簡介：進入新維度
歡迎來到進階數學（Further Mathematics）中最令人興奮的章節之一！到目前為止，你可能一直被告知負數無法開平方根。在複數（Complex Numbers）的世界裡，我們要拋棄這個規則。透過引入一個全新的符號 \(i\)，我們解鎖了一個全新的數學維度，讓我們能夠解開任何二次方程式，並以優美、幾何的方式描述旋轉。
如果起初覺得這些數字有點「虛構」，請不用擔心——讀完這些筆記後，你就會明白這些數字遵循著非常合乎邏輯的規則，就像你已經熟悉的代數一樣。
1. 基本構件：什麼是 \(i\)？
在標準數學中，方程式 \(x^2 = -1\) 沒有解，因為沒有任何實數自乘會等於負數。我們定義虛數單位（imaginary unit）如下：
\(i = \sqrt{-1}\) 或 \(i^2 = -1\)
複數（Complex Number） (\(z\)) 僅僅是實部（Real part）與虛部（Imaginary part）的混合，寫作：
\(z = a + bi\)
其中：
- \(a\) 是實部（Real Part） (\(Re(z)\))
- \(b\) 是虛部（Imaginary Part） (\(Im(z)\))
快速複習：相等性
兩個複數只有在其實部相同且虛部也相同時才相等。
例子： 若 \(a + bi = 3 + 4i\)，則 \(a = 3\) 且 \(b = 4\)。這是解方程式時的一個強大工具！
重點提示： 複數擴展了我們的數系，讓我們能夠使用符號 \(i\) 來處理負數的平方根。
2. 基礎運算：加法、減法與乘法
複數運算與基礎代數非常相似，你可以將 \(i\) 視為一個變數（例如 \(x\)），但有一條特殊規則：每當你看到 \(i^2\)，就將其替換為 \(-1\)。
加法與減法
只需「合併同類項」。將實部相加減，虛部亦然。
例子： \((3 + 2i) + (5 - 4i) = (3+5) + (2-4)i = 8 - 2i\)
乘法
使用 FOIL 方法（展開括號：首項、外項、內項、末項），就像在代數中展開括號一樣。
例子： 計算 \((2 + 3i)(1 + 2i)\)
1. 首項（First）： \(2 \times 1 = 2\)
2. 外項（Outside）： \(2 \times 2i = 4i\)
3. 內項（Inside）： \(3i \times 1 = 3i\)
4. 末項（Last）： \(3i \times 2i = 6i^2\)
5. 合併： \(2 + 7i + 6i^2\)
6. \(i^2\) 規則： 因為 \(i^2 = -1\)，所以 \(6i^2\) 變為 \(-6\)。
7. 結果： \(2 + 7i - 6 = -4 + 7i\)
重點提示： 把 \(i\) 當作普通變數處理，但務必記得將 \(i^2\) 化簡為 \(-1\)。
3. 複數共軛與除法
要進行複數除法，我們需要一個稱為複數共軛（Complex Conjugate）的特殊「拍檔」。
如果 \(z = a + bi\)，那麼其共軛（記作 \(z^*\) 或 \(\bar{z}\)）就是 \(a - bi\)。
神奇性質： 當你將一個複數乘以它的共軛時，虛部會消失！
\((a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2\)（這是一個純實數）。
如何進行除法
要計算 \(\frac{z_1}{z_2}\)，需將分子和分母同時乘以分母的共軛。這樣可以實現分母「實數化」。
例子： 計算 \(\frac{10 + 5i}{1 + 2i}\)
1. 分母 (\(1 + 2i\)) 的共軛是 \(1 - 2i\)。
2. 分子分母同乘：\(\frac{(10 + 5i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}\)
3. 分子：\(10 - 20i + 5i - 10i^2 = 10 - 15i + 10 = 20 - 15i\)
4. 分母：\(1^2 + 2^2 = 5\)
