บทเรียน: ห.ร.ม. และ ค.ร.น. และการแก้โจทย์ปัญหา (ชั้น ป.6)
ยินดีต้อนรับน้อง ๆ ชั้น ป.6 ทุกคนเข้าสู่บทเรียนเรื่อง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ครับ! เรื่องนี้เป็นหนึ่งในหัวข้อสำคัญของคณิตศาสตร์ประถมศึกษา ซึ่งนอกจากจะช่วยให้เราคิดเลขได้คล่องขึ้นและนำไปใช้ต่อยอดในเรื่องเศษส่วนแล้ว เรายังสามารถนำไปแก้ปัญหาในชีวิตประจำวันได้มากมาย เช่น การจัดของใส่กล่องให้พอดี หรือการวางแผนเวลาที่กิจกรรมจะเกิดขึ้นพร้อมกัน
ถ้ารู้สึกยากในตอนแรก ไม่ต้องกังวลนะ... ค่อย ๆ ทำความเข้าใจไปทีละขั้นตอน มีเทคนิคและวิธีจำง่าย ๆ รออยู่อย่างแน่นอนครับ!
(ความรู้พื้นฐานที่ควรทบทวนก่อนเริ่ม: เรื่องตัวประกอบ จำนวนเฉพาะ และการแยกตัวประกอบ จากบทเรียนเรื่องตัวประกอบของจำนวนนับ)
---ตอนที่ 1: ห.ร.ม. (หารร่วมมาก) คืออะไรและหาได้อย่างไร?
ห.ร.ม. ย่อมาจาก ตัวหารร่วมที่มากที่สุด หมายถึง จำนวนนับที่มากที่สุดที่นำไปหารจำนวนนับเหล่านั้นได้ลงตัวทั้งหมดทุกจำนวน
ลองนึกภาพง่าย ๆ: ถ้าเรามีลูกอมรสส้ม \(12\) เม็ด และรสมะนาว \(18\) เม็ด เราต้องการแบ่งใส่ถุง ถุงละเท่า ๆ กัน โดยไม่ปนรสกัน และต้องการให้ในแต่ละถุงมีจำนวนลูกอม มากที่สุด โดยไม่เหลือเศษเลย จำนวนลูกอมในถุงนั้นแหละคือค่าของ ห.ร.ม.
วิธีการหา ห.ร.ม. มี 3 วิธีหลัก ๆ ดังนี้:
วิธีที่ 1: การหาตัวหารร่วม (โดยการหาตัวประกอบ)
เหมาะสำหรับจำนวนที่ค่าน้อย ๆ
ตัวอย่าง: จงหา ห.ร.ม. ของ \(12\) และ \(18\)
1. หาตัวประกอบทั้งหมดของ \(12\) ได้แก่ \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
2. หาตัวประกอบทั้งหมดของ \(18\) ได้แก่ \(1, 2, 3, 6, 9, 18\)
3. ตัวหารร่วม (ตัวที่ซ้ำกัน) ของ \(12\) และ \(18\) คือ \(1, 2, 3, 6\)
4. ตัวหารร่วมที่มากที่สุด คือ \(6\)
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ \(12\) และ \(18\) คือ \(6\)
วิธีที่ 2: การแยกตัวประกอบ
เขียนจำนวนนับให้อยู่ในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ แล้วเลือกตัวเลขที่ซ้ำกันในทุกจำนวนมาคูณกัน
ตัวอย่าง: จงหา ห.ร.ม. ของ \(12\) และ \(18\)
\(12 = 2 \times 2 \times 3\)
\(18 = 2 \times 3 \times 3\)
สังเกตตัวที่ซ้ำกันทั้งสองบรรทัด คือ มี \(2\) ร่วมกันหนึ่งตัว และมี \(3\) ร่วมกันหนึ่งตัว
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ \(2 \times 3 = 6\)
วิธีที่ 3: การตั้งหารสั้น (วิธีที่นิยมและรวดเร็วที่สุด)
หลักการสำคัญ: ต้องหาจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนทุกจำนวนได้ลงตัวพร้อมกัน
ตัวอย่าง: จงหา ห.ร.ม. ของ \(24\) และ \(36\)
- นำ \(2\) มาหาร \(24\) และ \(36\) จะได้ผลหารคือ \(12\) และ \(18\)
- นำ \(2\) มาหาร \(12\) และ \(18\) ต่อ จะได้ผลหารคือ \(6\) และ \(9\)
- นำ \(3\) มาหาร \(6\) และ \(9\) ต่อ จะได้ผลหารคือ \(2\) และ \(3\)
- เนื่องจากไม่มีจำนวนนับใดที่มากกว่า \(1\) หารทั้ง \(2\) และ \(3\) ลงตัวพร้อมกันได้อีก จึงยุติการหาร
- คำนวณคำตอบ: นำเฉพาะ ตัวหารด้านหน้า ทั้งหมดมาคูณกัน
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ \(2 \times 2 \times 3 = 12\)
รู้หรือไม่?
ในการหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีตั้งหารสั้น เราจะนำตัวเลขด้านหน้ามาคูณกันเป็นรูปตัว "I" (ไอพิมพ์ใหญ่) คือมองลงมาในแนวตั้งด้านหน้าเพียงอย่างเดียว ไม่นำผลหารแถวล่างสุดมาคูณด้วย
ตอนที่ 2: ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย) คืออะไรและหาได้อย่างไร?
ค.ร.น. ย่อมาจาก ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด หมายถึง จำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มีจำนวนนับเหล่านั้นเป็นตัวประกอบ หรือพูดง่าย ๆ คือ จำนวนที่น้อยที่สุดที่จำนวนเหล่านั้นสามารถไปหารได้ลงตัวทั้งหมด
ลองนึกภาพ: มีกระต่ายตัวหนึ่งกระโดดทีละ \(4\) ช่อง อีกตัวกระโดดทีละ \(6\) ช่อง ทั้งสองตัวเริ่มจากจุดเริ่มต้นพร้อมกัน ทั้งคู่จะกระโดดมาเหยียบช่องเดียวกันครั้งแรกที่ช่องใด? ช่องนั้นก็คือ ค.ร.น. นั่นเอง
วิธีการหา ค.ร.น. มี 3 วิธีเช่นกัน:
วิธีที่ 1: การหาตัวคูณร่วม (ท่องสูตรคูณ)
ตัวอย่าง: จงหา ค.ร.น. ของ \(4\) และ \(6\)
1. พหุคูณของ \(4\) (สูตรคูณแม่ \(4\)) ได้แก่ \(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...\)
2. พหุคูณของ \(6\) (สูตรคูณแม่ \(6\)) ได้แก่ \(6, 12, 18, 24, 30, ...\)
3. ตัวคูณร่วม (ตัวที่ซ้ำกัน) คือ \(12, 24, ...\)
4. ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด คือ \(12\)
ดังนั้น ค.ร.น. ของ \(4\) และ \(6\) คือ \(12\)
วิธีที่ 2: การแยกตัวประกอบ
เขียนจำนวนนับในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นเลือกตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำกัน (ดึงมาเพียงตัวเดียว) และตัวที่ไม่ซ้ำกันเลย ก็นำมาร่วมคูณด้วยทั้งหมด
ตัวอย่าง: จงหา ค.ร.น. ของ \(12\) และ \(18\)
\(12 = 2 \times 2 \times 3\)
\(18 = 2 \times 3 \times 3\)
- ตัวที่ซ้ำกันทั้งสองบรรทัด: มี \(2\) หนึ่งตัว และ \(3\) หนึ่งตัว
- ตัวที่เหลือ (ไม่ซ้ำ): เหลือ \(2\) จากบรรทัดแรก และเหลือ \(3\) จากบรรทัดที่สอง
นำทั้งหมดมาคูณกัน: \(2 \times 3 \times 2 \times 3 = 36\)
ดังนั้น ค.ร.น. ของ \(12\) และ \(18\) คือ \(36\)
วิธีที่ 3: การตั้งหารสั้น (ข้อควรระวังสำคัญมาก!)
สำหรับการหา ค.ร.น. ของตัวเลขหลายจำนวน:
1. หากมีจำนวนเฉพาะที่หารลงตัว อย่างน้อย 2 จำนวน ก็สามารถนำมาหารได้
2. จำนวนที่หารไม่ลงตัว ให้ ดึงลงมา ในบรรทัดถัดไปเหมือนเดิม
3. หารไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งไม่มีจำนวนเฉพาะใดหารลงตัวพร้อมกันตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไปได้อีก
4. คำนวณคำตอบ: นำ ตัวหารด้านหน้าทั้งหมด คูณกับ ผลหารแถวล่างสุดทั้งหมด
ตัวอย่าง: จงหา ค.ร.น. ของ \(8, 12\) และ \(15\)
- นำ \(2\) มาหาร \(8\) และ \(12\) ได้ \(4\) และ \(6\) ส่วน \(15\) หารไม่ลงตัว ให้ดึง \(15\) ลงมา
- นำ \(2\) มาหาร \(4\) และ \(6\) ได้ \(2\) และ \(3\) ส่วน \(15\) หารไม่ลงตัว ให้ดึง \(15\) ลงมา
- ตอนนี้เหลือ \(2, 3, 15\) จะเห็นว่า \(3\) หาร \(3\) และ \(15\) ลงตัว นำ \(3\) มาหาร: ดึง \(2\) ลงมา, \(3 \div 3 = 1\), \(15 \div 3 = 5\)
- แถวล่างสุดเหลือ \(2, 1, 5\) ซึ่งไม่มีตัวหารร่วมตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไปแล้ว จึงยุติการหาร
- คำนวณคำตอบ: นำตัวหารด้านหน้า \((2 \times 2 \times 3)\) คูณกับแถวล่างสุด \((2 \times 1 \times 5)\)
ค.ร.น. คือ \(2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 = 120\)
รู้หรือไม่?
