👋 歡迎來到複數（Complex Numbers）的世界！
別擔心，「複數」這個名字聽起來雖然有點嚇人，但它其實只是引入了虛數單位（Imaginary Unit）。事實上，這些數字非常重要，因為它們讓我們能夠解開任何多項式方程，這是單靠實數無法做到的！
本章是高級純數學（Further Pure Mathematics）的基石。讀完這些筆記後，你將能自信地運用代數和幾何方法處理複數。讓我們開始吧！
第一部分：介紹虛數單位與基本運算
1.1 定義虛數單位 (\(i\))
幾個世紀以來，數學家一直無法解決像 \(x^2 + 1 = 0\) 這類方程。如果你試圖移項，會得到 \(x^2 = -1\)。在實數範圍內，這是不可能的，因為任何實數（無論正負）的平方結果必定為正數。
為了修正這個問題，我們引入了虛數單位，記作 \(i\)：
- 定義： \(i\) 是一個滿足 \(i^2 = -1\) 的數。
- 因此，\(i = \sqrt{-1}\)。
1.2 什麼是複數？
複數通常記作 \(z\)，是由實部和虛部組成的組合。
$$z = a + bi$$
- \(a\) 是實部（Real Part），記作 \(\text{Re}(z)\)。
- \(b\) 是虛部（Imaginary Part），記作 \(\text{Im}(z)\)。注意：虛部只是係數 \(b\)，而不是 \(bi\)。
例如：若 \(z = 3 + 4i\)，則 \(\text{Re}(z) = 3\) 且 \(\text{Im}(z) = 4\)。
1.3 複數的加法與減法
這是最簡單的部分！你可以把 \(i\) 當作變數（像 \(x\) 一樣）來處理，只需要將實部與實部相加減，虛部與虛部相加減即可。
若 \(z_1 = a + bi\) 且 \(z_2 = c + di\)：
- 加法： \(z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i\)
- 減法： \(z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i\)
1.4 複數的乘法
乘法的運算方式與代數中兩個括號相乘完全相同（使用展開法 FOIL），但當 \(i^2\) 出現時，你必須代入 \(i^2 = -1\)。
若 \(z_1 = (2 + 3i)\) 且 \(z_2 = (4 - i)\)：
$$z_1 z_2 = (2 + 3i)(4 - i)$$
- 展開 (FOIL)： \(8 - 2i + 12i - 3i^2\)
- 代入 \(i^2 = -1\)： \(8 + 10i - 3(-1)\)
- 化簡： \(8 + 10i + 3 = 11 + 10i\)
🔥 重點總結： 複數由 \(i^2 = -1\) 定義。運算很簡單：加減法合併同類項；乘法使用展開法，並將 \(i^2\) 替換為 \(-1\)。
第二部分：共軛複數與除法
2.1 共軛複數 (\(z^*\))
一個複數 \(z\) 的共軛複數（Complex Conjugate），只需將虛部的符號變號即可得到。它記作 \(z^*\) 或 \(\bar{z}\)。
- 若 \(z = a + bi\)，則 \(z^* = a - bi\)。
例如：若 \(z = 5 - 2i\)，則 \(z^* = 5 + 2i\)。若 \(w = -3i\)，則 \(w^* = 3i\)。
為什麼共軛很重要？
將複數與其共軛複數相乘，結果一定是一個純實數。
$$z z^* = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2$$
這對於除法運算非常有幫助！
2.2 複數的除法
分母不能保留 \(i\)。除法是透過類似無理數「分母有理化」的過程來完成的：將分子和分母同時乘以分母的共軛複數。
除法步驟範例
計算 \(\frac{1 + 2i}{3 - 4i}\)。
- 找出共軛複數： 分母是 \(3 - 4i\)，其共軛複數為 \(3 + 4i\)。
- 分子分母同乘： $$\frac{1 + 2i}{3 - 4i} \times \frac{3 + 4i}{3 + 4i}$$
- 計算分母：（簡單的部分：使用 \(a^2 + b^2\)） $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$
- 計算分子：（使用展開法） $$(1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^2$$ $$3 + 10i + 8(-1) = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i$$
- 合併並化簡： $$\frac{-5 + 10i}{25} = \frac{-5}{25} + \frac{10}{25}i = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$$
⚠️ 常見錯誤： 學生常會忘記分子也要乘以共軛複數！務必乘以 \(\frac{z^*}{z^*}\)（本質上這就是 1）。
🔥 重點總結： 利用共軛複數 \(z^*\) 進行除法，能確保分母化為實數（\(a^2 + b^2\)）。
