Differentiation

歡迎來到微分的世界！

你好，未來的數學家！你即將進入純數中最強大且最令人興奮的領域之一：微分 (Differentiation)。

如果代數是關於尋找未知數，那麼微分就是關於尋找變率 (rates of change)。本質上，它能讓你精確地計算出曲線在任意一點的斜率，或者物體在某一瞬間的運動快慢。這些知識對於物理學、經濟學、工程學等領域來說至關重要。

如果一開始看到這些符號覺得有點嚇人，不用擔心。我們將會透過清晰的語言和實用的例子，一步步拆解這個章節。讓我們開始吧！

第一節：導數的概念（斜率搜尋器）

1.1 曲線斜率與直線斜率

你已經學過如何求直線的斜率 \(m\)。直線的斜率在任何地方都是恆定的！但如果是一條曲線，例如 \(y = x^2\)，情況又會如何呢？

曲線的陡峭程度是隨時在變化的。在某一點，它可能是平坦的；在另一點，它可能極為陡峭。

核心概念：當我們對一個函數進行微分時，我們會得到一個新的函數，稱為導數 (Derivative)。這個導數函數讓我們能夠計算出原始曲線上任何一點切線的精確斜率。

符號檢查：

• 若原始函數為 \(y\)，其導數寫作 \(\mathbf{\frac{dy}{dx}}\)。
• 若原始函數為 \(f(x)\)，其導數寫作 \(\mathbf{f'(x)}\)（讀作 "f prime of x"）。

1.2 從第一原理進行微分（進階選修）

微分的基礎源於極限。本節將透過觀察一個極小區間內的斜率，解釋為什麼微分規則有效。

想像你在曲線上有一點 P，以及另一點 Q 非常靠近 P。弦 PQ 的斜率就是點 P 處斜率的一個近似值。

我們讓 P 與 Q 之間的水平距離（通常稱為 \(\delta x\) 或 \(h\)）縮小趨近於零。此時，弦的斜率就會變成 P 點切線的斜率。

導數的正式定義為：
$$\mathbf{f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}}$$

不用擔心！雖然考試可能會要求你利用此公式證明簡單函數（如 \(y=x^2\)）的導數，但在大多數情況下，你只需運用下方更快捷的規則即可！

第二節：微分規則（冪規則）

這是 P1 微分的核心機制。只要精通此規則，你就能微分任何多項式函數！

2.1 冪規則 (Power Rule)：微分 \(x^n\)

若項的指數 \(n\) 為常數（正數、負數、整數或分數），其微分規則如下：

$$\text{若 } y = x^n, \text{ 則 } \mathbf{\frac{dy}{dx} = n x^{n-1}}$$

記憶法：
「指數乘下來，然後指數減去一。」

逐步範例：微分 \(y = x^4\)。

1. 找出指數，\(n = 4\)。
2. 將原項乘以指數：\(4x^4\)。
3. 指數減去一：\(4 - 1 = 3\)。
4. 結果：\(\frac{dy}{dx} = 4x^3\)。

2.2 微分 \(ax^n\) 及常數

如果 \(x^n\) 前面有係數 \(a\)，我們只需將其保留並繼續相乘：

$$\text{若 } y = ax^n, \text{ 則 } \mathbf{\frac{dy}{dx} = anx^{n-1}}$$

你知道嗎？
如果 \(y = 5x\)，這等同於 \(y = 5x^1\)。微分後得到 \(1 \times 5x^{1-1} = 5x^0\)。因為 \(x^0 = 1\)，所以導數為 5。這很合理：直線 \(y=5x\) 的斜率正是 5！

常數規則：
如果 \(y\) 僅為常數（沒有 \(x\) 的數字），其斜率為零。
$$\text{若 } y = k, \text{ 則 } \mathbf{\frac{dy}{dx} = 0}$$ 類比：常數函數如 \(y=7\) 是一條完全水平的線。水平線的陡峭程度為零。

