Transformations using matrices

單元 FP1：矩陣變換

簡介：幾何與代數的邂逅

數學愛好者們大家好！歡迎來到幾何與代數碰撞出的精彩世界。本章節「矩陣變換」是進階純數學 1 (FP1) 中最強大且優雅的課題之一。

我們不再需要用繁瑣的方程式來描述各種位移和變化（例如反射、旋轉和拉伸），取而代之的是使用簡單的 2x2 矩陣。這些矩陣就像操作開關——輸入坐標，矩陣就會輸出經過變換後的新坐標。

別擔心，即使你之前覺得矩陣很抽象也沒關係。在這裡，你會看到它們如何大顯身手，將複雜的幾何運算變得無比簡潔。

1. 點的表示與變換應用

1.1. 坐標如何轉化為向量

在坐標幾何中，我們使用數對 \((x, y)\) 來定義一個點。而在使用矩陣時，我們將此點表示為位置向量（即 \(2 \times 1\) 的列矩陣）。

$$ \text{點 } (x, y) \text{ 變為向量 } \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

1.2. 變換方程式

變換 \(T\) 由一個 \(2 \times 2\) 的矩陣表示，通常記作 \(\mathbf{M}\)。要找出變換後的新點 \((x', y')\)，我們只需將矩陣乘以原始向量即可：

$$ \mathbf{M} \mathbf{x} = \mathbf{x}' $$

完整寫法如下：

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $$

重點筆記：矩陣乘法是變換的運作機制。我們總是先寫矩陣，後寫向量。

2. 標準變換及其對應矩陣

FP1 側重於以原點 \((0, 0)\) 為中心或與原點相關的變換，這些通常被稱為線性變換。我們需要熟記或能夠推導出以下常見類型的矩陣。

2.1. 繞原點 (0, 0) 的旋轉

旋轉是指將點繞原點旋轉一個角度 \(\theta\)。

• 逆時針旋轉為正值。
• 順時針旋轉為負值。

一般旋轉矩陣（逆時針旋轉 \(\theta\)）：

$$ \mathbf{R} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$

例如：逆時針旋轉 \(90^\circ\)：

$$ \mathbf{R}_{90} = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

2.2. 放大 (縮放)

放大會增加或縮小圖形的尺寸。由於我們使用 2x2 矩陣，放大中心始終為原點 \((0, 0)\)。

若放大倍數為 \(k\)：

$$ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} $$

冷知識：當 \(k=1\) 時，該矩陣為單位矩陣 \(\mathbf{I}\)。這種變換不會對圖形產生任何改變！ $$ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

2.3. 反射

反射會將圖形沿著一條線（鏡像線）進行翻轉。

常見反射矩陣：

1. 沿 x 軸反射 (\(y=0\))： $$ \mathbf{M}_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
2. 沿 y 軸反射 (\(x=0\))： $$ \mathbf{M}_y = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
3. 沿線 \(y=x\) 反射：（交換 x 和 y 坐標） $$ \mathbf{M}_{y=x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
4. 沿線 \(y=-x\) 反射： $$ \mathbf{M}_{y=-x} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

2.4. 錯切 (Shear)

錯切是一種變換，它使所有點沿著特定線的方向平移，同時保持該線上的點固定（稱為不變線）。

若錯切係數為 \(k\)：

1. 平行於 x 軸的錯切（x 軸為不變線）：

   y 坐標保持不變，x 坐標偏移量為 \(k \times\) 原來的 y 值。\((x, y) \to (x+ky, y)\)

   $$ \mathbf{S}_x = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
2. 平行於 y 軸的錯切（y 軸為不變線）：

   x 坐標保持不變，y 坐標偏移量為 \(k \times\) 原來的 x 值。\((x, y) \to (x, y+kx)\)

   $$ \mathbf{S}_y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} $$

3. 求變換矩陣

題目不會總是直接給出矩陣；有時你需要根據幾何描述來推導它。這可以說是本章最重要的技能。

3.1. 基底向量的魔法

任何 \(2 \times 2\) 矩陣 \(\mathbf{M}\) 都可以完全由兩個特殊點的變換來決定：沿軸的單位向量。這些就是基底向量 (basis vectors)：

1. \(\mathbf{i}\)：點 \((1, 0)\)，表示為 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)。
2. \(\mathbf{j}\)：點 \((0, 1)\)，表示為 \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)。

當你將一般矩陣 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 分別乘以 \(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 時：

$$ \mathbf{M} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} \quad \text{以及} \quad \mathbf{M} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} $$

