歡迎來到代數與函數的世界！

各位未來的數學家，大家好！本章節是你們在 Pure Mathematics 1 (P1) 之旅中最重要的基石。你可以把代數想像成你必備的工具箱——這裡學到的技巧（例如處理冪、根式以及移項），將會運用在每一個課題中，從幾何學到微積分都少不了它們。

如果有些規則現在看起來有點抽象，不用擔心。我們會透過簡單的類比和步驟教學，將這些概念拆解開來。當你讀完這一節，你將會熟練地運用指數法則、化簡根式，並理解基礎的函數記號！

第 1 節：掌握指數（冪）

指數（或稱冪）表示一個數連乘了多少次。理解指數定律對於快速化簡複雜的表達式至關重要。

1.1 指數定律

這些定律適用於任何底數 \(a\) 以及任何指數 \(m\) 和 \(n\)。

  • 定律 1：乘法：當底數相同相乘時，指數相加。
    例子：\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
    （例如：\(x^3 \times x^4 = x^{3+4} = x^7\)）

  • 定律 2：除法：當底數相同相除時，指數相減。
    例子：\(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
    （例如：\(y^6 \div y^2 = y^{6-2} = y^4\)）

  • 定律 3：冪的乘方：當一個冪再進行乘方時，指數相乘。
    例子：\((a^m)^n = a^{mn}\)
    （例如：\((2^3)^5 = 2^{15}\)）

1.2 特殊指數規則

零次方

任何非零數字的零次方永遠等於 1。

規則： \(a^0 = 1\)（其中 \(a \neq 0\)）。
（例如：\(5^0 = 1\)，\((x^2y)^0 = 1\)）

負指數

負指數意味著你要取倒數（即將分數上下顛倒）。這是學生最容易掉入的陷阱！

規則： \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) 以及 \(\frac{1}{a^{-n}} = a^n\)
（例如：\(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)）

記憶小撇步： 負指數表示該項處於「錯誤」的位置（分子或分母），所以你必須將它翻轉過來，讓指數變為正數。

分數指數（根式）

分數指數直接與根式相關。分母代表根的次數。

規則 1（單位分數）： \(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\)
（例如：\(8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2\)）

規則 2（一般分數）： \(a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m\) 或 \(\sqrt[n]{a^m}\)
（例如：\(25^{3/2} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125\)）

快速回顧：指數

如果你看到指數上有負號，請將底數翻轉。
如果你看到指數上有分數，請記住根號（分母）要先處理。

第 2 節：根式（無理根）

根式 (Surd) 是指一個數的根（例如平方根或立方根），且結果是一個無理數——即不能寫成簡單分數，且小數部分不循環、不終止的數（例如 \(\sqrt{2}\) 或 \(\sqrt{7}\)）。

在 P1 數學中，我們通常保留根式形式以保持精確答案，這是考試中的一項關鍵要求。

2.1 化簡根式

要化簡一個根式，請在根號內的數中找出最大的平方數因數。

規則： \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)

步驟範例：化簡 \(\sqrt{72}\)

  1. 找出 72 的最大完全平方因數。（完全平方數包括 4, 9, 16, 25, 36...）
  2. 我們發現 36 是其中一個因數：\(72 = 36 \times 2\)。
  3. 拆分根式：\(\sqrt{72} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}\)
  4. 化簡完全平方數：\(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)。

2.2 分母有理化

在數學中，將根式留在分數的分母被視為不規範的做法。有理化是指將分母變為整數。

情況 1：分母為單項根式

如果分母是 \(\sqrt{a}\)，將分子和分母同乘 \(\sqrt{a}\)。

例子：有理化 \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\[\n\frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}\n\]

情況 2：分母為 \(a \pm \sqrt{b}\)（使用共軛）

如果分母有兩項（其中一項或兩項皆為根式，例如 \(4 + \sqrt{3}\)），你必須乘以它的共軛 (Conjugate)。

  • \(a + \sqrt{b}\) 的共軛是 \(a - \sqrt{b}\)。
  • \(a - \sqrt{b}\) 的共軛是 \(a + \sqrt{b}\)。

乘以共軛利用了平方差公式：\((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\)。這能消除根式！

步驟範例：有理化 \(\frac{1}{4 - \sqrt{3}}\)

  1. 找出共軛：\(4 - \sqrt{3}\) 的共軛是 \(4 + \sqrt{3}\)。
  2. 將分子和分母乘以共軛：
    \[\n \frac{1}{4 - \sqrt{3}} \times \frac{4 + \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}\n \]
  3. 化簡分子：\(1 \times (4 + \sqrt{3}) = 4 + \sqrt{3}\)。
  4. 化簡分母（使用 \(a^2 - b^2\)）：\((4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13\)。
  5. 結果為：\(\frac{4 + \sqrt{3}}{13}\)。

重點提示（根式）： 請務必將答案化為最簡且精確的形式，絕對不要將根式留在分母中。

第 3 節：代數表達式與分數

P1 要求你能夠流暢地進行展開、因式分解及處理代數分數，特別是涉及多項式的計算。

3.1 展開與因式分解

展開是指將括號拆開（處理兩個括號時常用 FOIL 方法）。
例子：\((x + 3)(2x - 1) = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3\)

