單元 FP2：高等純數 2 - 章節筆記：不等式
各位數學家好！歡迎來到 FP2 的不等式章節。雖然你們以前已經接觸過不等式，但高等純數（Further Pure Maths）會將其提升到一個新的層次。我們將處理變數隱藏在分式中或被模數（modulus）符號鎖住的情況。
為什麼這很重要？ 不等式對於定義定義域（domain）、值域（range）以及理解數學函數的邊界至關重要。掌握這些技巧——特別是處理分母含有變數的安全方法——對於之後學習 FP2 和 FP3 的其餘部分至關重要。
1. 掌握有理不等式（分式問題）
有理不等式涉及變數 (\(x\)) 出現在分母的分式，例如 \(\frac{2x}{x-1} < 3\)。
為什麼標準代數在這裡失效（危險！）
在標準代數中，如果你有 \(A < B\)，你可以將兩邊乘以一個正數 \(C\) 得到 \(AC < BC\)。但如果 \(C\) 是負數，你必須翻轉不等號。
在 FP2 中，當我們遇到像 \((x-1)\) 這樣的表達式時，我們不知道它是正還是負！如果我們進行交叉相乘（cross-multiply），我們可能會忘記翻轉符號，從而導致錯誤的答案。
FP2 不等式的黃金法則：永遠不要用含有變數的表達式進行交叉相乘！
常見錯誤警告！
如果你有 \(\frac{1}{x} < 2\)，請勿將其乘以 \(x\) 而得到 \(1 < 2x\)。這個步驟假設了 \(x > 0\)，這樣會遺漏一半的解集！
安全的方法：使用臨界值（Critical Values）
最安全且最可靠的方法是臨界值法。其原理在於：代數表達式只會在它等於零或無定義（除以零）的地方改變正負符號。
步驟流程：
- 步驟 1：將所有項移至左側
確保右側（RHS）為零。\(\frac{2x}{x-1} < 3 \quad \implies \quad \frac{2x}{x-1} - 3 < 0\)
- 步驟 2：合併為單一分式
找到公分母並簡化分子。\(\frac{2x - 3(x-1)}{x-1} < 0 \quad \implies \quad \frac{2x - 3x + 3}{x-1} < 0 \quad \implies \quad \frac{3 - x}{x-1} < 0\)
- 步驟 3：找出臨界值 (CVs)
臨界值是使分子為零或分母為零的 \(x\) 值。- 分子 CV：\(3 - x = 0 \implies x = 3\)
- 分母 CV：\(x - 1 = 0 \implies x = 1\)
- 步驟 4：測試區間（符號偵探）
在數線上標出臨界值（1 和 3）。它們將數線劃分為三個區間：\(x < 1\)、\(1 < x < 3\) 和 \(x > 3\)。在每個區間選擇一個測試值，代入簡化後的分式 \(\frac{3 - x}{x-1}\) 來確定其正負符號。- 測試 \(x=0\) (區間 \(x < 1\)): \(\frac{3 - 0}{0 - 1} = \frac{3}{-1} = -3\) (負)
- 測試 \(x=2\) (區間 \(1 < x < 3\)): \(\frac{3 - 2}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1\) (正)
- 測試 \(x=4\) (區間 \(x > 3\)): \(\frac{3 - 4}{4 - 1} = \frac{-1}{3}\) (負)
- 步驟 5：寫出解集
我們需要 \(\frac{3 - x}{x-1} < 0\)（即表達式為負的區域）。解集為 \(x < 1\) 或 \(x > 3\)。
快速回顧： 有理不等式依賴於找出表達式改變符號的點（臨界值），然後測試中間的區域。
2. 涉及模數（絕對值）的不等式
模數函數，記作 \(|x|\)，給出 \(x\) 的非負值。可以把它想像成距離零的距離。
理解兩種類型
在解模數不等式時，我們通常使用兩種主要的代數技巧或圖像法。
技巧 A：兩邊平方
在 FP2 中，這通常是最快、最乾淨的方法，特別是在比較兩個模數表達式時，例如 \(|P(x)| > |Q(x)|\)。由於兩邊保證為正（或零），平方後會保留不等號的方向。
例子： 解 \(|2x - 1| \ge |x + 5|\)
- 步驟 1：兩邊平方
\((2x - 1)^2 \ge (x + 5)^2\)
- 步驟 2：展開並簡化
\(4x^2 - 4x + 1 \ge x^2 + 10x + 25\)
- 步驟 3：重新整理至 \(RHS = 0\)
\(3x^2 - 14x - 24 \ge 0\)
- 步驟 4：找出根（二次函數的臨界點）
使用二次公式或因式分解：\((3x + 4)(x - 6) \ge 0\)
根為 \(x = -\frac{4}{3}\) 和 \(x = 6\)。
- 步驟 5：繪製二次函數草圖
由於 \(x^2\) 的係數 (3) 為正，拋物線開口向上。我們需要拋物線位於 x 軸上方或接觸 x 軸的區域 (\(\ge 0\))。
- 步驟 6：寫出解集
解集為 \(x \le -\frac{4}{3}\) 或 \(x \ge 6\)。
你知道嗎？ 平方在數學上等同於寫成 \((P(x))^2 - (Q(x))^2 \ge 0\)，這是一個平方差公式：\((P(x) - Q(x))(P(x) + Q(x)) \ge 0\)。如果你對此恆等式很熟悉，它可以省去展開步驟！
技巧 B：定義法（分類討論）
