歡迎來到三角學：Pure Mathematics 2！

你好，未來的數學家！本章「三角學 (Trigonometry)」是在你 Pure Mathematics 1 (P1) 基礎上的進階學習。我們將超越簡單的直角三角形，深入探討三角函數如何模擬曲線、震盪以及現實世界中的週期性現象。

在 P2 中，我們會引入測量角度的新單位（弧度 Radians），並認識三個強大的新三角函數（正割 Secant、餘割 Cosecant 和餘切 Cotangent）。別擔心，即使聽起來有點複雜，我們也會一步步拆解每個概念。掌握這些主題對於學習高等微積分和建模至關重要！

第 1 節：角度、弧長與面積——弧度的革命

在 P1 中，我們使用「度 (degrees)」來測量角度。而在 P2，我們主要使用「弧度 (Radians)」。為什麼要改變？因為弧度基於圓本身的幾何特性，這使得它在微積分中顯得更自然、更有用。

什麼是弧度？

想像一個圓。當弧長剛好等於半徑長度時，圓心所對的角就是 1 弧度。

你知道嗎？ 由於圓周長是 \(2\pi r\)，因此旋轉一圈 \(360^\circ\) 正好等於 \(2\pi\) 弧度。

轉換規則（單位之間的橋樑）

你必須熟練地在「度」與「弧度」之間進行轉換：

  1. 度轉弧度： 乘以 \(\frac{\pi}{180}\)。
  2. 弧度轉度： 乘以 \(\frac{180}{\pi}\)。

記憶小撇步： 當轉換「至」弧度時，\(\pi\) 一定要在分子上！

關鍵對照：

  • \(360^\circ = 2\pi\) rad
  • \(180^\circ = \pi\) rad
  • \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\) rad
  • \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\) rad

弧長與扇形面積公式（使用弧度）

這些公式非常重要，而且只有當角度 \(\theta\) 以「弧度」為單位時才適用。

1. 弧長 (\(L\))

扇形曲線邊緣的長度（就像披薩邊的長度）。

$$L = r\theta$$

其中： \(r\) 為半徑，\(\theta\) 為弧度制下的角度。

2. 扇形面積 (\(A\))

披薩切片的總面積。

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

如果你已知弧長 \(L\)，也可以使用以下替換公式：

$$A = \frac{1}{2}rL$$

逐步範例：求弧長

題目： 一個扇形的半徑為 6 cm，圓心角為 \(120^\circ\)，求其弧長。

第 1 步：轉換為弧度。
$$\theta = 120^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ rad}$$

第 2 步：代入公式。
$$L = r\theta = 6 \times \frac{2\pi}{3} = 4\pi \text{ cm}$$

快速回顧：弧度

1. P2 使用弧度是因為它們在幾何上更自然。

2. 在使用 \(L = r\theta\) 或 \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\) 前，務必檢查角度單位。

第 2 節：倒數家族——正割、餘割與餘切

在 P1 中，你學過正弦 (sine)、餘弦 (cosine) 和正切 (tangent)。在 P2，我們要介紹它們的倒數。這些新函數定義為「1 除以原函數」。

新三角函數的定義

這些定義是核心基礎，務必背熟：

1. 正割 (Secant, \(\sec \theta\))： 餘弦的倒數。

$$ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $$

2. 餘割 (Cosecant, \(\csc \theta\) 或有時寫作 \(\text{cosec } \theta\))： 正弦的倒數。

$$ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} $$

3. 餘切 (Cotangent, \(\cot \theta\))： 正切的倒數。

$$ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} $$

由於 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)，餘切也可以寫作：

$$ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $$
記憶小撇步：第三字母法則

一個簡單的技巧來避免搞混：

  • Secant（正割）以 's' 開頭，但第三個字母是 'c'（對應 Cosine）。
  • Csc（餘割）以 'c' 開頭，但第三個字母是 's'（對應 Sine）。
  • Cotangent（餘切）以 'c' 開頭，對應 Tangent（正切）。

倒數函數的圖像

由於這些函數是倒數，每當原函數為零時，它們就會出現垂直漸近線 (vertical asymptotes)（因為除以零是未定義的）。

  • \(\sec \theta\) 在 \(\cos \theta = 0\) 時有漸近線，例如 \(90^\circ, 270^\circ, \dots\)。
  • \(\csc \theta\) 在 \(\sin \theta = 0\) 時有漸近線，例如 \(0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \dots\)。
避免常見錯誤：

有些同學會混淆 \(\sec \theta\) 和 \(\frac{1}{\sin \theta}\)，因為 'S' 和 'C' 看起來像是一對。請記住「第三字母法則」！看到 \(\sec\)，就聯想到 \(\cos\)。