5. 最後步驟：\(\frac{20 - 15i}{5} = 4 - 3i\)
常見錯誤： 在找共軛時忘了改變虛部的符號。\(3 - 4i\) 的共軛是 \(3 + 4i\)，而不是 \(-3 - 4i\)！
4. 阿爾岡圖（Argand Diagram）：視覺化數字
將阿爾岡圖（Argand Diagram）想像成一張地圖。我們使用標準的二維座標系，但不是 \(x\) 和 \(y\)，而是：
- 實軸（Real Axis）（水平軸）
- 虛軸（Imaginary Axis）（垂直軸）
複數 \(z = x + iy\) 被繪製為點 \((x, y)\)，或者作為一個從原點 \((0,0)\) 出發的向量。
你知道嗎？
在阿爾岡圖上進行複數加法，與使用「平行四邊形法則」或「首尾相接法」進行向量加法是完全一樣的！
5. 模長與輻角
有時候，用「距離有多遠」和「方向在哪」來描述一個點，比用 \(x,y\) 座標更有用。
模長（Modulus，\(|z|\)）
模長是原點到該點的距離。我們使用畢氏定理：
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
輻角（Argument，\(\arg z\)）
輻角是向量與正實軸之間形成的夾角 \(\theta\)。
- 以弧度（radians）為單位。
- 範圍：\(-\pi < \theta \leq \pi\)（這稱為主輻角）。
- 夾角 \(\theta = \arctan(\frac{b}{a})\)，但要小心象限位置！
記憶技巧（CAST 圖）： 務必快速畫一個阿爾岡圖草圖，看看數字位於哪個象限。如果它在第二或第三象限，你需要透過增加或減去 \(\pi\) 來調整你的 \(\arctan\) 結果。
極座標形式（模長-輻角形式）
利用基礎三角學，我們可以將 \(z = a + bi\) 寫成：
\(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\)
其中 \(r = |z|\) 且 \(\theta = \arg z\)。
重點提示： 每個複數都可以透過其座標 (\(a+bi\)) 或其距離與角度 (\(r, \theta\)) 來描述。
6. 解含複數根的方程式
這就是複數成為解多項式超級工具的地方。
二次方程式
如果你有 \(ax^2 + bx + c = 0\) 而判別式 (\(b^2 - 4ac\)) 為負數，你將會得到兩個複數根。
關鍵規則： 如果係數 (\(a, b, c\)) 為實數，則根必為彼此的複數共軛。如果一個根是 \(3 + 2i\)，另一個*一定*是 \(3 - 2i\)。
三次與四次方程式
課程大綱要求你尋找係數為實數或整數的方程式之根。
- 三次方程式： 可能有 3 個實根，或是 1 個實根和 2 個共軛複根。
- 四次方程式： 可能有 4 個實根、2 個實根和 2 個共軛複根，或是 4 個複根（2 對共軛根）。
逐步解題：已知一個複根求四次方程式的根
假設已知 \(x = 2 + i\) 是四次方程式 \(f(x) = 0\) 的一個根。
1. 找出第二個根： 因為係數為實數，\(x = 2 - i\) 也必須是根。
2. 形成二次因式： 將這兩個因式相乘：\((x - (2+i))(x - (2-i))\)。簡化後為 \(x^2 - 4x + 5\)。
3. 多項式除法： 將原始四次方程式除以該二次因式，以求出剩餘的二次多項式。
4. 求解餘項： 解出剩餘的二次方程式，找到最後兩個根。
快速複習盒：
- 共軛根定理： 若 \(z_1\) 是根，則 \(z_1^*\) 也是根（針對實係數）。
- 模長乘積： \(|z_1 z_2| = |z_1| \times |z_2|\)。這是考試時節省時間的好技巧！
總結檢查清單
- 我知道 \(i^2 = -1\) 嗎？
- 我能進行複數的加、減、乘、除嗎？
- 我明白 \(z = a + bi\) 是阿爾岡圖上的一個點嗎？
- 我能計算距離（模長）和角度（輻角）嗎？
- 我記得實係數多項式的複數根總是成對出現（共軛）嗎？