如果你面對的是模數表達式與非模數表達式的比較（例如 \(|x - 2| < 2x\)），這個方法是必須的。你必須根據模數內表達式正負的情況進行分類討論。
標準定義：
- 若 \(|x| < a\)，則 \(-a < x < a\)。
- 若 \(|x| > a\)，則 \(x < -a\) 或 \(x > a\)。
例子： 解 \(|3x + 2| \le 5\)
- 使用定義：\(-5 \le 3x + 2 \le 5\)
- 所有部分減 2：\(-7 \le 3x \le 3\)
- 除以 3：\(-\frac{7}{3} \le x \le 1\)
當常數 \(a\) 為正數時，此方法非常有效。如果 \(a\) 涉及 \(x\)，你必須使用分類討論或圖象法（第 3 節）。
模數問題要點： 當比較兩個模數項時，平方通常是最好的；當將模數項與變數項進行比較時，分類討論/定義法則是必要的。
3. 使用圖象法解不等式（視覺確認）
有時，複雜的不等式很難純粹通過代數方法解出，且容易出現符號錯誤。圖象法是一個強大的工具，用來驗證你的代數答案或通過視覺化直接解決問題。
圖象解法的原理
當要求解像 \(f(x) > g(x)\) 這樣的不等式時，你實際上是在尋找 \(y = f(x)\) 的圖象位於 \(y = g(x)\) 圖象上方的 \(x\) 值範圍。
這種方法對於模數函數特別有用，因為它們的 V 型圖象很容易繪製。
例子： 通過圖象解 \(|x + 1| < |2x - 3|\)。
- 步驟 1：繪製 \(y_1 = |x + 1|\) 和 \(y_2 = |2x - 3|\) 的草圖。
\(y_1\) (V 型) 的頂點位於 \(x = -1\)。
\(y_2\) (V 型) 的頂點位於 \(x = \frac{3}{2}\)。(由於 \(2x\) 的存在，斜率更陡)。 - 步驟 2：找出交點
交點定義了邊界（臨界值）。你必須通過代數方法求解方程來找到確切的點，通常使用平方或分類討論。（代數計算確認臨界值為 \(x = \frac{2}{3}\) 和 \(x = 4\)。） - 步驟 3：識別所需區域
我們需要 \(y_1 < y_2\)，即 \(y_1 = |x + 1|\) 的圖象位於 \(y_2 = |2x - 3|\) 圖象下方的位置。 - 步驟 4：寫出解集
根據草圖，當 \(x < \frac{2}{3}\) 且當 \(x > 4\) 時，\(y_1\) 位於 \(y_2\) 下方。
解集：\(x < \frac{2}{3}\) 或 \(x > 4\)。
如果一開始繪圖覺得棘手也不要擔心。專注於準確定位頂點和截距（\(x=0\) 和 \(y=0\) 的位置）即可。
與有理函數的聯繫（簡要回顧）
當處理像 \(\frac{f(x)}{g(x)} < 0\) 這樣的有理不等式時，繪製 \(y = \frac{f(x)}{g(x)}\) 的圖象是確定解集區域的另一種方法。你必須記住包含：
- 根： \(f(x) = 0\) 的地方。圖象在此處穿過 x 軸。
- 垂直漸近線： \(g(x) = 0\) 的地方。這些正好對應分母的臨界值！
圖象會在根和漸近線附近改變符號，這證實了使用符號偵探法所找到的區間是正確的。
4. 綜合與故障排除
處理複雜不等式
當遇到一邊含有模數，另一邊含有變數的不等式（例如 \(|x^2 - 4| > 2x\)）時，請記住你的選擇：
選擇 1：平方（對於非負表達式永遠安全）：
如果已知兩邊均為非負（例如 \(|P(x)| > 0\) 和 \(Q(x) > 0\)），平方是最好的選擇。如果其中一邊可能是負數（如例子 \(|x^2 - 4| > 2x\) 中的右側），你必須使用選項 2 或 3。
選擇 2：分類討論（定義法）：
這涉及根據模數符號內部表達式的正負來分解問題。
分類討論結構示例：
解 \(|x - 5| < 3x\)。
- 情況 1：\(x - 5 \ge 0\) (\(x \ge 5\))
不等式變為：\(x - 5 < 3x\)。解得 \(-5 < 2x\)，即 \(x > -\frac{5}{2}\)。
交集： 我們必須同時滿足 \(x \ge 5\) 和 \(x > -\frac{5}{2}\)。情況 1 的解為 \(x \ge 5\)。 - 情況 2：\(x - 5 < 0\) (\(x < 5\))
不等式變為：\(-(x - 5) < 3x\)。解得 \(5 - x < 3x\)，即 \(5 < 4x\)，或 \(x > \frac{5}{4}\)。
交集： 我們必須同時滿足 \(x < 5\) 和 \(x > \frac{5}{4}\)。情況 2 的解為 \(\frac{5}{4} < x < 5\)。 - 最終解： 合併情況 1 和情況 2 的有效範圍。
\(\left( \frac{5}{4} < x < 5 \right) \cup (x \ge 5)\)。
最終答案：\(x > \frac{5}{4}\)。
FP2 不等式重點摘要
- 有理函數： 始終將所有項移至一側，合併為一個分式，找出臨界值（根和漸近線），並測試區間。切勿交叉相乘。
- 模數： 比較兩個模數項時，平方是高效的；如果模數表達式與變數項比較，則需要分類討論/定義法。
- 圖象檢查： 使用草圖快速識別交叉邊界，並確認曲線的哪一側是「大於」或「小於」。
呼！這涵蓋了你所需要的所有技巧。記住，檢查臨界值和區間符號的精確度是關鍵。持續練習那些符號檢查，你一定能掌握這個主題！