第三部分：解多項式方程
3.1 二次方程的複數根
當使用二次公式解方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)（其中 \(a, b, c\) 為實數）時，如果判別式 (\(b^2 - 4ac\)) 為負數，你就會得到複數根。
例如：解 \(z^2 + 2z + 5 = 0\)。
使用公式 \(z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)：
$$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}$$ $$z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2}$$ $$z = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}$$
由於 \(\sqrt{-16} = \sqrt{16} \times \sqrt{-1} = 4i\)：
$$z = \frac{-2 \pm 4i}{2}$$ $$z = -1 \pm 2i$$
根為 \(z_1 = -1 + 2i\) 和 \(z_2 = -1 - 2i\)。請留意這當中的重要規律……
3.2 共軛根定理 (Conjugate Root Theorem)
對於任何係數為實數的多項式方程，如果 \(z\) 是其中一個複數根，那麼它的共軛複數 \(z^*\) 也必定是該方程的根。
這對於高次多項式（三次及四次）非常有幫助。
- 如果 \(3 + i\) 是一個三次方程的根，那麼 \(3 - i\) 也必定是根。
3.3 尋找未知根與係數
如果你已知三次方程 \(P(z) = 0\) 的一個複數根，你可以利用共軛根定理找到與這對根相關的二次因式。
若根為 \(z_1\) 和 \(z_1^*\)，則二次因式為： $$(z - z_1)(z - z_1^*) = z^2 - (\text{兩根之和})z + (\text{兩根之積})$$
由於 \(z_1 + z_1^*\) 和 \(z_1 z_1^*\) 均為實數，這個二次因式將具有實係數。
三次方程求解步驟：
- 找出已知的根 \(z_1\) 及其共軛根 \(z_1^*\)。
- 計算這兩個根的和 (\(S\)) 與積 (\(P\))。
- 組成二次因式： \(Q(z) = z^2 - Sz + P\)。
- 將原三次多項式 \(P(z)\) 除以 \(Q(z)\)，求出剩餘的線性因式 \((z - k)\)。
- 實數根即為 \(z = k\)。
🔥 重點總結： 實係數多項式的複數根總是成對出現的共軛根。利用此定理找出因式並解出方程。
第四部分：阿爾岡圖（Argand Diagram，幾何表示）
4.1 複數的標示
阿爾岡圖（或稱複數平面）是複數的圖形表示。我們不使用傳統的 x-y 座標系，而是使用分別代表實部和虛部的軸。
- 橫軸為實軸（Real Axis），記作 \(x\)。
- 縱軸為虛軸（Imaginary Axis），記作 \(y\)。
複數 \(z = a + bi\) 在圖上標示為點 \((a, b)\)。
例如：繪製 \(z_1 = 4 + i\) 和 \(z_2 = -2 + 3i\)。
\(z_1\) 標在點 \((4, 1)\)。\(z_2\) 標在點 \((-2, 3)\)。
4.2 視覺化運算
當你在阿爾岡圖上進行複數加減法時，它的行為完全等同於向量的加減法。
- 如果你畫出從原點指向 \(z_1\) 的向量和從原點指向 \(z_2\) 的向量，那麼 \(z_1 + z_2\) 的和可以用平行四邊形定則求得。
- 共軛複數 \(z^*\) 是 \(z\) 對實軸的反射。
你知道嗎？ 這種幾何解釋正是複數在物理學和工程學中如此強大的原因——它們同時表示了大小（模）和方向（幅角）！
第五部分：模與幅角（極座標）
為了從幾何角度描述複數，我們可以使用它的直角座標 \((a, b)\)，也可以使用極座標（Polar Coordinates）：它到原點的距離 (\(r\)) 以及它與正實軸所形成的夾角 (\(\theta\))。
5.1 模 (\(|z|\))
模（Modulus），記作 \(|z|\) 或 \(r\)，是從原點到阿爾岡圖上點 \(z\) 的距離。根據畢氏定理：
$$|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$$
注意 \(|z|^2 = z z^* = a^2 + b^2\)。
例如：若 \(z = 3 - 4i\)，則 \(|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。
5.2 幅角 (\(\arg(z)\))
幅角（Argument），記作 \(\arg(z)\) 或 \(\theta\)，是正實軸與連結原點和 \(z\) 的線段之間的夾角。
約定（FP1 標準）： 幅角通常以弧度（radians）為單位，且必須位於以下範圍內：
$$-\pi < \theta \leq \pi$$
計算幅角（步驟說明）