2.3 微分和與差（多項式）

我們可以逐項微分多項式。如果一個函數是由幾個項相加或相減組成的，只需對每一部分分別運用規則即可。

範例：微分 \(y = 3x^5 - 2x^2 + 4x - 10\)。

• 第一項 (\(3x^5\))：\(5 \times 3x^{5-1} = 15x^4\)
• 第二項 (\(-2x^2\))：\(2 \times (-2)x^{2-1} = -4x^1 = -4x\)
• 第三項 (\(4x\))：微分後得 \(4\)
• 第四項 (\(-10\))：微分後得 \(0\)

結果： \(\frac{dy}{dx} = 15x^4 - 4x + 4\)

2.4 準備工作是關鍵：重寫各項

這通常是學生最容易出錯的地方！冪規則僅適用於 \(ax^n\) 形式的項。如果你看到根號或分數，必須先利用指數定律 (index laws) 將其改寫。

完整重寫範例：微分 \(y = \frac{4}{x^2} + 3\sqrt{x}\)。

1. 重寫： \(y = 4x^{-2} + 3x^{1/2}\) （注意：我們還沒開始微分！）
2. 微分第一項： \(\frac{d}{dx}(4x^{-2}) = (-2) \times 4 x^{-2-1} = -8x^{-3}\)
3. 微分第二項： \(\frac{d}{dx}(3x^{1/2}) = (1/2) \times 3 x^{1/2 - 1} = \frac{3}{2} x^{-1/2}\)
4. 結果： \(\frac{dy}{dx} = -8x^{-3} + \frac{3}{2} x^{-1/2}\)
5. （選做：整理回原始符號形式）： \(\frac{dy}{dx} = -\frac{8}{x^3} + \frac{3}{2\sqrt{x}}\)

第三節：微分的應用——斜率、切線與法線

3.1 求特定點的斜率

得到導數 \(f'(x)\) 後，求 \(x=a\) 處斜率的方法很簡單：只需將 \(a\) 代入 \(f'(x)\) 即可。

範例：求 \(y = x^3 - 4x\) 在 \(x=2\) 處的斜率。

1. 微分： \(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4\)。
2. 代入 \(x=2\)： \(\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=2} = 3(2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8\)。

曲線在 \(x=2\) 處的斜率為 8。

3.2 切線方程式

切線 (tangent) 是一條與曲線恰好交於一點，且在該點斜率與曲線完全相同的直線。

我們使用直線的標準方程式：\(\mathbf{y - y_1 = m(x - x_1)}\)。

逐步：求切線方程式

1. 求座標 \((x_1, y_1)\)： 利用原始方程式 \(y = f(x)\)，將給定的 \(x_1\) 代入以求出 \(y_1\)。
2. 求斜率 \(m\)： 對函數進行微分得到 \(\frac{dy}{dx}\)，再代入 \(x_1\) 求出數值斜率 \(m\)。
3. 代入並求解： 將 \(m\)、\(x_1\) 和 \(y_1\) 代入 \(y - y_1 = m(x - x_1)\) 中進行整理。

3.3 法線方程式

法線 (normal) 是一條與切線垂直（成 90 度角）的直線。

如果切線斜率為 \(m_{tangent}\)，則法線斜率 \(m_{normal}\) 為切線斜率的負倒數。
$$\mathbf{m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}}}$$

範例：如果切線斜率為 \(m_T = 5\)，則法線斜率為 \(m_N = -\frac{1}{5}\)。如果切線斜率為 \(m_T = -\frac{2}{3}\)，則 \(m_N = +\frac{3}{2}\)。