第 3 節：必備三角恆等式（P2 的強大工具）

你在 P1 學過的恆等式（\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)）是 P2 兩個強大新恆等式的基礎。

推導新恆等式

我們從基本恆等式開始： $$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

恆等式 A：Tan/Sec 恆等式

我們將基本恆等式的每一項都除以 \(\cos^2\theta\)：

$$ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} $$

根據正切與正割的定義，簡化後為：

$$ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $$

（請背下這個形式！）

恆等式 B：Cot/Csc 恆等式

現在，將基本恆等式的每一項都除以 \(\sin^2\theta\)：

$$ \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} $$

根據餘切與餘割的定義，簡化後為：

$$ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $$

（請背下這個形式！）

P2 恆等式總結

  • \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)
  • \( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \)（Tan 與 Sec 家族）
  • \( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \)（Cot 與 Csc 家族）

證明題的關鍵： 當需要證明恆等式時（例如，證明 \(\frac{1+\sec\theta}{\sec\theta} \equiv 1 + \cos\theta\)），請先嘗試將所有項轉回最基本的成分（\(\sin\theta\) 和 \(\cos\theta\)）。從 LHS（左式）開始簡化，直到與 RHS（右式）一致。

範例：證明恆等式

簡化 \((\sec\theta - 1)(\sec\theta + 1)\)。

$$ (\sec\theta - 1)(\sec\theta + 1) = \sec^2\theta - 1^2 $$

使用恆等式 \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)，我們可以將其改寫為 \(\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1\)。

因此，該表達式直接簡化為 \(\tan^2\theta\)。

第 4 節：求解進階三角方程

在 P2 中，你將會解涉及新倒數函數和新恆等式的方程。核心策略始終如一：盡可能轉回 sin, cos 或 tan。

倒數方程的解題策略

如果你遇到像 \(\sec x = 3\) 這樣的方程，請遵循以下步驟：

第 1 步：孤立倒數函數

使倒數函數成為主項（例如 \(\sec x = 3\)）。

第 2 步：翻轉它！

透過兩邊取倒數，將方程轉回基本函數。

如果 \(\sec x = 3\)，那麼 \(\cos x = \frac{1}{3}\)。

第 3 步：使用 CAST 圖與象限（P1 的方法）

使用反函數（例如 \(x = \cos^{-1}(\frac{1}{3})\)）找到主值 (principal value)（第一個角度，通常在 \(0^\circ < x < 90^\circ\) 範圍內）。接著，利用 CAST 圖和給定的定義域找到所有可能的解。

鼓勵一下： 一旦完成翻轉，解題過程就完全是你 P1 已經熟練掌握的方法了！

範例：解餘割方程

解 \(\csc x = -2\)，其中 \(0^\circ \leq x < 360^\circ\)。

第 1 & 2 步：翻轉它！
$$\frac{1}{\sin x} = -2 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$$

第 3 步：求主值。
忽略負號找到參考角 (\(\alpha\))：
$$\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ$$

第 4 步：使用 CAST。
因為 \(\sin x\) 為負，解落在第三 (T) 和第四 (C) 象限。

  • 第三象限：\(x = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ\)
  • 第四象限：\(x = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ\)

涉及恆等式的方程（二次方程形式）

許多 P2 方程需要你利用恆等式將方程簡化為單一函數（sin, cos 或 tan）。

範例： 解 \(2\sec^2\theta + \tan\theta = 4\)。

挑戰： 此方程含有兩種不同函數：\(\sec^2\theta\) 和 \(\tan\theta\)。

第 1 步：轉換為單一函數。
使用恆等式 \( \sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta \)。將其代入：

$$ 2(1 + \tan^2\theta) + \tan\theta = 4 $$

第 2 步：整理成二次方程。
$$ 2 + 2\tan^2\theta + \tan\theta = 4 $$ $$ 2\tan^2\theta + \tan\theta - 2 = 0 $$

第 3 步：解二次方程。
設 \(y = \tan\theta\)。使用二次公式解 \(2y^2 + y - 2 = 0\)（因為它不容易因式分解）：
$$ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-2)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4} $$

第 4 步：解 \(\theta\)。
你現在需解兩個獨立的方程：\(\tan\theta = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}\) 和 \(\tan\theta = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}\)。找到主值並使用正確的 CAST 象限（視正切值的正負而定）。

重點總結：解方程

目標始終是簡化。看到倒數函數，就翻轉它；看到混合函數（如 \(\sec\) 和 \(\tan\)），使用恆等式將其轉為單一函數（通常會得到二次方程）。