Nonlinear functions

非線性函數簡介

歡迎來到非線性函數 (Nonlinear Functions) 的世界！到目前為止，你可能花了大量時間學習直線（線性函數）。但在現實生活中，事物並不總是成直線發展的——有時它會彎曲、跳躍，或者急速增長。在這一章中，我們將探索圖像並非直線的函數。這些概念對 SAT 考試至關重要，因為它們能幫助我們模擬各種現象，從踢足球的飛行軌跡，到銀行存款的增長方式。如果這些曲線初看起來有點嚇人，別擔心；我們會將它們拆解成簡單、易學的形狀。

1. 二次函數： "U" 形圖像

SAT 中最著名的非線性函數就是 二次函數 (Quadratic Function)。它的圖像被稱為 拋物線 (parabola)，看起來像一個 "U" 形或倒轉的 "U" 形。

你必須掌握的三種形式

SAT 會考查三種不同的二次方程表達方式。每一種都一目了然地「隱藏」了不同的資訊：

1. 一般式 (Standard Form)： \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
- 數值 c 是 y軸截距 (y-intercept)（圖像與垂直軸相交的位置）。
- 如果 a 是正數，"U" 形開口向上（像笑臉）；如果 a 是負數，則開口向下（像苦臉）。

2. 頂點式 (Vertex Form)： \(f(x) = a(x - h)^2 + k\)
- 這是最有用的形式！頂點 (vertex)（曲線的最頂端或最底端）就在 (h, k) 這一點。
- 小貼士：注意 h 前面的負號。如果方程是 \((x - 3)^2\)，那麼 h 實際上是正 3！

3. 因式分解式 (Factored Form)： \(f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\)
- 數字 \(r_1\) 和 \(r_2\) 是 零點 (zeros) 或 根 (roots)。這些是圖像穿過 x 軸的位置。

類比： 想像二次函數就像把球拋向空中。它從一定的高度開始（y軸截距），達到最高點（頂點），最後落到地面（根）。

要避免的常見錯誤： 從因式分解式找頂點時，請記住頂點永遠正正位於兩個根的中間！如果你的根在 2 和 6，頂點的 x 坐標一定是 \(x = 4\)。

重點總結： 二次函數包含 \(x^2\) 項。觀察方程的形式，可以讓你無需額外運算就能快速找到頂點、y軸截距或根。

2. 指數函數： 「高速增長者」

如果說二次函數是一條曲線，那麼 指數函數 (Exponential Function) 就是一枚火箭。這些函數代表隨時間翻倍、三倍或按百分比縮小的事物。

基本公式

\(f(x) = a(b)^x\)

a： 這是 初始值 (initial value)（當 \(x = 0\) 時的起始數值）。
b： 這是 增長因子 (growth factor)。

你知道嗎？
- 如果 b 大於 1，圖像正在「增長」（指數增長 Exponential Growth）。
- 如果 b 介乎 0 與 1 之間（例如 0.5），圖像正在「縮小」（指數衰減 Exponential Decay）。

生活實例： 如果你有 \$100，且每年翻倍，你的方程就是 \(f(x) = 100(2)^x\)。1 年後你有 \$200，2 年後你有 \$400。增長速度非常快！

快速複習： 線性函數每次增加相同的數額（1, 2, 3, 4...）。指數函數每次則是乘以相同的倍數（2, 4, 8, 16...）。

重點總結： 在指數函數中，變量 \(x\) 位處指數位置。這些圖像永遠不會穿過它們一直「貼近」的水平線（稱為漸近線 asymptote）。

3. 多項式函數與絕對值函數

SAT 還包括其他遵循特定規則的形狀。

絕對值函數

\(f(x) = |x|\) 的圖像看起來總是一個尖銳的 "V" 形。
- V 形的「尖端」作用與二次函數的頂點完全相同。
- 記憶法：絕對值 (Absolute Value) 看起來就像一個 V 字。

多項式函數（高次）

像 \(f(x) = x^3 - 2x\) 這樣的方程稱為多項式。
- 「次數」(degree) 是指最高的指數。
- 次數告訴你圖像穿過 x 軸的最大次數。3 次（三次函數）最多可以穿過 3 次。

重點總結： 對於高次多項式，重點觀察 零點（即 \(f(x) = 0\) 的位置）。如果方程是 \((x-2)(x+3)(x-5)\)，則圖像會在 2, -3 和 5 處穿過 x 軸。

4. 根號函數與分式函數

這些函數有一些圖像無法進入的特殊「禁區」。

根號函數

這些涉及平方根，例如 \(f(x) = \sqrt{x}\)。
- 在 SAT 圖像的「實數」世界中，你不能對負數取平方根。
- 這意味著圖像有一個「起點」，並且只向一個方向延伸。

分式函數 (Rational Functions)

這些是分母帶有 \(x\) 的分數，例如 \(f(x) = \frac{1}{x-3}\)。
- 黃金法則： 你永遠不能除以零！
- 在上面的例子中，\(x\) 不能等於 3。在圖像上，這會形成一條垂直的「隱形成牆壁」，稱為漸近線 (asymptote)，圖像永遠不會觸碰到它。

重點總結： 當你看到分數時，請看分母。任何使分母變為零的數值，就是圖像斷開的地方！

5. 非線性聯立方程

有時 SAT 會給你兩個方程——可能是一個圓和一條直線，或者一條拋物線和一條直線——並問你在哪裡相交。

如何解題：
1. 代入法 (Substitution)： 如果一個方程是 \(y = x^2\)，另一個是 \(y = 2x + 3\)，將它們設為相等：\(x^2 = 2x + 3\)。
2. 解出 x： 將所有項移到同一邊 (\(x^2 - 2x - 3 = 0\)) 並進行因式分解。
3. 解的數目：
- 如果直線穿過曲線兩次，則有 2 個解。
- 如果直線剛好擦過曲線的邊緣（相切），則有 1 個解。
- 如果它們永不接觸，則有 0 個解。

常見錯誤： 當你解出 \(x\) 後，別忘了將它代回其中一個原始方程以求出 \(y\) 值！一個「解」是一個坐標對 \((x, y)\)。

重點總結： 聯立方程的解就是兩個圖像相交（交點）的位置。

最後的奪分小貼士

- 檢查坐標軸比例： SAT 圖像的 x 軸和 y 軸往往有不同的比例。在選擇答案前，務必先看清數字。
- 代點法 (Plug and Chug)： 如果你在非線性題目上卡住了，從圖像中找一個點 \((x, y)\) 代入答案選項中。如果運算結果不符合，那絕對不是正確的方程！
- 保持冷靜： 非線性函數只是不同的形狀。一旦你辨認出形狀（二次函數看 U 形，絕對值看 V 形，指數函數看曲線），你已經成功了一半。