ในการหา ค.ร.น. ด้วยวิธีตั้งหารสั้น เราจะคูณตัวเลขเป็นรูปตัว "L" (แอลพิมพ์ใหญ่) คือ คูณตัวหารด้านหน้าลงมาจนสุด แล้วเลี้ยวไปคูณผลหารแถวล่างทั้งหมดด้วย!
ตอนที่ 3: สรุปข้อแตกต่างระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
ห.ร.ม. (หารร่วมมาก):
- ค่าที่ได้จะ น้อยลงหรือเท่ากับจำนวนที่น้อยที่สุด ในชุดนั้น
- ในการตั้งหารสั้น ตัวหารต้องหารลงตัว ทุกจำนวน เท่านั้น
- นำเฉพาะตัวหารด้านหน้ามาคูณกัน (รูปตัว I)
ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย):
- ค่าที่ได้จะ มากขึ้นหรือเท่ากับจำนวนที่มากที่สุด ในชุดนั้น
- ในการตั้งหารสั้น ตัวหารสามารถหารลงตัว อย่างน้อย 2 จำนวน ก็ได้ (ตัวที่หารไม่ลงตัวให้ดึงลงมา)
- นำตัวหารด้านหน้าและผลหารข้างล่างมาคูณกันทั้งหมด (รูปตัว L)
ตอนที่ 4: การแก้โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
เมื่ออ่านโจทย์ปัญหา น้อง ๆ หลายคนมักสับสนว่า "ข้อนี้ต้องใช้ ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. กันแน่?" มาดูคำสำคัญ (Keywords) ที่ช่วยในการตัดสินใจกันครับ
1. โจทย์ปัญหาที่ใช้ ห.ร.ม.
จุดสังเกตและคำสำคัญ:
- มีการ แบ่ง, จัดกลุ่ม, ตัด, ทอน ให้มีขนาดเท่า ๆ กัน
- มีคำว่า "มากที่สุด", "ยาวที่สุด", "ใหญ่ที่สุด"
- "โดยไม่เหลือเศษ" หรือแบ่งแล้วหมดพอดี
ตัวอย่างโจทย์ปัญหา ห.ร.ม.:
โจทย์: มาลีมีดอกกุหลาบสีแดง \(24\) ดอก และดอกกุหลาบสีขาว \(36\) ดอก ต้องการจัดเป็นช่อ ช่อละเท่า ๆ กัน โดยแต่ละช่อเป็นดอกไม้สีเดียวกันทั้งหมด และไม่มีดอกไม้เหลืออยู่เลย มาลีจะจัดได้ช่อละมากที่สุดกี่ดอก และจัดได้ทั้งหมดกี่ช่อ?
วิธีคิด:
1. วิเคราะห์โจทย์: มีการแบ่งของสองกลุ่มเท่า ๆ กัน และต้องการจำนวนในแต่ละช่อ มากที่สุด จึงต้องใช้ ห.ร.ม.
2. หา ห.ร.ม. ของ \(24\) และ \(36\):
- นำ \(2\) มาหาร \(24\) และ \(36\) ได้ \(12\) และ \(18\)
- นำ \(6\) มาหาร \(12\) และ \(18\) ได้ \(2\) และ \(3\)
ห.ร.ม. คือ \(2 \times 6 = 12\)
3. ตอบคำถามโจทย์:
- จะจัดได้ช่อละมากที่สุด \(12\) ดอก
- กุหลาบสีแดง \(24\) ดอก จัดได้ \(24 \div 12 = 2\) ช่อ
- กุหลาบสีขาว \(36\) ดอก จัดได้ \(36 \div 12 = 3\) ช่อ
- รวมจัดได้ทั้งหมด \(2 + 3 = 5\) ช่อ
2. โจทย์ปัญหาที่ใช้ ค.ร.น.