要求法線方程式，請遵循上述三個步驟，但在最後一步中使用 \(m_{normal}\) 代替 \(m_{tangent}\) 即可。

第四節：駐點（轉向點）

4.1 什麼是駐點？

駐點 (stationary points)（或稱轉向點 turning points）是曲線上的關鍵特徵。它們出現在函數暫時停止增加或減少的位置。

在駐點處，切線是完全水平的，這意味著斜率為零。
$$\mathbf{\text{在駐點處, } \frac{dy}{dx} = 0}$$

駐點可分為三種類型：

• 極大值 (Local Maximum)： 山峰（曲線先上升，停止，再下降）。
• 極小值 (Local Minimum)： 谷底（曲線先下降，停止，再上升）。
• 拐點 (Point of Inflection)： 停止改變方向，但之後繼續沿相同方向發展（在 P1 基礎範例中較少見）。

逐步：求駐點

1. 微分： 求導數 \(\frac{dy}{dx}\)。
2. 令導數為零： 令 \(\frac{dy}{dx} = 0\)，並解出 \(x\)。這些值即為臨界 \(x\) 值。
3. 求座標： 將 \(x\) 值代回原始函數 \(y\)，求出對應的 \(y\) 座標。

4.2 判斷駐點的性質

求出座標後，我們需要判斷它是極大值還是極小值。在 P1 中，我們通常使用二階導數測試 (Second Derivative Test)。

A) 二階導數 (\(\frac{d^2y}{dx^2}\) 或 \(f''(x)\))

二階導數簡單來說就是對導數進行再次微分。
$$\mathbf{\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right)}$$

這告訴我們關於「斜率的變率」。

B) 二階導數測試

將駐點的 \(x\) 座標代入 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

條件	結果	性質
\(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)（正數）	曲線呈微笑狀（凹向上）	極小值 (Local Minimum)
\(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)（負數）	曲線呈皺眉狀（凹向下）	極大值 (Local Maximum)

記憶技巧：
如果結果為正數 (\(+\))，看起來像個碗底：極小值。
如果結果為負數 (\(-\))，看起來像個山頂：極大值。

範例：判斷 \(y = x^3 - 3x\) 的駐點性質。

1. 求 \(\frac{dy}{dx}\)： \(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3\)。
2. 求駐點 (\(\frac{dy}{dx} = 0\))： $$3x^2 - 3 = 0 \implies 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1$$ 駐點位於 \(x = 1\) 及 \(x = -1\)。
3. 求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)： 微分 \(3x^2 - 3\)。 $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$$
4. 測試點：
   • 當 \(x = 1\)：\(\frac{d^2y}{dx^2} = 6(1) = 6\)。由於 \(6 > 0\)（正數），這是極小值。
   • 當 \(x = -1\)：\(\frac{d^2y}{dx^2} = 6(-1) = -6\)。由於 \(-6 < 0\)（負數），這是極大值。
5. 最終座標（可選但建議）： \(y(1) = 1^3 - 3(1) = -2\)。極小值為 \((1, -2)\)。\(y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2\)。極大值為 \((-1, 2)\)。

P1 另一種方法（符號變更測試）：
如果二階導數測試結果為 0（或如果你喜歡），你可以檢查駐點 \(x=a\) 前後的斜率 \(\frac{dy}{dx}\) 符號：

• 極大值： 斜率從正數 \((+)\) 變為零 \((0)\) 再變為負數 \((-)\)。
• 極小值： 斜率從負數 \((-)\) 變為零 \((0)\) 再變為正數 \((+)\)。

總結：你的微分檢查清單

你現在已經擁有了應對 P1 微分章節所需的所有工具！請記住這些重點：

1. 準備函數： 將所有根號和分數轉換為 \(ax^n\) 形式（例如 \(\frac{1}{x} = x^{-1}\)）。
2. 冪規則： 指數乘下來，指數減一。 \(\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}\)。
3. 切線： 使用 \(\frac{dy}{dx}\) 求斜率 \(m\)，然後使用 \(y - y_1 = m(x - x_1)\)。
4. 法線： 斜率為負倒數：\(m_N = -1/m_T\)。
5. 駐點： 令 \(\frac{dy}{dx} = 0\) 求 \(x\) 座標。
6. 性質： 使用 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。結果為正 = 極小值；結果為負 = 極大值。

保持練習指數定律，微分就會成為你的第二天性！祝你順利！