歡迎來到三角學的世界！
你好！歡迎來到你數學旅程中最實用且引人入勝的章節之一：三角學 (Trigonometry)。無論你的目標是成為工程師、建築師，還是單純想在考試中取得優異成績，三角學都是你理解形狀、波形和運動的必備工具。
如果你過去覺得三角形既「尖銳」又令人困惑，請別擔心。我們將會逐步拆解所有內容。讀完這些筆記，你就能像專家一樣解開複雜的方程式並繪製出圖表！
1. 解任意三角形：正弦定律與餘弦定律
在早期的學習中，你已經認識了直角三角形。但如果三角形沒有 \(90^\circ\) 的角呢？這時候，正弦定律 (Sine Rule) 和 餘弦定律 (Cosine Rule) 就能大派用場。
正弦定律 (The Sine Rule)
你可以把正弦定律想像成連接對應邊角（對邊與對角）的一種方式。只要你知道一條邊及其對角，你就已經成功了一半！
公式： \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
例子：當你已知兩角一邊，或兩邊及一條「非夾角」時，請使用此公式。
歧義情況（「雙重麻煩」）
有時候，正弦定律可能會給你兩個可能的三角形。當題目給定兩邊和一個非夾角的銳角時，就會發生這種情況。其中一個三角形可能是銳角三角形，另一個則可能是鈍角三角形（大於 \(90^\circ\) 的角）。
快速複習： 如果 \(\sin \theta = 0.5\)，\(\theta\) 可能是 \(30^\circ\) 或 \(180 - 30 = 150^\circ\)。記得檢查兩者是否都符合你的三角形條件！
餘弦定律 (The Cosine Rule)
你可以把它看作是畢氏定理的「強化版」。它適用於任何三角形。
公式： \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)
使用時機：
1. 當你知道兩邊及其夾角 (SAS) 時。
2. 當你知道三條邊並想求出一個角 (SSS) 時。
三角形面積
暫時忘掉「二分之一底乘高」吧。如果你已知兩邊及其夾角，請使用：
面積 = \(\frac{1}{2}ab \sin C\)
關鍵要點：
使用正弦定律處理對應邊角；使用餘弦定律處理「邊-角-邊」或「三邊」的情況。
2. 弧度制：一種新的測量方式
到目前為止，你一直都在使用角度制。但在高等數學中，我們使用弧度 (Radians)。弧度只是基於圓的半徑所定義的一種不同的角度「語言」。
黃金法則： \(\pi \text{ 弧度} = 180^\circ\)
轉換非常簡單：
- 從角度轉為弧度：乘以 \(\frac{\pi}{180}\)。
- 從弧度轉為角度：乘以 \(\frac{180}{\pi}\)。
弧長與扇形面積
使用弧度時，圓的相關公式會變得簡單得多！
1. 弧長 (s)： \(s = r\theta\)
2. 扇形面積 (A)： \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)
注意：要使用這些公式，\(\theta\) 必須以弧度為單位。
常見錯誤： 忘記更改計算機模式！如果題目包含 \(\pi\) 或註明 "rad"，請確保計算機螢幕上方顯示的是 'R'，而不是 'D'。
3. 三角函數圖形與變換
三角函數不僅僅是數字，它們是波！你需要熟悉 \(y = \sin x\)、\(y = \cos x\) 和 \(y = \tan x\) 的形狀。
關鍵屬性：
- 正弦與餘弦： 它們每隔 \(360^\circ\)（或 \(2\pi\) 弧度）重複一次。這稱為它們的週期 (Period)。它們在 \(1\) 到 \(-1\) 之間波動。
- 正切： 這是個「叛逆者」。它每隔 \(180^\circ\)（或 \(\pi\) 弧度）重複一次，並且在 \(90^\circ, 270^\circ\) 等位置有漸近線 (Asymptotes)（圖形永遠不會觸碰的線）。
波的變換
想像圖形是一條繩子。你可以拉伸它或平移它：
- \(y = 3 \sin x\)：波形變得更高（達到 \(3\) 和 \(-3\)）。
- \(y = \sin 2x\)：波形在水平方向被壓縮（原本一個波的位置現在擠進了兩個波）。
- \(y = \sin(x + 30^\circ)\)：整個波形向左平移了 \(30^\circ\)。
你知道嗎？
正弦波是純淨聲音的形狀。當你聽到清脆的哨音或音叉聲時，你聽到的其實就是一個 \(\sin x\) 圖形！
4. 三角恆等式
恆等式是數學中永遠成立的事實。它們就像能幫助你簡化繁瑣方程式的捷徑。
恆等式 1： \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
恆等式 2： \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
提示：你可以重組恆等式 2！例如，\(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)。當方程式中同時出現 \(\sin\) 和 \(\cos\) 時，這非常有用。
5. 解方程式
這是所有內容融會貫通的地方。你可能需要解出像 \(\sin(x + 30^\circ) = 0.5\) 這樣的方程式。
步驟指南：
- 分離三角函數： 將方程式整理成 \(\sin(\text{某物}) = \text{數字}\) 的形式。
- 求出主值 (Principal Value)： 使用你的計算機（按 \(\sin^{-1}\)）。我們稱這個角為 \(PV\)。
- 求出範圍內的其餘數值：
- 對於 正弦 (Sine)：\(PV\) 和 \(180 - PV\)
- 對於 餘弦 (Cosine)：\(PV\) 和 \(360 - PV\)（或 \(-PV\)）
- 對於 正切 (Tangent)：\(PV\) 和 \(180 + PV\)
- 調整括號內的項： 如果題目是 \(\sin(2x)\)，先算出所有角度，最後才將它們全部除以 \(2\)。
記憶口訣：CAST 圖表
要記住函數在哪個象限為正：
Cosine（餘弦）在第四象限為正。
All（全部）在第一象限為正。
Sine（正弦）在第二象限為正。
Tan（正切）在第三象限為正。
（口訣：Castle Age Starts Today 或 All Stations To Central）
二次三角方程式
如果你看到類似 \(6\cos^2 x + \sin x - 5 = 0\) 的式子，別慌！使用恆等式將 \(\cos^2 x\) 轉為 \(1 - \sin^2 x\)。現在它就是一個普通的二次方程式，其中「未知數」是 \(\sin x\)。把 \(\sin x\) 當作一個單一字母（例如 \(y\)），解出二次方程式，最後再求出 \(x\)。
關鍵要點：
永遠先用計算機求出第一個角，然後利用單位圓的對稱性（或 CAST 圖表）在指定區間內求出其餘解。
恭喜你！你已經完成了 AS Level 三角學的核心內容。繼續多加練習繪圖，並留意計算機的模式設置。你一定能做到的！