歡迎來到 FP3 微分世界！
你好！歡迎來到 進階純數 3 (Further Pure Mathematics 3, FP3) 最令人興奮的章節之一。你已經掌握了基礎純數單元中的微分概念，現在我們要更上一層樓了。在本章中，我們將學習如何求涉及雙曲函數 (hyperbolic functions) 和反函數 (inverse functions)（包括三角函數及雙曲函數）曲線的斜率。
如果這些術語聽起來有點陌生，請別擔心——本質上，這只是將你已熟悉的規則（如連鎖律 Chain Rule 和積法則 Product Rule）應用到一些新的、強大的數學工具上。讓我們馬上開始吧！
1. 雙曲函數的微分
\(\sinh x\) 和 \(\cosh x\) 等雙曲函數與標準三角函數表現得非常相似，但有一些有趣的變化。最重要的一點是：符號通常比你習慣的更簡單！
三大主要導數
你需要將這些公式背熟：
1. \(\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x\)
2. \(\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\)
3. \(\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x\)
小提醒：還記得圓三角函數中 \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\) 嗎？而在雙曲函數中，微分 \(\cosh x\) 時並沒有負號。這是考試中非常容易丟分的地方，一定要多加留意！
倒數雙曲函數的導數
4. \(\frac{d}{dx}(\text{sech } x) = -\text{sech } x \tanh x\)
5. \(\frac{d}{dx}(\text{cosech } x) = -\text{cosech } x \coth x\)
6. \(\frac{d}{dx}(\text{coth } x) = -\text{cosech}^2 x\)
記憶技巧：留意對於倒數函數（\(\text{sech}, \text{cosech}, \text{coth}\)），其導數總是以負號開頭。
使用連鎖律 (Chain Rule)
當雙曲函數內包含其他函數時，例如 \(\tanh(3x)\)，你必須乘以內層函數的導數。
例子： 若 \(y = \tanh(3x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。
第一步：對「外層」微分（\(\tanh\)），得到 \(\text{sech}^2(3x)\)。
第二步：乘以「內層」函數（\(3x\)）的導數，即 \(3\)。
結果：\(\frac{dy}{dx} = 3\text{sech}^2(3x)\)。
重點總結：雙曲函數微分與常規三角函數微分非常相似，只是 \(\cosh x\) 的微分結果是正的 \(\sinh x\)。
2. 反三角函數的微分
有時候，我們需要找出像 \(\arcsin x\)（也寫作 \(\sin^{-1} x\)）這類函數的變化率。由於這些函數是三角函數的「反向操作」，它們的導數看起來很不一樣——它們會變成代數分數！
標準公式
1. \(\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
2. \(\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
3. \(\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}\)
常見錯誤：學生經常把 \(\arctan x\) 的導數與 \(\arcsin x\) 搞混。請注意，\(\arctan x\) 的導數沒有根號，且符號為正號！
你知道嗎？當工程學中需要根據三角形邊長的變化來計算角度時，這些公式非常實用。
重點總結：反三角函數的微分結果為包含 \(x^2\) 的分數。記得利用公式冊來檢查符號是否正確！
3. 反雙曲函數的微分
就像它們的三角函數親戚一樣，反雙曲函數（\(\text{arsinh } x\), \(\text{arcosh } x\), 和 \(\text{artanh } x\)）的導數也是代數分數，這在 FP3 考試中非常常見。
公式
1. \(\frac{d}{dx}(\text{arsinh } x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
2. \(\frac{d}{dx}(\text{arcosh } x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\) (其中 \(x > 1\))
3. \(\frac{d}{dx}(\text{artanh } x) = \frac{1}{1-x^2}\) (其中 \(|x| < 1\))
如果一開始覺得很難也不用擔心！你可以利用隱函數微分 (Implicit Differentiation) 推導出這些結果。例如，若 \(y = \text{arsinh } x\)，則 \(x = \sinh y\)。兩邊對 \(x\) 微分得到 \(1 = \cosh y \frac{dy}{dx}\)，這就會引導你回到公式！
類比：「1 與 \(x^2\)」的謎題
把這些導數想像成在根號下排列 \(1\) 和 \(x^2\) 的不同方式：
- 和 (\(x^2 + 1\)) \(\rightarrow\) \(\text{arsinh}\)
- 差，\(x\) 在前 (\(x^2 - 1\)) \(\rightarrow\) \(\text{arcosh}\)
- 差，\(1\) 在前 (\(1 - x^2\)) \(\rightarrow\) \(\text{artanh}\) (沒有根號！)
重點總結：反雙曲函數的微分與反三角函數相似，但根號內的符號不同。務必檢查你的 \(x^2\) 是正還是負。
4. 結合規則（複雜表達式）
在考試中，你很少會遇到簡單的函數。你很可能會遇到結合積法則、商法則 (Quotient Rule) 和連鎖律的複合函數。
逐步示範：\(y = x \sinh^2 x\)
這需要用到積法則 (Product Rule)：\(\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)。
1. 令 \(u = x\) 及 \(v = \sinh^2 x\)。
2. 求得 \(\frac{du}{dx} = 1\)。
3. 利用連鎖律求 \(\frac{dv}{dx}\)：\(\frac{d}{dx}((\sinh x)^2) = 2\sinh x \cosh x\)。
4. 代入積法則公式：\(\frac{dy}{dx} = x(2\sinh x \cosh x) + (\sinh^2 x)(1)\)。
5. 使用恆等式 \(2\sinh x \cosh x = \sinh 2x\) 簡化。
最終結果：\(\frac{dy}{dx} = x \sinh 2x + \sinh^2 x\)。
常見陷阱
- 冪法則混淆：\(\sinh^2 x\) 其實是 \((\sinh x)^2\)，一定要使用連鎖律！
- 混淆三角與雙曲：\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)，但 \(\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x\)。它們看起來很像，但 \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\) 而 \(\frac{d}{dx}(\cosh x) = +\sinh x\)。
- 定義域限制：記住 \(\text{arcosh } x\) 僅定義在 \(x \ge 1\)。如果題目問為什麼某個導數在 \(x=0.5\) 時不存在，這就是答案！
快速複習箱
關鍵術語：雙曲函數 (Hyperbolic Functions) - 基於雙曲線幾何而非圓形幾何的函數。
最重要的規則：\(\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\)（正號！）
反三角函數 vs 反雙曲函數：
- \(\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \(\frac{d}{dx}(\text{arsinh } x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
恭喜！你已經掌握了 FP3 微分的核心概念。多加練習並結合積法則與商法則，你很快就能成為專家！