จุดสังเกตและคำสำคัญ:
- มีเหตุการณ์ที่เริ่มต้นพร้อมกัน แล้วเกิดขึ้นซ้ำ ๆ ตามรอบเวลาของตนเอง
- ถามหาเวลาหรือจุดที่จะ "พร้อมกันอีกครั้ง", "พบกันครั้งแรก", "ชนกัน"
- มีคำว่า "น้อยที่สุด"
ตัวอย่างโจทย์ปัญหา ค.ร.น.:
โจทย์: นาฬิกาปลุกเรือนที่หนึ่งจะส่งเสียงปลุกทุก ๆ \(15\) นาที เรือนที่สองจะส่งเสียงปลุกทุก ๆ \(20\) นาที ถ้านาฬิกาทั้งสองเรือนดังพร้อมกันครั้งแรกเมื่อเวลา \(08:00\) น. อีกกี่นาทีที่นาฬิกาทั้งสองเรือนจะดังพร้อมกันอีกครั้ง และจะตรงกับเวลาใด?
วิธีคิด:
1. วิเคราะห์โจทย์: เป็นเหตุการณ์ที่เกิดวนซ้ำตามรอบเวลา และถามหาเวลาที่จะเกิดขึ้น พร้อมกันในครั้งถัดไป จึงต้องใช้ ค.ร.น.
2. หา ค.ร.น. ของ \(15\) และ \(20\):
- นำ \(5\) มาหาร \(15\) และ \(20\) ได้ผลหารคือ \(3\) และ \(4\)
- ไม่มีตัวหารร่วมของ \(3\) และ \(4\) อีกแล้ว
ค.ร.น. คือ \(5 \times 3 \times 4 = 60\)
3. ตอบคำถามโจทย์:
- นาฬิกาทั้งสองเรือนจะดังพร้อมกันอีกครั้งในอีก \(60\) นาทีข้างหน้า
- จากเวลา \(08:00\) น. นับต่อไปอีก \(60\) นาที (ซึ่งเท่ากับ \(1\) ชั่วโมง) จะตรงกับเวลา \(09:00\) น.
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (ระวังจุดนี้นะ!)
1. การสับสนเรื่อง "ผลลัพธ์":
จำผิดว่า "หารร่วมมาก" คำตอบต้องมีค่ามาก และ "คูณร่วมน้อย" คำตอบต้องมีค่าน้อย
ความจริงคือ: ห.ร.ม. คือตัวหาร ผลลัพธ์จึงมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเลขเดิม ส่วน ค.ร.น. คือผลคูณ ผลลัพธ์จึงมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับตัวเลขเดิมเสมอ
2. ข้อผิดพลาดในการตั้งหารสั้น:
- ในการหา ห.ร.ม. เผลอนำจำนวนที่หารลงตัวแค่ 2 ตัว (แต่หารตัวที่ 3 ไม่ลงตัว) มาหารต่อ ซึ่งทำไม่ได้! ห.ร.ม. ต้องหารลงตัวทุกตัวเท่านั้น
- ในการหา ค.ร.น. เมื่อหารจำนวนใดไม่ลงตัว ลืมดึงจำนวนนั้นลงมา หรือเผลอนำเฉพาะตัวหารข้างหน้ามาคูณ (ลืมคูณผลหารแถวล่างสุด)
3. โจทย์ถามสองคำถามแต่ตอบคำถามเดียว:
โจทย์ ห.ร.ม. มักถามว่า "ได้ชิ้นละเท่าใด" (ค่า ห.ร.ม.) และ "ได้ทั้งหมดกี่ชิ้น" (ต้องนำผลลัพธ์แต่ละกลุ่มมาบวกกัน) ให้อ่านคำถามท้ายโจทย์ให้รอบคอบเสมอ
ทบทวนประเด็นสำคัญ
1. ห.ร.ม. (หารร่วมมาก): นำไปใช้กับการแบ่งสิ่งของให้เท่า ๆ กัน ชิ้นใหญ่ที่สุด มากที่สุด โดยไม่เหลือเศษ
- วิธีตั้งหารสั้น: ต้องหารลงตัว ทุกจำนวน
- วิธีคิดคำตอบ: นำตัวหารข้างหน้ามาคูณกันเป็นรูปตัว I
2. ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย): นำไปใช้กับรอบเวลา การวิ่งวนรอบ การกะพริบไฟ หรือเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้น พร้อมกันในครั้งถัดไป
- วิธีตั้งหารสั้น: หารลงตัวอย่างน้อย 2 จำนวน ได้ ตัวที่หารไม่ลงตัวให้ดึงลงมา
- วิธีคิดคำตอบ: นำตัวหารข้างหน้าและผลหารแถวล่างมาคูณกันทั้งหมดเป็นรูปตัว L
ฝึกฝนทำโจทย์บ่อย ๆ สังเกตคำสำคัญให้แม่นยำ แล้วเรื่อง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. จะกลายเป็นเรื่องง่ายและสนุกสำหรับทุกคนแน่นอนครับ!