歡迎來到聯立方程的世界！

你有沒有試過計算用固定的預算可以買到多少張電影票和多少桶爆谷？又或者比較過兩款不同的電話月費計劃，看看哪一款比較划算？如果你做過這些計算，其實你已經在運用「聯立方程」（Systems）的概念了！

在代數（Algebra）的這個章節，我們將會學習如何同時處理兩個線性方程（Linear Equations）。這是 SAT 數學科的熱門考點，因為它考驗你同時處理兩項資訊並找出完美解的能力。如果剛開始覺得有點複雜也不用擔心——我們會循序漸進地拆解，直到你完全掌握為止！

什麼是「聯立方程」？

二元一次聯立方程（System of 2 Linear Equations）其實就是指我們有兩條含有相同變數（通常是 \(x\) 和 \(y\)）的不同方程。

目標： 找出一個數值對 \((x, y)\)，令兩條方程同時成立。在圖像上，這就是兩條直線相交的點。

比喻： 想像兩位朋友走在不同的路徑上。聯立方程的「解」就是他們路徑相交、互相擊掌的那個確切位置！

重點筆記：

聯立方程的解就是兩條直線的交點 \((x, y)\)，亦即能同時滿足兩條方程的數值。

方法 1：代入法（Substitution，又稱「替換法」）

當其中一個變數已經「孤立」（即變數前面沒有數字）或者已經有現成的表達式時，代入法就非常理想。

操作步驟：

1. 孤立： 選擇其中一條方程，將其中一個變數單獨放在等號一邊（例如：\(x = ...\) 或 \(y = ...\)）。
2. 代入： 將該表達式代入另一條方程。
3. 求解： 現在你得到了一條只剩下一個變數的方程，直接解出它！
4. 找回另一個： 將得出的答案代回原本任何一條方程，求出第二個變數。

範例：
方程 1：\(y = 2x + 1\)
方程 2：\(3x + y = 11\)

既然方程 1 已經給出 \(y = 2x + 1\)，我們就將它「代入」方程 2 的 \(y\) 中：
\(3x + (2x + 1) = 11\)
\(5x + 1 = 11\)
\(5x = 10\)
\(x = 2\)

現在求 \(y\)：\(y = 2(2) + 1\)，所以 \(y = 5\)。聯立方程的解就是 \((2, 5)\)！

快速複習：

當你看到像 \(y = 3x - 4\) 或 \(x = y + 2\) 這種形式的方程時，使用代入法是最快的方法！

方法 2：加減消元法（Elimination，又稱「消去法」）

消元法通常是 SAT 學生的最愛。當兩條方程都呈「一般式」（Standard Form），如 \(Ax + By = C\) 時，使用此法最為方便。

操作步驟：

1. 對齊： 將方程疊好，確保 \(x\)、\(y\) 和等號都在垂直的同一行。
2. 匹配： 將一條或兩條方程乘以某個數字，使其中一個變數的係數變成數值相同但正負號相反（例如 \(5y\) 和 \(-5y\)）。
3. 相加： 將兩條方程相加。該變數就會「消失」（被消去！）。
4. 求解與代回： 解出剩下的變數，然後代回原方程找出被消去的那個變數。

助記小貼士： 把「消元法」想像成電子遊戲，你先擊敗一個角色，然後就能專心對付另一個！

重點筆記：

要使用消元法，你需要相反的係數（例如 \(3x\) 和 \(-3x\)）。

「SAT 秘訣」：有多少個解？

有時候 SAT 並不要求你解方程，而是問該聯立方程有多少個解。你只需觀察斜率（Slopes）和 y-軸截距（y-intercepts）就能找到答案！

1. 只有一個解：
直線有不同的斜率。它們最終一定會相交。
\(y = 2x + 5\) 和 \(y = 3x + 5\)（斜率 2 和 3 不同）。

2. 無解（平行線）：
直線有相同的斜率，但有不同的 y-軸截距。它們並排運行但永遠不會相交。
\(y = 2x + 5\) 和 \(y = 2x - 10\)

3. 無限個解（同一條直線）：
兩條方程看起來不同，但實際上是一模一樣的。它們有相同的斜率和相同的 y-軸截距。
\(y = 2x + 5\) 和 \(2y = 4x + 10\)（如果你將第二條方程除以 2，它們就完全吻合！）。

你知道嗎？ 如果你在使用消元法時兩個變數都被消去了，請看看剩下的部分。如果你得到一個正確的等式（例如 \(0 = 0\)），那就是無限個解。如果你得到一個錯誤的等式（例如 \(0 = 5\)），那就是無解。

要避免的常見錯誤

1. 正負號陷阱： 在減去或乘以負數時要非常小心！一個小小的負號錯誤就足以改變整個答案。
2. 半途而廢： 算出 \(x\) 後不要停下來！大多數 SAT 題目會要求求 \(y\)，甚至是 \(x + y\)。務必重新讀題，確認題目要求的到底是什麼。
3. 對齊失誤： 使用消元法時，確保 \(x\) 對準 \(x\)。如果方程次序混亂，請先重新排列。

重點筆記：

在填寫答案之前，務必檢查題目要求的是 \(x\)、\(y\)，還是兩者的組合！

考試日快速總結

• 聯立方程： 兩條方程，兩個變數。
• 交點： 直線相遇之處（即方程的解）。
• 斜率不同： 1 個解。
• 斜率相同，截距不同： 0 個解（平行線）。
• 斜率相同，截距相同： 無限個解。
• 毫無頭緒？ 如果是選擇題，你通常可以嘗試「代入選項」反向求解！

如果覺得要記的東西很多也別擔心。只要多加練習，你很快就能隨處發現這些規律。你一定可以做到的！