密度繪製在縱軸 (y) 上。
5. 繪製長方形，使其面積與頻數成正比。

避免常見錯誤： 處理分組連續數據（例如 10-19, 20-29）時，請務必使用真實的類別邊界（例如 9.5 至 19.5, 19.5 至 29.5）來計算正確的組寬（在此例中應為 10）。

3. 累積頻數曲線圖 (Cumulative Frequency Diagrams / Ogive)

累積頻數圖顯示了頻數的累加總額。這對於從分組數據中估算中位數和四分位數至關重要。

繪製步驟：

1. 透過依序加總頻數來計算累積頻數 (CF)。
2. 將 CF 值繪製在每個組區間的上邊界對應處。
3. 圖表應從（第一組的下邊界，0）開始。
4. 用平滑曲線（而非直線）連接各點。

溫馨提示： y 軸上的最高點（最終的累積頻數）應等於總觀測值 \(n\)。

第 3 節：集中趨勢的測量（位置）

這些統計數據告訴我們數據集的「中心」或典型值。

1. 平均數 (Mean, \( \bar{x} \))

平均數是算術平均值。它使用了每一個數據點，且對極端值（離群值）非常敏感。

• 原始數據平均數： $$ \bar{x} = \frac{\sum x}{n} $$ 其中 \( \sum x \) 是所有數據點的總和，\(n\) 是數據點的數量。
• 頻數表平均數： $$ \bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f} $$ 其中 \(f\) 是頻數，\(x\) 是數據值。
• 分組數據平均數（估算值）： 我們必須假設一組內的所有值都集中在該組的組中點 (midpoint, \(m\))。 $$ \bar{x} \approx \frac{\sum fm}{\sum f} $$

2. 中位數 (Median)

中位數是將數據按順序排列後的中間值。它不受離群值影響。

• 原始數據中位數：
  首先，將數據排序。中位數的位置通常由 \( \frac{n+1}{2} \) 給出。
• 分組連續數據中位數（插值法）：
  我們使用累積頻數分佈來估算中位數，通常位於 \( \frac{n}{2} \) 的位置。
  過程： 在縱軸 (CF) 上找到中位數位置 (\( \frac{n}{2} \))。繪製一條水平線至曲線，然後垂直向下連接至水平軸（數據值軸），讀取估算的中位數。

類比： 中位數是「安全」的衡量標準。如果有人在你的數據集中放入一個極大的數值（離群值），平均數會被劇烈拉向該數值，但中位數則保持相對穩定。

3. 眾數 (Mode) 或眾數組 (Modal Class)

眾數是出現頻率最高的值。

• 對於原始或離散數據，它是出現次數最多的實際值。
• 對於分組數據，我們識別眾數組（頻數密度最高的組）。

第 4 節：離差的測量（離散程度）

這些統計數據告訴我們數據的散佈或變化程度。

1. 全距 (Range) 與四分位距 (IQR)

• 全距： \( \text{最大值} - \text{最小值} \)。簡單但極易受離群值影響。
• 四分位數： 將數據分為四個相等的部分。
  • \(Q_1\)（下四分位數）：25% 的數據低於此點。
  • \(Q_2\)（中位數）：50% 的數據低於此點。
  • \(Q_3\)（上四分位數）：75% 的數據低於此點。
• 四分位距 (IQR)： \( \text{IQR} = Q_3 - Q_1 \)。這衡量了中間 50% 數據的散佈情況，且對離群值具有抵抗力。

尋找分組數據的四分位數： 與中位數類似，使用累積頻數曲線。

• \(Q_1\) 位於 \( \frac{n}{4} \) 的位置。
• \(Q_3\) 位於 \( \frac{3n}{4} \) 的位置。

2. 變異數 (Variance) 與標準差 (Standard Deviation)

變異數 (\( \sigma^2 \)) 和 標準差 (\( \sigma \)) 是衡量散佈程度最穩健的指標，因為它們利用所有數據點來衡量與平均數的偏差。

標準差 (\( \sigma \)) 即變異數的平方根。它更受歡迎，因為其單位與原始數據相同。

計算公式：（你應該熟悉定義公式與計算公式。）

A. 原始數據公式（\(n\) 個觀測值）：

定義公式（變異數）： $$ \sigma^2 = \frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n} $$ （意思：找出與平均數的差值，取平方，加總，最後除以 \(n\)。）

計算公式（變異數）：（計算時較簡單，尤其在沒有計算機「統計模式」時。） $$ \sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 $$

B. 頻數表公式（分組或未分組）：

計算公式（變異數）： $$ \sigma^2 = \frac{\sum fx^2}{\sum f} - (\bar{x})^2 $$ （其中 \( \sum f \) 即總頻數 \(n\)。）

記憶輔助： 對於標準差的計算公式，請記住：「平方的平均值減去平均值的平方」。

\( \sigma = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2} \)

第 5 節：摘要圖表與離群值

1. 箱形圖 (Box Plots)

箱形圖提供五個關鍵統計數據的快速視覺摘要（五數概括法, Five-Number Summary）：

1. 最小值
2. 下四分位數 (\(Q_1\))
3. 中位數 (\(Q_2\))
4. 上四分位數 (\(Q_3\))
5. 最大值

箱形圖非常適合視覺化比較兩個或多個數據集的散佈與位置。

2. 識別離群值 (Outliers)

離群值是遠離其他數據點的極端值。我們需要嚴格的方法來判斷一個值是否真的是離群值。

在 S1 中，我們使用四分位距 (IQR) 方法。如果數據點 \(x\) 超出了以下界限，則被視為離群值：

• 下限： \( Q_1 - 1.5 \times \text{IQR} \)
• 上限： \( Q_3 + 1.5 \times \text{IQR} \)

例子： 如果一個值小於下限或大於上限，它就被標記為離群值（通常在箱形圖上用叉號或星號標示）。

切記： 繪製包含離群值的箱形圖時，「觸鬚 (whiskers)」僅延伸至非離群值的最大值與最小值。

3. 數據編碼的影響 (Coding Data)

有時，為了簡化計算，我們使用線性變換對數據進行「編碼」：\( y = \frac{x - a}{b} \)，其中 \(a\) 和 \(b\) 是常數。

• 位置測量值 (\(\bar{x}, Q_2, Q_1, Q_3\))： 這些會受到加減 (\(a\)) 和乘除 (\(b\)) 的雙重影響。如果 \( x \to y \)，則 \( \bar{x}_y = \frac{\bar{x}_x - a}{b} \)。
• 離散程度測量值（全距, IQR, \(\sigma\)）： 這些僅受乘除 (\(b\)) 的影響。加減 \(a\) 會平移數據，但不會改變散佈程度。
  如果 \( y = \frac{x - a}{b} \)，則 \( \sigma_y = \frac{\sigma_x}{|b|} \) 或 \( \text{IQR}_y = \frac{\text{IQR}_x}{|b|} \)。

編碼類比： 如果全班考試成績都加了 10 分 (\(x+10\))，平均分會上升 10 分，但散佈程度（標準差）保持不變，因為每個人都同樣被平移了。