Numerical methods

歡迎來到數值方法：當代數失效時，如何尋找答案！

你好！歡迎來到數值方法 (Numerical Methods) 這一章。別擔心，這聽起來或許有點嚇人，但它實際上是 P3 中最實用且合乎邏輯的章節之一！

在早期的數學中，你學過如何求解像 \(x^2 - 3x + 2 = 0\)（可因式分解）或 \(2x - 5 = 11\)（可移項求解）這樣的方程。但是，如果是像 \(e^x = 10 - x\) 或 \(\sin x = \ln x\) 這樣的方程呢？這些方程無法使用標準的代數技巧來求解。

數值方法是用於尋找這些複雜方程之根（解）的近似值的技術，通常使用重複的計算（迭代）。這正是電腦和計算機在背後運作所使用的方法！

讓我們深入學習，看看如何捕捉那些棘手的根吧！

第一節：透過正負號變更來定位根

什麼是根 (Root)？

方程 \(f(x) = 0\) 的根，是指函數圖形 \(y = f(x)\) 與 \(x\) 軸相交時的 \(x\) 值。在該點上，函數值 \(y\) 正好為零。

正負號變更原則 (Change of Sign Principle)

這是最簡單的數值方法，基於常識。

若函數 \(f(x)\) 是連續的（意即其圖形在區間內沒有中斷、跳躍或漸近線），且你找到兩個值 \(a\) 和 \(b\)，使得：
1. \(f(a)\) 為正（在 \(x\) 軸上方）。
2. \(f(b)\) 為負（在 \(x\) 軸下方）。
……那麼該圖形必須在 \(a\) 和 \(b\) 之間至少穿過 \(x\) 軸一次。因此，在區間 \((a, b)\) 內必然存在一個根。

類比：過河

想像 \(x\) 軸是一條河。如果你從北岸（\(f(x)\) 為正）出發，最終到達南岸（\(f(x)\) 為負），那你一定在某處穿過了這條河。那個穿過點就是根！

定位根的分步過程

1. 定義函數： 確保方程已變為 \(f(x) = 0\) 的形式。 例子：如果題目是 \(e^x = 10 - x\)，你必須將其重寫為 \(f(x) = e^x + x - 10 = 0\)。
2. 選擇區間： 題目通常會提供一個小區間（例如 \([1, 2]\)），或者要求你自己尋找一個。
3. 測試端點： 計算 \(f(1)\) 和 \(f(2)\)。
4. 檢查正負號變更：
   • 若 \(f(1) > 0\) 且 \(f(2) < 0\)，則發生了正負號變更。
   • 若 \(f(1) < 0\) 且 \(f(2) > 0\)，則發生了正負號變更。
5. 說明結論： 清晰地陳述：「由於 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之間存在正負號變更，且 \(f(x)\) 在該區間內是連續的，因此必有一個根位於 \(a\) 和 \(b\) 之間。」

⚠️ 常見錯誤警示！

只有在函數連續的情況下，正負號變更才能保證存在一個根。如果函數在該區間內有漸近線（即存在中斷，如 \(f(x) = 1/x\)），則即便符號發生了改變，圖形也不一定會穿過軸！除非題目明確顯示了漸近線，否則請務必假設標準的 P3 函數（多項式、指數、對數、三角函數）都是連續的。

第二節：迭代法 (\(x_{n+1} = g(x_n)\))

雖然正負號變更法告訴我們根在哪裡，但迭代法允許我們使用一個自我重複的公式，將根計算到極高的精確度。

第一步：將 \(f(x) = 0\) 重排為 \(x = g(x)\)

核心概念是將方程 \(f(x) = 0\) 轉換為等價的形式：\(x = g(x)\)。

例子：求解 \(f(x) = x^3 - 3x - 5 = 0\)。

重排的方式有很多種，會導致不同的函數 \(g(x)\)：

• 重排 A（最簡單的）：
  \(x^3 = 3x + 5\)
  \(x = \sqrt[3]{3x + 5}\)
  此處 \(g(x) = \sqrt[3]{3x + 5}\)。
• 重排 B（較複雜的）：
  \(3x = x^3 - 5\)
  \(x = \frac{x^3 - 5}{3}\)
  此處 \(g(x) = \frac{x^3 - 5}{3}\)。

