Hyperbolic functions

🚀 FP3 章節筆記：雙曲函數 (指數函數的「表親」)

歡迎來到雙曲函數的奇妙世界！別擔心這個名字聽起來很嚇人——這些函數本質上只是指數函數 \(e^x\) 的巧妙組合。它們是標準三角函數 (sin, cos, tan) 的「表親」，廣泛應用於物理學和工程學中，特別是在處理懸掛電纜形成的形狀或電阻介質中的運動時。

在本章中，我們將掌握它們的定義，探索它們獨特的恆等式，並學習如何進行微分和積分。讓我們開始吧！

1. 雙曲函數的定義

1.1 以指數形式定義

三個主要的雙曲函數直接由指數函數 \(e^x\) 推導得出，定義如下：

• 雙曲正弦 (sinh x)：
  \( \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \)
• 雙曲餘弦 (cosh x)：
  \( \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \)
• 雙曲正切 (tanh x)： (定義為 \(\frac{\sinh x}{\cosh x}\))
  \( \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \)

⭐ 記憶小撇步：
留意 "hyperbolic" 中的 'h'。

Cosh 帶有 加號 (+) (就像字母 C 通常暗示正數或 Cosine)。
Sinh 帶有 減號 (-) (Sine 常與奇函數有關，而此公式使用了減法)。

1.2 圖像與性質

理解圖像對於掌握定義域 (domain) 和值域 (range) 至關重要。

i) Cosh x (懸鏈線)

• 定義域：\(x \in \mathbb{R}\)
• 值域：\(\cosh x \geq 1\)
• 形狀：看起來像拋物線 (\(y=x^2\))，但底部更平坦。這種形狀在物理上被稱為懸鏈線 (catenary)，是繩索或鏈條在兩點之間自然懸掛時形成的曲線 (例如電纜線)。
• 對稱性：它是偶函數 (\(\cosh(-x) = \cosh x\))。

ii) Sinh x

• 定義域：\(x \in \mathbb{R}\)
• 值域：\(\sinh x \in \mathbb{R}\)
• 形狀：始終遞增，經過原點 \((0, 0)\)。
• 對稱性：它是奇函數 (\(\sinh(-x) = -\sinh x\))。

2. 雙曲函數的基本恆等式

2.1 主恆等式 (關鍵差異)

在圓三角學中，主恆等式是 \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\)。

對於雙曲函數，符號會發生變化：

$$ \mathbf{\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1} $$

⚠️ 常見錯誤提醒： 學生常會錯誤地寫成 \(\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1\)。記住，在雙曲世界中，減號是必須的！

你知道嗎？這就是它們被稱為「雙曲」函數的原因！滿足 \(x^2 - y^2 = 1\) 的點集 \((x, y)\) 正好定義了一條雙曲線 (hyperbola)。

2.2 推導出的恆等式

通過將主恆等式 \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\) 分別除以 \(\cosh^2 x\) 或 \(\sinh^2 x\)，我們可以得到另外兩個恆等式 (就像圓三角學一樣)：

i) 除以 \(\cosh^2 x\)： $$ 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x $$ (其中 \(\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}\))

ii) 除以 \(\sinh^2 x\)： $$ \coth^2 x - 1 = \operatorname{cosech}^2 x $$ (其中 \(\coth x = \frac{1}{\tanh x}\) 且 \(\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x}\))

2.3 倍角公式

sinh 和 cosh 的加法公式與圓三角函數非常相似，但要留意符號！

$$ \cosh(A+B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B $$ $$ \sinh(A+B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B $$

令 \(A=B=x\)，我們得到倍角恆等式：

• \(\cosh 2x\) (三種形式)： $$ \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x $$ $$ \cosh 2x = 2\cosh^2 x - 1 $$ $$ \cosh 2x = 1 + 2\sinh^2 x $$
• \(\sinh 2x\): $$ \sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x $$

記住：所有這些恆等式都可以使用第 1 節中的基本指數定義來證明。如果在考試中卡住了，回到定義就對了！

3. 雙曲函數的微分

雙曲函數的微分通常比三角函數容易，因為你通常不需要擔心負號問題！

3.1 標準導數

這些結果對於 FP3 是必備的，並且可以使用指數定義進行證明。

• $$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x $$
• $$ \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $$ (注意：這裡沒有負號，這與 \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\) 不同。這簡直是一大解脫！)
• $$ \frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{coth} x) = -\operatorname{cosech}^2 x $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\operatorname{sech} x \tanh x $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{cosech} x) = -\operatorname{cosech} x \coth x $$

3.2 使用連鎖律 (Chain Rule)

就像標準微積分一樣，如果你處理的是複合函數，請使用連鎖律： $$ \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

範例：求 \(y = \cosh(3x^2 + 1)\) 的導數。

第 1 步：識別內層函數 \(g(x) = 3x^2 + 1\)。因此 \(g'(x) = 6x\)。
第 2 步：對外層函數微分：\(\frac{d}{du}(\cosh u) = \sinh u\)。
第 3 步：合併： $$ \frac{dy}{dx} = \sinh(3x^2 + 1) \cdot (6x) = 6x \sinh(3x^2 + 1) $$

4. 反雙曲函數 (面積函數)