簡單技巧：

變換矩陣 \(\mathbf{M}\) 的第一列是向量 \(\mathbf{i}\) 的像（即 \((1, 0)\) 移動到的位置）。

變換矩陣 \(\mathbf{M}\) 的第二列是向量 \(\mathbf{j}\) 的像（即 \((0, 1)\) 移動到的位置）。

$$ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} (1, 0) 的像 & (0, 1) 的像 \\ \text{（第一列）} & \text{（第二列）} \end{pmatrix} $$

例如：變換將圖形沿線 \(y = 2x\) 反射。如果 \((1, 0)\) 映射到 \((0.6, 0.8)\)，而 \((0, 1)\) 映射到 \((0.8, -0.6)\)。

矩陣 \(\mathbf{M}\) 即為： $$ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.8 \\ 0.8 & -0.6 \end{pmatrix} $$

重點筆記：如果你能找出 \((1, 0)\) 和 \((0, 1)\) 移動到了哪裡，你就掌握了整個變換矩陣。

4. 變換的結合 (合成變換)

通常單一操作是不夠的。我們可能需要先旋轉圖形，然後再進行放大。這稱為合成變換。

4.1. 順序至關重要！

如果先進行變換 \(T_1\)，然後進行變換 \(T_2\)，則總變換 \(T\) 由矩陣乘積 \(\mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\) 表示。

$$ \mathbf{M} = \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1 $$

類比：想像先穿襪子，再穿鞋子。你必須先做襪子 (\(T_1\)) 的動作，但你寫下的算式是「鞋子 \(\times\) 襪子」。

關鍵規則：矩陣相乘的順序與變換執行的順序相反。最靠近向量 \(\mathbf{x}\) 的矩陣是第一個執行的變換。

$$ \mathbf{M}_2 (\mathbf{M}_1 \mathbf{x}) = (\mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1) \mathbf{x} $$

常見錯誤警示：由於矩陣乘法通常不具備交換律 (\(\mathbf{M}_1 \mathbf{M}_2 \neq \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\))，先旋轉後反射通常會與先反射後旋轉的結果不同。請務必仔細留意題目規定的順序！

5. 面積放大因子與行列式

5.1. 行列式作為面積因子

變換矩陣 \(\mathbf{M}\) 最有用的屬性之一是它的行列式，記作 \(\det(\mathbf{M})\) 或 \(|\mathbf{M}|\)。

對於 \(2 \times 2\) 矩陣 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，其行列式為：

$$ \det(\mathbf{M}) = ad - bc $$

行列式的絕對值 \(|\det(\mathbf{M})|\) 即為面積放大因子。

• 如果原始圖形面積為 \(A_{original}\)，則新圖形面積為 \(A_{new} = |\det(\mathbf{M})| \times A_{original}\)。
• 如果 \(\det(\mathbf{M})\) 為正值，圖形的方位（順時針或逆時針）保持不變（例如：旋轉、放大）。
• 如果 \(\det(\mathbf{M})\) 為負值，圖形的方位會發生反轉（例如：反射）。

5.2. 奇異矩陣 (Singular Matrices)

如果行列式為零，即 \(\det(\mathbf{M}) = 0\)，則該矩陣稱為奇異矩陣。

• 如果面積放大因子為零，表示整個圖形已被壓成一條線或一個點。
• 奇異變換將二維區域壓成一維線段，這意味著其逆矩陣不存在（因為無法將被壓縮的圖形「還原」回二維空間）。

6. 逆變換

逆變換（由 \(\mathbf{M}^{-1}\) 表示）是能「撤銷」\(\mathbf{M}\) 變換效果的操作。如果 \(\mathbf{M}\) 將圖形逆時針旋轉 \(90^\circ\)，那麼 \(\mathbf{M}^{-1}\) 就會將其順時針旋轉 \(90^\circ\)。

6.1. 求逆矩陣

對於非奇異矩陣 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，其中 \(D = \det(\mathbf{M}) = ad - bc \neq 0\)：

$$ \mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{D} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

2x2 逆矩陣記憶法：

1. 計算行列式 \(D\)。
2. 交換主對角線上的元素 (\(a\) 和 \(d\))。
3. 將副對角線上的元素變號 (\(-b\) 和 \(-c\))。
4. 將得到的矩陣乘以 \(1/D\)。

重點筆記：如果一個變換緊接著執行它的逆變換，結果就是單位矩陣 (\(\mathbf{M} \mathbf{M}^{-1} = \mathbf{I}\))，表示圖形回到了原始位置。

恭喜你！掌握了這些概念——特別是變換、基底向量、行列式與合成順序之間的關係，這將為你餘下的 FP1 課程打下堅實的基礎。繼續練習那些矩陣乘法吧！