歡迎來到不等式的世界！
在至今的數學旅程中，你可能花了不少時間尋找問題的精確答案——例如說 \(x = 5\)。但在現實世界中，生活並不總是只有一個單一答案。有時候我們需要知道某件事何時「多於」、「少於」或「最多」是多少。
想像一下車速限制。如果路牌寫著 65 mph，你不需要準確地開 65；你只需要保持在 65 或以下。這就是不等式！在這一章中，我們將學習如何解這些關係並將其繪製成圖。如果一開始覺得有點複雜，請不用擔心——只要學會一條「黃金法則」，其餘部分就和解一般方程式一模一樣！
1. 理解符號
在我們深入計算之前，先確保我們認識這些「數學標點符號」。這些符號告訴我們兩個值之間如何比較：
- \( < \) (小於)： 左邊的值較小。
- \( > \) (大於)： 左邊的值較大。
- \( \leq \) (小於或等於)： 左邊的值較小或完全相等。
- \( \geq \) (大於或等於)： 左邊的值較大或完全相等。
記憶小貼士： 把不等號想像成鱷魚的嘴巴。鱷魚非常肚餓，所以它總是想吃掉較大的數字！如果嘴巴朝向 \(x\) 開口，那麼 \(x\) 就是較大的值。
2. 解一元一次不等式
解線性不等式的過程與解一般方程式幾乎完全相同。你的目標是將未知數（如 \(x\)）單獨留在等號的一側。
不等式的黃金法則
方程式與不等式之間有一個重大的區別。每當你對兩邊同時乘以或除以一個負數時，你「必須」改變不等號的方向。
例子： 如果你有 \( -2x < 10 \)，而你將兩邊同時除以 \( -2 \)，符號就會反轉：
\( x > -5 \)
為什麼會這樣？ 你可以這樣想：10 大於 5。但如果你把它們都變成負數，-10 實際上比 -5 小。乘以負數會逆轉數字的「順序」，所以我們必須反轉符號！
逐步示範例子：
求解：\( 3x - 7 \geq 11 \)
- 兩邊同時加 7： \( 3x \geq 18 \)
- 除以 3： \( x \geq 6 \)（我們除以的是正數，所以符號保持不變！）
重點筆記： 像解方程式一樣處理，但如果你乘以或除以負數，記得反轉符號。
3. 二元一次不等式
當一個不等式有兩個未知數（如 \(x\) 和 \(y\)）時，答案不只是一個數字，而是圖表上的一個區域。
如何繪製不等式圖表：
- 第一步：將其視為直線。 想像不等號是等號，並畫出直線 \( y = mx + b \)。
- 第二步：選擇線條類型。
- 如果符號是 \( < \) 或 \( > \)，使用虛線。（這表示直線上的點「不屬於」解的一部分）。
- 如果符號是 \( \leq \) 或 \( \geq \)，使用實線。（這表示直線上的點「包括」在解之內）。
- 第三步：陰影處理區域。
- 如果 \( y > \) 或 \( y \geq \)，在直線的上方塗上陰影。
- 如果 \( y < \) 或 \( y \leq \)，在直線的下方塗上陰影。
快速技巧： 如果你不確定該在哪一邊塗陰影，選一個「測試點」，例如 \((0,0)\)。將它代入你的不等式。如果結果是正確的，就在包含 \((0,0)\) 的那一邊塗陰影。如果結果是錯誤的，就塗另一邊！
你知道嗎？ 這些陰影代表了無窮多個點。陰影區域中的每一個點都是該問題的有效答案！
4. 聯立線性不等式
在 SAT 考試中，你可能會看到兩個一組的不等式。這稱為聯立不等式 (System)。聯立不等式的解是兩個不等式陰影區域重疊的部分。
類比法： 想像你在找地方吃飯。你的朋友想要消費低於 \$20 的地方 (\( x < 20 \))，而你想要評分高於 4 星的地方 (\( y > 4 \))。真正的「解」就是那些同時符合這兩個條件的餐廳。
快速複習：求解聯立不等式
- 在同一個坐標平面上畫出兩條直線。
- 為每一條直線塗上正確的區域。
- 最終答案是兩種顏色混合的「雙重陰影」區域。
5. 現實應用題翻譯（文字題）
SAT 非常喜歡出「情境題」，讓你自行寫出不等式。請留意這些「關鍵字」：
- 「至少」(At least) / 「不少於」(No less than)： 使用 \( \geq \)
- 「最多」(At most) / 「最大值」(Maximum of)： 使用 \( \leq \)
- 「多於」(More than) / 「超過」(Exceeds)： 使用 \( > \)
- 「少於」(Under) / 「低於」(Fewer than)： 使用 \( < \)
例子： 「你有 \$50 可以購買每件 \$10 的 \(x\) 件襯衫和每頂 \$5 的 \(y\) 頂帽子。」
不等式將會是：\( 10x + 5y \leq 50 \)。 （你不能花超過你擁有的錢！）
應避免的常見錯誤
1. 忘記反轉符號： 這是最常見的錯誤。務必仔細檢查涉及負數的除法步驟！
2. 誤解「最多」的意思： 許多學生看到 "most" 就想到「大於」。請記住，如果最大值是 100，你的數值必須是 100 或更少 (\( \leq 100 \))。
3. 實線與虛線： 仔細觀察符號。如果符號下方沒有「或等於」的那條線，圖表的線必須是虛線。
重點筆記總結
1. 孤立未知數： 使用逆運算（先加減，後乘除）將未知數單獨移到一邊。
2. 負數反轉： 當乘以或除以負數時，反轉不等號的方向。
3. 繪圖： 對於 \( <, > \) 使用虛線，對於 \( \leq, \geq \) 使用實線。「大於」在上方塗陰影，「小於」在下方塗陰影。
4. 聯立不等式： 解是所有陰影區域重疊的地方。