歡迎來到回歸與相關分析的世界！

在你的統計學 1 (S1) 學習中，你已經學過如何利用積差相關係數 (PMCC) 來判斷兩個變量之間是否存在線性關係。現在，在 S3 單元中，我們要更進一步！我們將學習如何處理並非完美線性的數據，更重要的是，如何證明一個相關關係是「真實存在」的，而非僅僅由隨機誤差造成。別擔心統計學聽起來很深奧——我們會把它拆解成簡單、易於掌握的步驟。


1. 斯皮爾曼等級相關係數 \( (r_s) \)

有時候，我們想知道兩件事物之間是否有關聯，但它們在圖表上並不呈直線分佈。又或者，這些數據是基於排名 (Ranks) 的（例如才藝表演中參賽者獲得第 1、第 2 和第 3 名）。這就是斯皮爾曼等級相關係數 (Spearman's Rank Correlation Coefficient) 大顯身手的時候了。

為什麼要用斯皮爾曼而不是 PMCC？

  • 非線性關係： 如果數據趨勢一致（同時上升或同時下降）但並非呈直線，使用斯皮爾曼係數會更準確。
  • 等級數據： 當你手頭上只有項目的先後順序，而沒有確切的數值時。
  • 極端值 (Outliers)： 斯皮爾曼係數受一兩個「奇怪」數據點的影響較小，因為它只關注順序，而不是具體的數值。

如何逐步計算 \( r_s \)

即使計算機可以幫你完成部分運算，你仍然需要理解其中的過程。以下是該公式：

\( r_s = 1 - \frac{6\sum d^2}{n(n^2 - 1)} \)

逐步指南：

  1. 將第一組數據 (\(x\)) 排名，由小到大（1 為最小）。
  2. 將第二組數據 (\(y\)) 排名，由小到大。
  3. 找出每一對數據在排名上的差值 (\(d\))。
  4. 將每個差值平方 (\(d^2\))。
  5. 將所有這些平方差值求和，得出 \( \sum d^2 \)。
  6. 代入公式計算，其中 \(n\) 是數據對的總數。

快速複習：結果代表什麼？
就像 PMCC 一樣，答案永遠介於 +1 和 -1 之間。
+1： 完美的正等級相關（排名完全一致）。
0： 完全沒有等級相關。
-1： 完美的負等級相關（排名完全相反）。

等等，如果出現「並列 (Ties)」怎麼辦？

如果兩個人同時獲得「第 2 名」，這就是並列。在考試中，你通常不會被要求計算帶有並列情況的斯皮爾曼係數，但你應該知道處理方式：我們會給予他們這些名次的平均值。例如，如果有兩項並列第 2 和第 3 名，那麼它們都會得到 2.5 名。

重點總結： 斯皮爾曼相關係數的核心在於數據的順序，而非實際數值。它非常適合用於比賽評分，或是判斷一個變量是否隨另一個變量增加，即便它們之間的關係並非直線。


2. 零相關性檢定

想像一下，你計算出的相關係數是 0.5。這個數值是否「足夠強」以證明兩者相關，還是你只是運氣好剛好抽樣到了這個結果？在 S3 中，我們使用假設檢定 (Hypothesis Testing) 來找出答案。

設定假設

當檢定是否存在相關性時，我們的「預設」假設是整個總體中沒有任何關係。

  • 虛無假設 (\( H_0 \))： \( \rho = 0 \)（沒有相關性）。
  • 對立假設 (\( H_1 \))：
    • \( \rho > 0 \)（懷疑存在正相關——單尾檢定）。
    • \( \rho < 0 \)（懷疑存在負相關——單尾檢定）。
    • \( \rho \neq 0 \)（僅懷疑存在某種相關性——雙尾檢定）。

注意：我們使用希臘字母 \( \rho \) (rho) 來表示 PMCC 的總體相關係數，使用 \( \rho_s \) 表示斯皮爾曼的總體相關係數。

使用統計查表

你不需要從頭計算「p-value」。在考試中，你會得到一張臨界值 (Critical Values) 表。這就像是你測試的「及格分數」。

  1. 查看你的樣本大小 (\(n\))。
  2. 查看你的顯著水準 (Significance Level)（通常為 5% 或 1%）。
  3. 在表中找出臨界值。

決策規則：
如果你計算出來的數值（忽略任何負號）大於表格中的臨界值，你就有了足夠的證據！這時你拒絕 \( H_0 \)，並得出結論：兩者之間確實存在相關性。

記憶小技巧： 將臨界值想像成一道跨欄。如果你的相關係數「夠強」，足以跳過這道欄，你就成功證明了兩者之間的關係！

加油： 如果起初覺得困難也不要灰心！最棘手的部分通常只是從表格中選對欄位。在查表之前，請務必再三確認你的測試是單尾還是雙尾。

重點總結： 假設檢定能告訴我們樣本相關性是否強到足以代表整個總體。請善用提供的表格，並記得在結論中聯繫題目原本的背景！


3. 總結與常見錯誤

常見陷阱

  • 查錯表： PMCC 和斯皮爾曼有不同的表格，確保你使用的表格與你的計算方法匹配！
  • 忘記將 \(d\) 平方： 在計算斯皮爾曼時，必須將差值平方 (\(d^2\))。如果不這樣做，總和通常會變成零！
  • 混淆雙尾檢定： 對於 5% 顯著水準的雙尾檢定，有些表格需要查看 0.025 的欄位（將 5% 分配到兩端）——請務必仔細檢查特定表格的標題！
  • 誤解 \( \rho = 0 \)： 記住，對於 PMCC 而言，\( \rho = 0 \) 僅表示沒有線性相關，但兩者之間可能仍存在非線性關係。

你知道嗎？

發明等級相關係數的查爾斯·斯皮爾曼 (Charles Spearman) 其實是一位心理學家。他利用這些統計方法發展了關於人類智力的理論！
快速複習欄

公式： \( r_s = 1 - \frac{6\sum d^2}{n(n^2 - 1)} \)
\(H_0\)： 總是假設相關係數為零 (\( \rho = 0 \))。
決策： 計算值 > 表格臨界值 = 顯著結果！

你現在已經掌握了 S3 回歸與相關分析章節的核心內容。做得好！繼續練習查表，因為一旦掌握了技巧，這就是考試中的「必得分數」。