歡迎來到三角學的世界！
你好！「三角學」（Trigonometry）聽起來可能很深奧，但它其實只是研究三角形邊長與角度之間關係的學問。無論你對建築、遊戲設計還是導航感興趣，三角學都是讓這一切成為可能的基礎工具。在本筆記中，我們將為你拆解 Pearson Edexcel International AS Level（P1 和 P2）考試所需的必備規則與圖形。讓我們開始吧！
1. 非直角三角形的處理
在過去的學習中，你可能已經熟悉用於直角三角形的 SOH CAH TOA。但如果三角形沒有 90 度的直角怎麼辦？這時候，正弦定律 (Sine Rule) 和 餘弦定律 (Cosine Rule) 就是你的救星。
正弦定律
當你知道三角形中的「邊與對角」組合（配對）時，請使用此定律。公式如下：
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
別忘了「歧義情況」（Ambiguous Case）： 有時候，當題目給你兩條邊和一個非夾角時，可能會出現兩個可能的三角形。這是因為 \( \sin \theta = \sin(180^\circ - \theta) \)。請務必檢查是否還有第二個鈍角符合題目要求！
餘弦定律
當你遇到「SAS」（邊角邊）或「SSS」（邊邊邊）的情況時，請使用此定律。它就像畢氏定理的進階版本：
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)
若要計算角度，你可以將公式重排為： \( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)
三角形面積
如果你不知道垂直高度，你可以利用兩條邊及其夾角來求面積：
面積 = \( \frac{1}{2} ab \sin C \)
重點總結： 遇到「邊角配對」用正弦定律；遇到「邊角邊」或「三邊全知」則用餘弦定律。
2. 弧度法 (Radian Measure)
在 AS Level 中，我們不再僅限於使用「度」（degrees），而是開始使用弧度（Radians）。你可以把弧度想像成測量角度的另一種「語言」，就像公分和英吋都是用來測量長度一樣。
什麼是弧度？
當圓弧長度等於半徑時，該弧所對應的圓心角就是一弧度。
黃金法則： \( 180^\circ = \pi \text{ 弧度} \)
弧長與扇形面積
使用弧度能讓我們的公式變得簡單得多！
- 弧長 (s)： \( s = r\theta \)
- 扇形面積 (A)： \( A = \frac{1}{2} r^2 \theta \)
注意：要使用這些公式，\(\theta\) 必須以弧度為單位。
小貼士： 若要將度數轉換為弧度，請乘以 \( \frac{\pi}{180} \)；若要將弧度轉換為度數，請乘以 \( \frac{180}{\pi} \)。
重點總結： 務必檢查計算機的模式！如果題目使用 \(\pi\) 或弧度，請確保你的計算機顯示的是「R」（弧度模式），而不是「D」（度數模式）。
3. 三角函數圖形與變換
將正弦（Sine）、餘弦（Cosine）和正切（Tangent）視為波形（waves），能幫助我們理解它們隨時間變化的規律。
圖形形狀
- y = sin x： 從 (0,0) 開始，升至 1，降至 -1。每隔 \( 360^\circ \)（或 \( 2\pi \)）重複一次。
- y = cos x： 從 (0,1) 開始，降至 -1 再回到 1。它其實就是將正弦波向左平移後的結果！
- y = tan x： 看起來像一系列的「S」型曲線。它在 \( 90^\circ, 270^\circ \) 等位置有漸近線（asymptotes）（曲線永遠無法觸及的線）。它每隔 \( 180^\circ \)（或 \( \pi \)）重複一次。
圖形變換
你需要知道方程式的改變如何影響圖形：
- y = af(x)： 垂直拉伸（例如 \( y = 3\sin x \) 的波峰變為 3，波谷變為 -3）。
- y = f(x) + a： 垂直平移（將整張圖形向上或向下移動）。
- y = f(x + a)： 水平平移（左右移動）。記住：\( +a \) 是向左移！
- y = f(ax)： 水平拉伸/壓縮（例如 \( y = \sin 2x \) 會使波形重複頻率增加一倍）。
重點總結： 週期（period）是指圖形重複一次所需的時間。對於 \(\sin x\) 和 \(\cos x\)，週期是 \( 360^\circ \)；對於 \(\tan x\)，週期則是 \( 180^\circ \)。
4. 三角恆等式 (Trigonometric Identities)
恆等式是對於所有數值都成立的數學事實。它們就像「轉換工具」，讓你能夠替換表達式，從而解開複雜的方程式。
兩大核心恆等式
- \( \tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
- \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1 \)
你知道嗎？ 第二個恆等式其實就是藏在單位圓（半徑為 1 的圓）裡的畢氏定理（\( a^2 + b^2 = c^2 \)）！
常見錯誤： 學生常忘記 \( \sin^2 \theta \) 其實是指 \( (\sin \theta)^2 \)，並非指 \( \sin(\theta^2) \)。
重點總結： 如果方程式中同時出現 \(\sin^2 \theta\) 和 \(\cos \theta\)，請利用第二個恆等式將所有項轉為 \(\cos\)，這樣你就能像解二次方程式一樣解題了。
5. 解三角方程式
解 \(\sin x = 0.5\) 與普通代數不同，因為答案不只有一個，而是有無限多個！我們通常是在特定的區間內求解（例如 \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \)）。
解題步驟
- 化簡： 將三角函數（如 \(\sin x\) 或 \(\cos \theta\)）單獨移到等式一邊。
- 主值 (Principal Value)： 使用計算機（按下 \(\sin^{-1}\) 等）找到第一個答案。
- 尋找其他解： 利用單位圓（CAST 圖）或三角函數圖形找到該區間內的所有其他解。
- 調整變換： 如果題目是 \( \cos(2x) = 0.5 \)，請先解 \( 2x \)，在較大的區間內找到所有值，最後再除以 2。
範例：解 \( 6\cos^2 x + \sin x - 5 = 0 \)
如果覺得複雜也不用擔心！跟著工具走就好：
1. 將 \(\cos^2 x\) 替換為 \( (1 - \sin^2 x) \)。
2. 你現在得到一個二次方程式： \( 6(1 - \sin^2 x) + \sin x - 5 = 0 \)。
3. 化簡為 \( 6\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \)。
4. 因式分解並解出 \(\sin x\)，最後求出角度 \( x \)。
重點總結： 務必檢查最終答案是否落在題目給定的區間內（例如 \( 0 < x < 2\pi \)）。
快速複習清單
- 確認計算機是在角度 (Degrees) 還是 弧度 (Radians) 模式？
- 在使用正弦定律時，是否檢查過是否有歧義情況？
- 解方程式時，是否找出了區間內所有的值？
- 你能憑記憶畫出基礎的 \( \sin, \cos, \tan \) 圖形嗎？
你一定做得到！ 三角學需要反覆練習，但一旦掌握了其中的規律，它將會成為純數學中最具預測性且最令人有成就感的部分。