歡迎來到不等式的世界！
在你的數學旅程中，你花了不少時間去找出 \(x\) 的確切數值（例如 \(x = 5\)）。但在現實世界中，情況並不總是那麼精確。有時候，我們只需要知道一個數值是大於還是小於另一個數值。試想一下車速限制：你不需要剛好開到每小時 60 公里；你只需要保持車速 \(s \le 60\)。在本章中，我們將學習如何為線性及二次表達式解這類「數值範圍」，並將其繪製成圖。
1. 線性不等式
解線性不等式與解普通方程式非常相似。你的目標仍然是讓 \(x\) 單獨留在方程的一側。然而，有一條你絕對不能忘記的黃金法則！
「負數翻轉」法則
每當你將不等式的兩邊同時乘以或除以一個負數時，你必須翻轉不等號。
類比： 想像你和朋友站在數線上。如果你在 5 的位置，而他在 2 的位置，那麼你「大」。如果你們兩人都將位置乘以 -1，現在你在 -5，他在 -2。突然間，-2 比 -5 大了！因為負號的關係，兩者的大小關係翻轉了。
例子：解 \(10 - 2x \le 4\)
- 兩邊同時減去 10：\(-2x \le -6\)
- 兩邊同時除以 -2。因為我們除以一個負數，所以要翻轉不等號：\(x \ge 3\)
重點複習：不等號
- \(>\) ：大於
- \(<\) ：小於
- \(\ge\) ：大於或等於
- \(\le\) ：小於或等於
重點總結：處理不等式就像處理方程式一樣，但如果你乘以或除以負數，一定要記得翻轉符號！
2. 二次不等式
二次不等式（例如 \(x^2 - 5x + 6 > 0\)）稍微狡猾一點。你不能直接透過「移項」來解它，你必須遵循特定的步驟，並配合圖形草圖來解題。
解二次不等式的步驟指南
- 整理：確保不等式的一側為零（例如 \(ax^2 + bx + c > 0\)）。
- 找出臨界值（Critical Values）：將其視為方程式（令其等於 \(0\)），透過因式分解或使用二次公式求解。這些數值就是圖形與 x 軸相交的位置。
- 繪製圖形草圖：畫一個簡單的「U 型」曲線（如果 \(x^2\) 的係數為正），並讓它通過你算出的臨界值。
- 識別區域：觀察原始的不等號：
- 如果大於 \(0\)，你需要的是曲線在 x 軸上方的部分。
- 如果小於 \(0\)，你需要的是曲線在 x 軸下方的部分。
例子：解 \(x^2 - 4x - 5 < 0\)
1. 因式分解：\((x - 5)(x + 1) < 0\)。
2. 臨界值：\(x = 5\) 和 \(x = -1\)。
3. 畫一個在 -1 和 5 處與 x 軸相交的「U 型」曲線。
4. 因為我們想要小於 \(0\)，所以我們看 x 軸下方的部分。這就是這兩個點之間的「山谷」區域。
答案：\(-1 < x < 5\)
別擔心，如果這看起來很難！只要記住：如果答案是軸下方的「山谷」，它會寫成一個連貫的不等式。如果答案是向上延伸並遠離軸的兩個「手臂」，它則會寫成兩個分開的不等式（例如 \(x < -1\) 或 \(x > 5\)）。
重點總結：一定要畫圖草圖。永遠不要在不看曲線走向的情況下嘗試解二次不等式！
3. 分式不等式
Edexcel 的課程大綱提到，有些不等式涉及分式，可以透過「簡化」變為線性或二次不等式。常見的例子是 \(\frac{a}{x} < b\)。
陷阱！
你可能很想直接將兩邊同時乘以 \(x\)。千萬不要這麼做！因為我們不知道 \(x\) 是正數還是負數，所以我們不知道該不該翻轉不等號。
技巧：乘以 \(x^2\)
由於任何數的平方（零除外）永遠是正數，我們將兩邊同時乘以 \(x^2\) 就可以安全地保留不等號的方向。
例子：\(\frac{3}{x} < 2\) 會變成 \(3x < 2x^2\)。現在你就有了一個可以透過第 2 節步驟求解的二次不等式！
重點總結：如果 \(x\) 在分母，將兩邊乘以 \(x^2\) 將其轉化為二次不等式。
4. 圖形表示與陰影區域
有時候你需要將解表示在坐標平面（\(x\) 和 \(y\)）上，這就是我們要表示區域的時候。
虛線與實線
- 嚴格不等式（\(>\) 或 \(<\)）請使用虛線。這代表線本身不包含在解的範圍內。
- 包含「或等於」的不等式（\(\ge\) 或 \(\le\)）請使用實線。這代表線本身包含在解的範圍內。
如何塗抹正確的陰影區域
1. 畫線：將不等式視為方程式（例如，對於 \(y > x + 2\)，先畫出直線 \(y = x + 2\)）。
2. 測試點：選一個不在線上的簡單坐標，例如 \((0,0)\)，並將其代入不等式中。
3. 判斷：如果點符合不等式，就塗抹該點所在的一側！如果不符合，則塗抹另一側。
你知道嗎？在考試中，通常會要求你塗抹滿足不等式的區域。但是，請務必仔細閱讀題目——有時候題目會要求你塗抹「不想要」的區域，以留下正確的空白區域！
重點總結：虛線 = 不包含。實線 = 包含。代入 \((0,0)\) 來找出線的正確一側。
避免常見錯誤
- 忘記翻轉符號：當除以負數時，請務必再三檢查。
- 把二次不等式當成線性方程式處理：永遠不要將 \(x^2 > 9\) 直接寫成 \(x > 3\)。你漏掉了 \(x < -3\) 的部分！畫圖吧！
- 塗錯陰影區域：請務必使用像 \((0,0)\) 這樣的測試點來確保 100% 正確。
恭喜你！你已經掌握了 Pure Math 1 不等式的核心概念。繼續練習繪製二次曲線草圖——這是掌握這個主題的關鍵！