歡迎來到碰撞的世界！
你有沒有想過，為什麼網球彈得很高，而一團黏土丟到地板上卻只會悶聲墜地？又或者司諾克選手是如何精準預測球碰撞後的路徑？這正是我們這一章要探討的內容！在力學 2 (M2) 中，我們將會把你 M1 學過的動量基礎知識「升級」，以處理涉及能量與彈性的更複雜情況。
1. 向量形式的動量與衝量
在 M1 的學習中，你研究的是物體作直線運動的情況。到了 M2，我們會使用向量來更詳細地描述運動。如果向量讓你感到有點困惑，別擔心——只需把它們想像成給方向一個「GPS 坐標」的方法即可！
什麼是動量？
動量 (Momentum) 是衡量一個運動中的物體有多難被停止的指標。它取決於質量與速度。在向量形式中，我們寫作：
\( \mathbf{p} = m\mathbf{v} \)
其中 \( m \) 為質量 (kg)，而 \( \mathbf{v} \) 為速度向量 (m/s)。
動量衝量原理 (The Impulse-Momentum Principle)
衝量 (Impulse, \( \mathbf{I} \)) 是指當一個力在一段短時間內作用於物體時（例如踢足球）所產生的效應。它會引起動量的變化。
\( \mathbf{I} = m\mathbf{v} - m\mathbf{u} \)
範例：如果一個質量為 0.5kg 的球，其初速度為 \( (2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}) \)，受力後末速度變為 \( (6\mathbf{i} - 1\mathbf{j}) \)，那麼衝量就是末動量減去初動量！
動量守恆定律 (Conservation of Linear Momentum, CLM)
這是力學中的一條「黃金法則」：在任何碰撞中，碰撞前的總動量等於碰撞後的總動量（前提是沒有摩擦力等外力作用）。
\( m_A\mathbf{u}_A + m_B\mathbf{u}_B = m_A\mathbf{v}_A + m_B\mathbf{v}_B \)
重點速覽：
• 動量和衝量現在都是向量。
• 衝量 = 動量的變化量。
• 碰撞前後的總動量保持不變。
2. 正面碰撞與牛頓恢復係數定律
當兩個粒子發生正面碰撞時，它們並不總是黏在一起，通常會「彈」開。這種彈性程度由恢復係數 (Coefficient of Restitution) 衡量，記作字母 \( e \)。
什麼是 \( e \)？
\( e \) 的數值告訴我們「彈性」有多大，其值永遠介於 0 到 1 之間：
• \( e = 0 \)：物體是「完全非彈性」的（就像兩塊濕黏土撞在一起）。
• \( e = 1 \)：物體是「完全彈性」的（就像彈力球，能量毫無損耗）。
• \( 0 < e < 1 \)：現實世界的物體（大多數你會計算到的情況）。
恢復係數公式
牛頓恢復係數定律指出：
\( e = \frac{\text{分離速度}}{\text{接近速度}} \)
為了方便計算，假設兩個粒子 A 和 B 沿同一直線運動：
\( e = \frac{v_B - v_A}{u_A - u_B} \)
注意：確保你設定的「碰撞後」速度與「碰撞前」速度採用相同的正方向約定！
類比：跑得快的朋友與跑得慢的朋友
想像你以 5 m/s (\( u_A \)) 的速度向前方以 2 m/s (\( u_B \)) 同向奔跑的朋友靠近。你的接近速度是 3 m/s（你每秒追上 3 米）。碰撞後，對方以 4 m/s (\( v_B \)) 向前飛出，而你減速至 3 m/s (\( v_A \))。此時你們的分離速度為 1 m/s。那麼 \( e \) 的值就是 \( 1/3 \)。
關鍵要點： \( e \) 是分離速度與接近速度的比值。
3. 動能損失
在大多數碰撞中，總動能 (Kinetic Energy, KE) 會減少。這並不代表能量消失了！它只是轉化為熱能、聲能，或是使物體產生凹痕的能量。
計算損失
1. 計算碰撞前的動能： \( \sum \frac{1}{2}mu^2 \)
2. 計算碰撞後的動能： \( \sum \frac{1}{2}mv^2 \)
3. 動能損失 = 碰撞前總動能 - 碰撞後總動能
你知道嗎？ 如果 \( e = 1 \)，動能損失為零。這是唯一在碰撞中動能守恆的情況！
4. 連續碰撞
有時，題目會涉及不止一次的碰撞。例如，粒子 A 撞擊粒子 B，隨後粒子 B 繼續撞擊牆壁或第三個粒子 C。
處理多次碰撞的步驟
如果這看起來很棘手，請不要擔心！只需將其視為兩個獨立的、較小的問題：
1. 碰撞 1： 使用動量守恆 (CLM) 和恢復係數定律，找出前兩個粒子碰撞後的速度。
2. 「銜接點」： 粒子在第一次碰撞後的「末速度」，將成為它進行第二次碰撞時的「初速度」。
3. 碰撞 2： 對下一次撞擊再次應用相同的規則。
與光滑平面的碰撞（牆壁）
當粒子撞擊靜止的牆壁時，牆壁不會移動。規則會大大簡化：
• 接近速度 = \( u \)
• 分離速度 = \( v \)
• 恢復係數定律： \( v = eu \)
粒子只需以速度乘以 \( e \) 彈回。如果 \( e = 0.5 \)，它彈回的速度就是進入速度的一半。
常見錯誤提醒： 當粒子撞擊牆壁並改變方向時，其速度的正負號會改變。計算衝量時，請記住 \( I = m(v - u) \)。如果它以 10 m/s 撞擊並以 5 m/s 彈回，動量變化是 \( 5 - (-10) = 15 \)，而不是 \( 5 - 10 = -5 \)！
5. 最終總結清單
在處理考題之前，請確認你對以下要點感到熟悉：
• 動量守恆： \( m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2 \)
• 牛頓恢復係數定律： \( e = \frac{\text{分離}}{\text{接近}} \)
• 動能損失： 分別計算前後動能並相減。
• 方向： 務必畫出一張清晰的圖表，標示出你設定的「正方向」。如果球向左移動，在你的方程式中，其速度必須是負值！
小撇步：在大多數 M2 考題中，你通常會得到兩個方程式（一個來自動量守恆，另一個來自恢復係數）以及兩個未知數（\( v_A \) 和 \( v_B \)）。聯立求解這些方程式是這一章的「基本功」！