因式分解是相反的過程——將表達式重新放回括號中。對於 P1，你必須熟練以下技巧：

  • 公因式： \(4x^2 - 6x = 2x(2x - 3)\)
  • 平方差 (DOTS)： \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
    （例如：\(9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)\)）
  • 二次式因式分解（這在下一章會詳細介紹，但學會尋找兩個數相乘等於 C 且相加等於 B 的技巧非常重要）。

3.2 代數分數

處理代數分數的規則與一般數字分數完全相同。

化簡分數

要進行化簡，請先將分子和分母因式分解，找出並刪去公因式。

例子：化簡 \(\frac{x^2 + 3x}{x^2 - 9}\)

  1. 分子因式分解（提取公因式）：\(x(x + 3)\)
  2. 分母因式分解（平方差）：\((x - 3)(x + 3)\)
  3. 分數變為：\(\frac{x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}\)
  4. 刪去公因式 \((x + 3)\)。結果為：\(\frac{x}{x - 3}\)。

避免常見錯誤： 你只能刪去公因式，不能刪去公項。在 \(\frac{x^2 + 2}{x^2 + 5}\) 中，你不能刪去 \(x^2\)，因為這些是加減法中的項，而不是整個表達式的因式。

分數的加減法

你需要找出共同分母 (LCD)。

步驟範例：\(\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x}\)

  1. LCD 是兩個分母的乘積：\(x(x+1)\)。
  2. 調整第一個分數：\(\frac{2}{x+1} \times \frac{x}{x} = \frac{2x}{x(x+1)}\)
  3. 調整第二個分數：\(\frac{3}{x} \times \frac{x+1}{x+1} = \frac{3(x+1)}{x(x+1)}\)
  4. 合併分子：
    \[\n \frac{2x + 3(x+1)}{x(x+1)} = \frac{2x + 3x + 3}{x(x+1)} = \frac{5x + 3}{x^2 + x}\n \]

你知道嗎？ 代數是由古代巴比倫人、希臘人和印度人各自獨立發展出來的，但「代數 (Algebra)」一詞源自阿拉伯語「al-jabr」，意為「破碎部分的重聚」。

重點提示（表達式）： 在化簡複雜的分數時，請務必先進行因式分解。隨時注意是否有平方差的情況！

第 4 節：函數入門（記號、定義域與值域）

函數 (Function) 是一種規則，它將每一個輸入值 (x) 對應到唯一的一個輸出值 (y 或 f(x))。

4.1 函數記號

我們通常不寫 \(y = 3x + 2\)，而是使用函數記號：

\[\nf(x) = 3x + 2\n\]

這讀作「f of x 等於 3x 加 2」。這代表 \(f\) 是函數的名稱，而 \(x\) 是輸入變量。

計算函數值

要計算 \(f(a)\)，請將函數中的每一個 \(x\) 替換為 \(a\)。

例子：若 \(f(x) = x^2 - 5\)，求 \(f(4)\)。
\[\nf(4) = (4)^2 - 5 = 16 - 5 = 11\n\] 例子：求 \(f(2a)\)。
\[\nf(2a) = (2a)^2 - 5 = 4a^2 - 5\n\]

4.2 定義域 (Domain) 與值域 (Range)

定義域與值域的概念非常關鍵，因為它們定義了函數的邊界。

定義域（輸入）

定義域是指所有函數有定義的可能輸入值 (\(x\)) 的集合。

  • 對於大多數簡單多項式（例如 \(f(x) = x^2 + 5x - 1\)），定義域為所有實數 (\(x \in \mathbb{R}\))。
  • 限制： 在 P1 中，定義域通常在以下情況受到限制：
    1. 函數涉及除法（分母不能為零）。
    2. 函數涉及平方根（根號內不能為負數）。

限制例子：對於 \(g(x) = \frac{1}{x-3}\)，我們不能有 \(x-3=0\)。因此，定義域為 \(x \neq 3\)。

值域（輸出）

值域是指函數可能產生所有輸出值 (\(f(x)\) 或 \(y\)) 的集合。

  • 值域通常較難確定，通常需要畫出圖像或使用配方法（對於二次函數，稍後會學習）。
  • 對於簡單函數如 \(f(x) = x^2\)，因為任何實數的平方結果皆 \(\ge 0\)，故值域為 \(f(x) \ge 0\)。
休息一下，給自己加加油！

如果現在覺得找出值域有點困難，請不要驚慌。對於初期的線性函數和基礎多項式，定義域通常就是「所有實數」。先專注於找出明顯的限制（例如分母為零的情況）。

4.3 不等式與集合記號

在 P1 中，你必須使用正確的數學記號來表示定義域和值域：

  • 「x 大於 5」：\(x > 5\)
  • 「y 小於或等於 10」：\(y \le 10\)
  • 「x 在 2 和 7 之間（包含 2 和 7）」：\(2 \le x \le 7\)
  • 「x 屬於實數集」：\(x \in \mathbb{R}\)

重點提示（函數）： \(f(x)\) 是對應於輸入 \(x\) 的輸出。定義域定義了哪些 \(x\) 值是被允許的；值域則定義了函數會產出哪些 \(f(x)\) 值。