4.1 定義與記法

反雙曲函數也被稱為面積函數 (Area Functions) (記作 arsinh, arcosh, artanh 等)。

如果 \(y = \sinh x\)，那麼 \(x = \operatorname{arsinh} y\)。

這些函數是用自然對數 (\(\ln\)) 定義的。這些對數形式非常重要，因為它們用於解方程式和證明微分結果。

i) 反雙曲正弦 (Area Hyperbolic Sine)： $$ \operatorname{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}), \quad x \in \mathbb{R} $$

ii) 反雙曲餘弦 (Area Hyperbolic Cosine)： $$ \operatorname{arcosh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}), \quad x \geq 1 $$ 注意：因為 \(\cosh x \geq 1\)，所以 \(\operatorname{arcosh} x\) 的定義域限制為 \(x \geq 1\)。

iii) 反雙曲正切 (Area Hyperbolic Tangent)： $$ \operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right), \quad |x| < 1 $$ 注意：因為 \(\tanh x\) 的值嚴格在 -1 到 1 之間，所以 \(\operatorname{artanh} x\) 的定義域限制為 \(-1 < x < 1\)。

4.2 使用對數形式解方程式 (步驟範例)

如果你需要解像 \(\sinh x = 5\) 這樣的方程式，你可以使用對數形式，或者直接回歸指數定義。

範例：解 \(\sinh x = 5\)。

方法 1：使用對數定義： $$ x = \operatorname{arsinh} 5 = \ln(5 + \sqrt{5^2 + 1}) $$ $$ x = \ln(5 + \sqrt{26}) $$

方法 2：使用指數定義 (證明題常考)：
$$ \frac{e^x - e^{-x}}{2} = 5 $$ $$ e^x - e^{-x} = 10 $$ 兩邊乘 \(e^x\) 並整理成 \(e^x\) 的二次方程式。令 \(y = e^x\)： $$ y - \frac{1}{y} = 10 \implies y^2 - 1 = 10y $$ $$ y^2 - 10y - 1 = 0 $$ 使用二次公式，因為 \(y = e^x\) 必須為正： $$ e^x = \frac{5 + \sqrt{25 - 4(1)(-1)}}{2} = 5 + \sqrt{26} $$ $$ x = \ln(5 + \sqrt{26}) $$

5. 反雙曲函數的微分

反雙曲函數的導數非常重要，因為它們定義了你在最後一部分必須識別的標準積分形式。

5.1 標準微分結果

當你對對數形式 (第 4.1 節) 進行微分時，會得到這些簡單的代數分數：

• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{arcosh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}, \quad x > 1 $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{artanh} x) = \frac{1}{1 - x^2}, \quad |x| < 1 $$

5.2 證明摘要 (為什麼結果這麼簡單？)

讓我們看看為什麼 \(\frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\)。
如果 \(y = \operatorname{arsinh} x\)，則 \(x = \sinh y\)。
對 \(x\) 進行隱函數微分： $$ 1 = \cosh y \cdot \frac{dy}{dx} $$ $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cosh y} $$ 使用恆等式 \(\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1\)，我們知道 \(\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y}\) (取正根，因為 \(\cosh y > 0\))。
由於 \(x = \sinh y\)，代回 \(x\)： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$ 你看，恆等式讓微積分變得如此精妙！

6. 積分

雙曲函數的積分本質上就是微分的逆過程。

6.1 直接積分

這些是基本結果：

• $$ \int \sinh x \, dx = \cosh x + C $$
• $$ \int \cosh x \, dx = \sinh x + C $$
• $$ \int \operatorname{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C $$

記住：和微分一樣，符號通常為正，這讓積分變得直觀。

6.2 導向反雙曲函數的標準積分

這是本章考試最常見的部分。你必須能一眼認出這些積分形式，因為它們與反雙曲函數的導數 (第 5.1 節) 直接相關。

以下標準結果由對數形式的微分推導而來。在處理這些積分時，你通常可以使用代換法或「配方法」，最終結果會得到一個反雙曲函數。

i) 導向 \(\operatorname{arsinh}\) (或 \(\ln\) 形式)： $$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right) + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $$ (注意：由於對數形式中 \(a\) 通常為 1，對於一般情況的 \(a\)，包含 \(\ln a\) 的項會被吸收進積分常數 \(C\) 中。)

ii) 導向 \(\operatorname{arcosh}\) (或 \(\ln\) 形式)： $$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \operatorname{arcosh}\left(\frac{x}{a}\right) + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) + C, \quad |x| > a $$

iii) 導向 \(\operatorname{artanh}\) (或 \(\ln\) 形式)： $$ \int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{a}\operatorname{artanh}\left(\frac{x}{a}\right) + C = \frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) + C, \quad |x| < a $$

iv) 導向 \(\operatorname{arcoth}\)： $$ \int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{a}\operatorname{arcoth}\left(\frac{x}{a}\right) + C = \frac{1}{2a}\ln\left(\frac{x-a}{x+a}\right) + C, \quad |x| > a $$

6.3 處理複雜積分

當積分形式不完全匹配標準公式時，你通常需要對分母或根號內的部分進行配方 (completing the square)。

範例：積分 \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 13}} \, dx\)。

第 1 步：對分母配方： $$ x^2 + 6x + 13 = (x+3)^2 - 9 + 13 = (x+3)^2 + 4 $$ 第 2 步：重寫積分： $$ \int \frac{1}{\sqrt{(x+3)^2 + 2^2}} \, dx $$ 第 3 步：代換 (\(u = x+3\), \(du = dx\))。這符合 \(\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} \, du\) 的形式，其中 \(a=2\)。
第 4 步：應用 \(\operatorname{arsinh}\) 的標準結果： $$ \ln\left(u + \sqrt{u^2 + a^2}\right) + C $$ 第 5 步：代回 \(u = x+3\) 和 \(a=2\)： $$ \ln\left( (x+3) + \sqrt{(x+3)^2 + 4} \right) + C $$ $$ \ln\left( x+3 + \sqrt{x^2 + 6x + 13} \right) + C $$