歡迎來到線性規劃 (Linear Programming)！
你好！歡迎來到決策數學 (Decision Mathematics) 中最實用的章節之一。線性規劃本質上就是一門關於「做出最佳選擇」的藝術。想像你在經營一家企業：你希望利潤最大化，但你的資金、時間和原材料卻是有限的。你該如何精確決定每種產品的產量？這正是我們今天要解決的問題！
在本單元中，我們將學習如何將現實生活中的「文字題」轉化為數學模型，並利用圖表來找出完美的解決方案。如果剛開始覺得步驟繁多，請不用擔心——一旦你掌握了當中的節奏，這會變得非常有邏輯。
基礎技能快速複習：在開始之前，請確保你已熟悉以下內容：
- 繪製直線圖形 (例如 \(y = 2x + 3\))。
- 理解不等式，例如 \(x + y \le 10\)（這意味著總和可以是 10 或更小）。
1. 建立模型 (Formulating a Problem)
在我們解題之前，必須先將題目從文字「翻譯」成數學語言。這個過程稱為建立模型 (Formulation)。
三個基本構成要素
每一個線性規劃 (LP) 模型都需要三個要素：
- 決策變數 (Decision Variables)：這是你試圖決定的對象，我們通常稱之為 \(x\) 和 \(y\)。
例子：設 \(x\) 為標準椅的數量，\(y\) 為豪華椅的數量。 - 目標函數 (Objective Function)：這是你的目標。你想極大化 (Maximize)利潤還是極小化 (Minimize)成本？
例子：極大化 \(P = 10x + 15y\)（其中 10 元和 15 元分別是每張椅子的利潤）。 - 限制條件 (Constraints)：這些是「規則」或限制。你不能無限量生產椅子！你會受到工時、木材或機器時間的限制。
例子：\(2x + 3y \le 60\)（意味著你只有 60 小時的勞動力）。
你知道嗎？
線性規劃中的「線性」意味著我們所有的變數 (\(x\) 和 \(y\)) 次方皆為 1。你不會在這裡看到 \(x^2\) 或 \(xy\)！
「非負」限制 (Non-Negativity Constraint)
在現實世界中，你不可能生產負 5 張椅子。因此，幾乎每個問題都必須包含：
\(x \ge 0, y \ge 0\)
千萬別忘了這些！閱卷員經常會因為寫下這些條件而給分。
總結要點：建立模型就是利用變數 (\(x\) 和 \(y\)) 將文字轉化為一個目標 (目標函數) 和一套規則 (限制條件)。
2. 圖解法 (Graphical Solutions)
一旦有了不等式，我們將其繪製在圖表上，以找出滿足所有規則的「安全區域」。這個區域稱為可行區域 (Feasible Region)。
步驟拆解：繪製可行區域
- 將不等式視為方程式：要繪製 \(x + y \le 10\) 的直線，首先畫出 \(x + y = 10\)。
- 找出兩個點：最簡單的方法是令 \(x = 0\) 找出 \(y\)-截距，令 \(y = 0\) 找出 \(x\)-截距。
- 塗掉「不想要的」區域：在 Edexcel D1 的慣例中，通常是塗掉不滿足不等式的那一側。這樣留下來中間潔白的部分就是可行區域 (R)。
- 標記區域：請務必在你最終的空白區域標上一個大寫字母 R。
類比：夜店門口的保鏢
將每一個限制條件想像成一名保鏢。一位保鏢說「你必須年滿 18 歲」，另一位說「你必須繫上領帶」。可行區域就是那個讓所有人都符合所有規定的舞池。如果你違反了其中任何一條規則，你就會被塗掉而無法進入！
快速複習：
- \(\le\) 代表我們想要的區域位於直線的下方或左側。
- \(\ge\) 代表我們想要的區域位於直線的上方或右側。
3. 尋找最佳點 (Finding the Optimal Point)
「最佳」解決方案 (最佳解, Optimal Solution) 總是位於可行區域的其中一個「頂點」(vertices) 上。有兩種主要方法可以找到它：
方法 A：頂點法 (Vertex Method)
這是「窮舉法」。
1. 找出可行區域 R 的每一個頂點坐標。
2. 將每個 \((x, y)\) 坐標代入你的目標函數。
3. 得到最高值（若為極大化）或最低值（若為極小化）的那個點就是你的贏家！
方法 B：目標線法 (Objective Line/Ruler Method)
這通常比較快，也能展現你對數學的深度理解！
1. 為你的目標選擇一個「隨機」目標值 (\(k\))。如果你的目標是 \(P = 10x + 20y\)，試著畫出直線 \(10x + 20y = 200\)。
2. 用直尺畫出這條「搜尋線」（通常畫成虛線）。
3. 平移你的直尺，使其與該線平行並在圖表上移動：
- 對於極大化 (Maximize)：直尺在離開可行區域前接觸到的最後一個點就是最佳點。
- 對於極小化 (Minimize)：直尺在進入可行區域時接觸到的第一個點就是最佳點。
常見錯誤：請避開
使用尺規法時，請確保你的直尺始終與原始虛線保持完全平行。如果傾斜了一點點，你可能會指向錯誤的頂點！
總結要點：你不需要檢查區域內的每一個點，只需要檢查頂點即可。「目標線」就像是一台掃描器，幫你找出最棒的那個角落。
4. 整數解 (Integer Solutions)
有時候，「純數學」算出的答案可能是 \(x = 5.2, y = 3.8\)。但如果 \(x\) 和 \(y\) 代表人或車，你不可能擁有 0.2 個人！這時候就需要整數解。
如何找到它們：
- 使用上述方法先算出精確（小數）的最佳點。
- 觀察該點周圍的整數坐標。
- 關鍵規則：你必須檢查這些附近的整數點是否真的在可行區域內。一個點可能很接近，但如果它違反了某個限制，就不被允許！
- 將合法的整數點代入目標函數，看看哪一個最優。
例子：
如果你的最佳解是 \((2.9, 4.1)\)，你可能會檢查 \((2, 4)\)、\((3, 4)\)、\((3, 5)\) 等點。如果 \((3, 4)\) 位於塗黑區域外，你就必須捨棄它，轉而嘗試下一個最接近的點。
總結要點：如果題目要求整數，先算出「數學」答案，然後在允許範圍內「偵察」附近的網格交點。
章節總結清單
在開始練習題之前，請確保你能夠：
- 從一段文字中辨識決策變數、目標函數和限制條件。
- 務必包含非負限制 (\(x, y \ge 0\))。
- 準確繪製直線並塗掉不符合的一側。
- 將可行區域標記為 R。
- 使用目標線（直尺）來找出最佳頂點。
- 若情境要求整數，請務必檢查整數點。
如果剛開始覺得棘手，請別擔心！你畫的圖越多，可行區域看起來就會越「自然」。你一定做得到的！