歡迎來到線性函數單元！

歡迎來到 SAT 數學備考中最重要的章節之一！線性函數 (Linear functions) 是代數部分的骨幹。它們在考試中無處不在，因為線性函數描述了事物如何以穩定、可預測的速率變化。無論你是在計算的士收費，還是預測植物每週的生長高度，你都在運用線性函數。

如果數學不是你最擅長的科目，請不用擔心。我們會將內容化整為零，讓你輕鬆掌握。你可以把線性函數想像成一條筆直的道路——它從不彎曲，沒有驚喜，而且從頭到尾都遵循著相同的規則。

1. 到底什麼是線性函數？

從核心概念來看，線性函數是兩者之間的一種關係，其中的變化率是恆定的 (rate of change is constant)。這意味著你在一個方向每走一步，在另一個方向所移動的距離永遠相同。

金科玉律：在圖像上，線性函數看起來始終是一條直線。

著名的方程式：\(f(x) = mx + b\)

這是你最常看到的「斜截式」。讓我們來拆解每個部分的作用：

• \(f(x)\)：這只是 \(y\) 的一個花式名稱，代表「輸出」或結果。
• \(x\)：這是「輸入」，即是你代入數字的變數。
• \(m\)：這是斜率 (Slope)。它告訴你直線有多陡峭，以及它朝哪個方向延伸。
• \(b\)：這是 y截距 (y-intercept)。它告訴你直線在哪裡穿過垂直的 y 軸。

助記小貼士：
把 "m" 想像成 Movement（移動，代表線條如何上下移動），把 "b" 想像成 Beginning（起始點，代表線條在 y 軸上的起點）。

重點快記：如果一個方程式有 \(x\)，但沒有 \(x^2\) 或 \(x^3\)，它就是線性函數！

2. 理解斜率 (\(m\))

斜率是線性函數最重要的部分，它衡量的是線條的「陡峭程度」。

如何計算斜率

如果你已知兩個點 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\)，你可以使用這個公式來求斜率：
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

你可能聽過這叫作 "Rise over Run"（鉛垂位移除以水平位移）。
• Rise（上升量）：向上或向下移動了多少（\(y\) 的變化）。
• Run（前進量）：向左或向右移動了多少（\(x\) 的變化）。

斜率的外觀

• 正斜率 (\(m > 0\))：直線由左至右向上升（像爬山一樣）。
• 負斜率 (\(m < 0\))：直線由左至右向下降（像滑下山坡一樣）。
• 零斜率 (\(m = 0\))：直線是完全水平的（像地面一樣）。
• 未定義斜率 (Undefined Slope)：直線是完全垂直的（像牆壁一樣）。

要避免的常見錯誤：使用斜率公式時，點的順序必須一致。如果你在分子從 \(y_2\) 開始，分母也必須從 \(x_2\) 開始！

重點快記：斜率 = \(y\) 的變化除以 \(x\) 的變化。

3. y截距 (\(b\))

y截距是直線碰到 y 軸的那一點。在這個位置，\(x\) 永遠等於 0。

生活化類比：想像你請水喉匠上門維修。即使他還沒開始工作，也要收取 \$50 的基本出勤費，之後每小時再收 \$40。
• \$50 就是你的 y截距 (\(b\))，因為這是未計小時數之前的起始費用。
• \$40 就是你的 斜率 (\(m\))，因為它是根據小時數而變化的費率。

你知道嗎？在 SAT 考試中，題目經常要求你「解釋常數」(interpret the constant)。在線性應用題中，「常數」或「初始值」(initial value) 幾乎總是 y截距 (\(b\))。

重點快記：y截距就是當 \(x = 0\) 時的「起始值」。

4. 如何建立線性方程

如果 SAT 給你一個點和一個斜率，或者給出兩個點，你就可以建立方程式。一個很好用的工具是點斜式 (Point-Slope Form)：

\(y - y_1 = m(x - x_1)\)

步驟拆解：從兩點 \((1, 5)\) 和 \((3, 9)\) 求出方程

1. 求斜率： \(m = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\)。
2. 選取一個點：我們用 \((1, 5)\)。
3. 代入點斜式： \(y - 5 = 2(x - 1)\)。
4. 化簡為 \(y = mx + b\)：
\(y - 5 = 2x - 2\)
\(y = 2x + 3\)

重點快記：你只需要兩個資訊就能確定一條線：一個點和斜率。

5. 平行線與垂直線

SAT 非常喜歡考兩條直線如何根據它們的斜率互相對應。

平行線 (Parallel Lines)：這些線永不相交。因為它們的陡峭程度相同，所以它們的斜率相等。
例子：直線 1 的 \(m = 3\)，則直線 2 的 \(m\) 也必須是 \(3\)。

垂直線 (Perpendicular Lines)：這些線以完美的 90 度角相交。它們的斜率互為負倒數 (negative reciprocals)。
如何找出負倒數：將分數倒轉並更改正負號。
例子：如果直線 1 的 \(m = \frac{2}{3}\)，直線 2 的 \(m\) 必須是 \(-\frac{3}{2}\)。

要避免的常見錯誤：學生經常忘記更改垂直線的性質符號（正負號）。記住：如果一個是正數，另一個必須是負數！

重點快記：平行 = 斜率相同。垂直 = 倒轉分數並加負號。

6. 表格中的線性函數

有時候 SAT 會給你一個數值表而不是圖像。要判斷它是否為線性函數，請檢查其變化率。

如果 \(x\) 值每次增加相同的量，那麼 \(y\) 值也必須每次增加（或減少）一個固定的量。

示例表格：
\(x = 1, 2, 3\)
\(y = 10, 15, 20\)
觀察到每當 \(x\) 增加 1 時，\(y\) 就增加 5。這就是一個斜率為 5 的線性函數！

重點快記：y 欄中的固定加法或減法意味著該函數是線性的。

SAT 複習清單

• 你能找出兩點之間的斜率嗎？（\(Rise / Run\)）
• 你認得 \(b\) 是初始值或 y截距嗎？
• 你能在應用題中識破線性函數嗎？（尋找關鍵字，如「每個」、「每一」或「每小時收費」）
• 你記得平行線的斜率相同嗎？
• 你記得將垂直線的斜率「倒轉並改號」嗎？

最後鼓勵：線性函數是非常有邏輯且可預測的。只要你掌握了識別 "m" 和 "b" 的技巧，你就已經攻克了 SAT 數學考卷的一大半！繼續練習，這將會變成你的直覺。