重點： 只有特定的重排方式才能真正運作（即收斂到根）。我們將在第三節中探討如何分辨兩者的差異。

第二步：迭代公式

一旦你得到 \(x = g(x)\)，將其轉換為迭代公式：
$$x_{n+1} = g(x_n)$$

這意味著下一個近似值 (\(x_{n+1}\)) 是透過將當前的近似值 (\(x_n\)) 代入函數 \(g\) 中計算出來的。

第三步：計算數列

1. 由初始估計值 (\(x_0\)) 開始： 題目通常會給定，或者你可以使用正負號變更法計算出的結果（例如，如果根在 2 和 3 之間，你可以從 \(x_0 = 2.5\) 開始）。
2. 計算 \(x_1\)： 將 \(x_0\) 代入公式：\(x_1 = g(x_0)\)。
3. 計算 \(x_2\)： 將 \(x_1\) 代入公式：\(x_2 = g(x_1)\)。
4. 重複： 繼續此過程 (\(x_3, x_4, x_5, \dots\))，直到數值收斂（即數值不再變化，或僅在要求的位數上變化）。

💡 提升速度與準確度的計算機小技巧

這對考試至關重要！

1. 輸入初始估計值 \(x_0\)，然後按下 =。這會將該值存入計算機的 ANS 記憶體中。
2. 輸入迭代公式，使用 ANS 取代 \(x_n\)。
   例子：對於 \(x_{n+1} = \sqrt[3]{3x_n + 5}\)，你輸入：\(\sqrt[3]{3\text{Ans} + 5}\)。
3. 反覆按下 =。每一次按鍵都會計算數列中的下一個項 (\(x_1, x_2, x_3, \dots\))。這比手算快得多，且能減少捨入誤差。

處理精確度： 當計算迭代值時，中間步驟通常必須使用高精確度（至少 4 位小數），最後才四捨五入到要求的精確度。

第三節：圖形分析與收斂性

為什麼我們說只有「特定的重排方式」能運作？這就是圖形分析發揮作用的地方。

根的圖形詮釋

當我們求解 \(x = g(x)\) 時，我們是在尋找兩個圖形的交點：
$$y = x$$
$$y = g(x)$$

交點的 \(x\) 坐標就是根 \(\alpha\)。

視覺化迭代：階梯圖與蛛網圖

我們將數列 \(x_0, x_1, x_2, \dots\) 繪製在這些圖形上。迭代過程的表現如下：

1. 從 \(x\) 軸上的 \(x_n\) 垂直向上（或向下）移動到曲線 \(y = g(x)\)。（這計算出 \(x_{n+1}\)。）
2. 從曲線水平移動到直線 \(y = x\)。（這將輸出 \(x_{n+1}\) 設定為下一步的輸入。）

重複此過程會產生以下兩種圖案之一：

1. 階梯圖 (Staircase Diagram)： 數列一步步直接向根移動。當函數 \(g(x)\) 在根附近為遞增時，會發生這種情況。
2. 蛛網圖 (Cobweb Diagram)： 數列呈螺旋狀向根收斂。當函數 \(g(x)\) 在根附近為遞減時，會發生這種情況。

如果點離交點越來越*遠*，則迭代是發散的（無法找到根）。

收斂的條件

決定迭代是收斂還是發散的關鍵因素，是函數 \(g(x)\) 在根 \(\alpha\) 附近的斜率（導數）。

設 \(g'(x)\) 為 \(g(x)\) 的導數（斜率函數）。

收斂法則：

迭代 \(x_{n+1} = g(x_n)\) 要收斂的充分必要條件是：在根 \(\alpha\) 處，斜率的絕對值（量值）小於 1。

$$|g'(\alpha)| < 1$$

如果 \(|g'(\alpha)| \geq 1\)，迭代通常會發散或振盪，而無法趨於穩定。

類比：斜率的陡峭程度

直線 \(y=x\) 的斜率為 1。

• 如果曲線 \(y=g(x)\) 比 \(y=x\) 平坦（即 \(|g'(\alpha)| < 1\)），圖中的步驟會越來越小，你就會向根「滾」過去（收斂）。
• 如果曲線 \(y=g(x)\) 比 \(y=x\) 陡峭（即 \(|g'(\alpha)| > 1\)），步驟會越來越大，你就會跳離根（發散）。

如何在考試中證明收斂

要證明給定的公式 \(x_{n+1} = g(x_n)\) 會收斂到位於區間 \([a, b]\) 內的根 \(\alpha\)，你必須證明：

$$|g'(x)| < 1 \text{ 對於區間 } [a, b] \text{ 內的所有 } x \text{ 皆成立}$$

證明步驟：

1. 求出導數 \(g'(x)\)。
2. 計算兩個端點 \(a\) 和 \(b\) 的 \(|g'(x)|\) 值。
3. 說明在該區間內，斜率絕對值的最大值小於 1。
4. 結論：「由於在區間 \([a, b]\) 內 \(|g'(x)| < 1\)，因此迭代將收斂到此區域內的根 \(\alpha\)。」

你知道嗎？

在現實世界中，數學家通常會嘗試多種不同的重排方式 (\(x = g(x)\))，直到找到一種能快速收斂的方式。\(|g'(\alpha)|\) 的值越小，收斂速度就越快！