這是許多學生覺得最棘手的部分。千萬不要直接使用 \(\arctan(b/a)\)。你必須先透過阿爾岡圖判斷正確的象限。
第 1 步：找出參考角 (\(\alpha\))。
使用邊長的絕對值（忽略 \(a\) 和 \(b\) 的符號）：
$$\alpha = \arctan\left(\left|\frac{b}{a}\right|\right)$$
第 2 步：判斷象限並調整 \(\theta\)。
- 第一象限 (\(a>0, b>0\))： \(\theta = \alpha\)
- 第二象限 (\(a<0, b>0\))： \(\theta = \pi - \alpha\)
- 第三象限 (\(a<0, b<0\))： \(\theta = -\pi + \alpha\)（或 \(\alpha - \pi\)）
- 第四象限 (\(a>0, b<0\))： \(\theta = -\alpha\)
類比：將 \(\alpha\) 想成是你的計算結果，而象限調整則是確保角度是正確地從正 x 軸測量出來，並保持在 \(-\pi\) 到 \(\pi\) 的範圍內。
例如：求 \(z = -1 - i\) 的幅角。
- \(a=-1\)，\(b=-1\)。這在第三象限。
- 參考角： \(\alpha = \arctan\left(\left|\frac{-1}{-1}\right|\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)。
- 第三象限調整： \(\theta = -\pi + \alpha = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}\)。
🔥 重點總結： 模 (\(r\)) 是距離 (\(\sqrt{a^2+b^2}\))。幅角 (\(\theta\)) 是角度，透過 arctan 計算，且關鍵在於依正確象限調整以維持 \(\theta \in (-\pi, \pi]\)。
第六部分：模幅角形式（極座標形式）
6.1 定義
一旦你有了模 \(r\) 和幅角 \(\theta\)，你就可以用模幅角形式（Modulus-Argument Form）（亦稱極座標形式）來表示複數 \(z = a + bi\)。
觀察圖形：
- 實部 \(a\) 是夾角 \(\theta\) 的鄰邊： \(a = r \cos \theta\)
- 虛部 \(b\) 是夾角 \(\theta\) 的對邊： \(b = r \sin \theta\)
將這些代回 \(z = a + bi\)：
$$z = r \cos \theta + i(r \sin \theta)$$
$$z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$$
這種形式在處理涉及冪次與開根號的後期計算中非常強大（儘管這些特定技巧通常會在 FP2 中涵蓋）。
6.2 形式轉換
A) 直角座標轉極座標 (\(a+bi\) 轉 \(r(\cos \theta + i \sin \theta)\))
（這只是第五部分的綜合運用。）
- 計算 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)。
- 計算 \(\theta\)（幅角），並確保其位於 \(-\pi < \theta \leq \pi\) 的正確範圍內。
例如：將 \(z = \sqrt{3} + i\) 轉換為極座標形式。
- \(r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\)。
- \(a>0, b>0\)，第一象限。 \(\alpha = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}\)。
- 極座標形式： \(z = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)\)。
B) 極座標轉直角座標 (\(r(\cos \theta + i \sin \theta)\) 轉 \(a+bi\))
這容易得多！只需計算餘弦與正弦值並展開括號即可。
例如：將 \(z = 4\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right)\) 轉換為直角座標形式。
我們知道 \(\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) 且 \(\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)。
$$z = 4\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ $$z = -\frac{4}{\sqrt{2}} + i \frac{4}{\sqrt{2}}$$ $$z = -2\sqrt{2} + i 2\sqrt{2}$$
🎉 學習檢查！ 如果你能夠流暢地在 \(a+bi\) 與 \(r(\cos \theta + i \sin \theta)\) 之間轉換，並處理四種基本運算，你就已經掌握了 FP1 複數的核心精髓！