Statistical Distributions for Financial Asset Prices and Returns

การแจกแจงทางสถิติสำหรับราคาและผลตอบแทนของสินทรัพย์ทางการเงิน

ยินดีต้อนรับสู่หนึ่งในโมดูลพื้นฐานสำคัญของวิชา Quantitative Methods (วิธีการเชิงปริมาณ)! ตลาดการเงินเต็มไปด้วยความไม่แน่นอน เมื่อคุณลงทุนในหุ้น พันธบัตร หรือกองทุนรวม คุณไม่มีทางรู้ได้อย่างแน่ชัดว่าราคาหรือผลตอบแทนในอนาคตจะเป็นเท่าใด เพื่อวัดปริมาณความไม่แน่นอนนี้ นักวิเคราะห์ทางการเงินจึงต้องพึ่งพา การแจกแจงทางสถิติ (Statistical Distributions)

ถ้ารู้สึกว่าเรื่องความน่าจะเป็นและสถิติดูยากหรือน่ากลัวในตอนแรก ไม่ต้องกังวลนะ! เราจะค่อย ๆ ย่อยแต่ละแนวคิดให้เป็นเรื่องง่าย ใช้การเปรียบเทียบที่เห็นภาพชัดเจน และพาไปดูการประยุกต์ใช้จริงในโลกการเงินทีละขั้นตอน ตามหลักสูตรของ CFA Level I โมดูลนี้จะเน้นไปที่ 4 เสาหลักสำคัญ ได้แก่:
• ค่าคาดหมายแบบไม่มีเงื่อนไข (Unconditional Expected Values) สำหรับค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วม
• โมเมนต์หลักของการแจกแจงสำคัญ (Principal Moments of Key Distributions) ที่ใช้ในทางการเงิน
• ค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไข (Conditional Expectations) ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมแบบมีเงื่อนไข
• การปรับปรุงความน่าจะเป็นแบบเบย์ (Bayesian Updating) หรือการอัปเดตความน่าจะเป็นเมื่อได้รับข้อมูลใหม่

หมายเหตุอ้างอิงข้ามบทเรียน: การสร้างพอร์ตการลงทุนโดยใช้ค่าพารามิเตอร์เหล่านี้จะได้รับการเจาะลึกในบท The Return and Risk of a Financial Portfolio ส่วนเรื่องการสุ่มตัวอย่างและการทดสอบสมมติฐานจะอยู่ในบท Estimation and Hypothesis Testing

---

1. ค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมแบบไม่มีเงื่อนไข

ค่าคาดหมายแบบไม่มีเงื่อนไข (Unconditional Expected Value หรือ ค่าเฉลี่ย)

ค่าคาดหมายแบบไม่มีเงื่อนไข ของตัวแปรสุ่ม คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยแต่ละผลลัพธ์จะถูกถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ก่อนที่เราจะสังเกตเห็นข้อมูลใหม่หรือเงื่อนไขใด ๆ เพิ่มเติม

ลองนึกภาพง่าย ๆ เหมือนการคำนวณเกรดเฉลี่ยของวิชาเรียน: แต่ละงานหรือการสอบจะมีน้ำหนักคะแนน (ความน่าจะเป็น) และคะแนนรวมสุดท้ายของคุณก็คือผลรวมของคะแนนแต่ละส่วนคูณด้วยน้ำหนักของมัน

ในทางคณิตศาสตร์ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง \(X\) ที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ \(n\) แบบคือ \(x_i\) โดยแต่ละผลลัพธ์มีความน่าจะเป็น \(P(X = x_i)\):

\(E(X) = \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) x_i\)

คุณสมบัติของค่าคาดหมาย:
• ค่าคงที่: ค่าคาดหมายของค่าคงที่ \(c\) จะเท่ากับค่าคงที่นั้นเสมอ: \(E(c) = c\)
• การคูณด้วยค่าสเกลาร์ (ค่าคงที่): หากคุณคูณตัวแปรสุ่มด้วยค่าคงที่ \(c\) ค่าคาดหมายก็จะถูกคูณด้วยค่าคงที่นั้นเช่นกัน: \(E(c X) = c E(X)\)
• สมบัติการบวก: ค่าคาดหมายของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของค่าคาดหมายของแต่ละตัวแปร: \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\) ซึ่งคุณสมบัตินี้เป็นจริงเสมอ ไม่ว่า \(X\) และ \(Y\) จะเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ก็ตาม!

ความแปรปรวนแบบไม่มีเงื่อนไข (Unconditional Variance)

ในขณะที่ค่าคาดหมายบอกให้เรารู้ถึงจุดศูนย์กลางของการแจกแจง ความแปรปรวน (Variance) จะวัดว่าผลลัพธ์ต่าง ๆ กระจายตัวออกจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด โดยแทนค่าความเบี่ยงเบนยกกำลังสองเฉลี่ยจากค่าคาดหมาย:

\(\sigma^2(X) = Var(X) = E\left([X - E(X)]^2\right) = \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) [x_i - E(X)]^2\)

ส่วน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) หรือ \(\sigma(X)\) คือรากที่สองที่เป็นบวกของความแปรปรวน: \(\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}\) ในโลกการเงิน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือมาตรวัดหลักของความเสี่ยงรวม (Total Risk) หรือความผันผวน (Volatility)

คุณสมบัติของความแปรปรวน:
• ความแปรปรวนของค่าคงที่เท่ากับศูนย์: \(Var(c) = 0\) (เพราะค่าคงที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงหรือกระจายตัว)
• การบวกค่าคงที่เข้าไปจะเลื่อนตำแหน่งกึ่งกลาง แต่ไม่ได้ทำให้การกระจายตัวเปลี่ยนไป: \(Var(X + c) = Var(X)\)
• การคูณด้วยค่าคงที่จะทำให้ความแปรปรวนเพิ่มขึ้นเป็นทวีคูณตามกำลังสองของค่าคงที่นั้น: \(Var(c X) = c^2 Var(X)\)

ความแปรปรวนร่วมและสหสัมพันธ์แบบไม่มีเงื่อนไข (Unconditional Covariance and Correlation)

ความแปรปรวนร่วม (Covariance) ใช้วัดระดับที่ตัวแปรสุ่มสองตัวเคลื่อนไหวไปในทิศทางเดียวกัน หากสินทรัพย์ \(X\) มักจะมีค่าสูงกว่าค่าเฉลี่ยเมื่อสินทรัพย์ \(Y\) อยู่สูงกว่าค่าเฉลี่ย ความแปรปรวนร่วมของทั้งคู่จะเป็นบวก แต่หากสินทรัพย์หนึ่งปรับตัวขึ้นในขณะที่อีกตัวหนึ่งปรับตัวลดลง ความแปรปรวนร่วมก็จะเป็นลบ

\(Cov(X, Y) = \sigma_{XY} = E\left([X - E(X)][Y - E(Y)]\right) = \sum_{i=1}^{n} P(x_i, y_i) [x_i - E(X)][y_i - E(Y)]\)

อีกหนึ่งสูตรทางเลือกที่นิยมใช้ในการคำนวณคือ:

\(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)

ข้อสังเกตคือ ความแปรปรวนร่วมของตัวแปรตัวหนึ่งกับตัวมันเอง ก็คือความแปรปรวนของตัวมันเองนั่นเอง: \(Cov(X, X) = Var(X)\)

เนื่องจากค่าความแปรปรวนร่วมจะขึ้นอยู่กับหน่วยวัดของตัวแปร เราจึงแปลงให้เป็นหน่วยมาตรฐานในรูปของ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (Correlation Coefficient) สัญลักษณ์คือ \(\rho(X, Y)\) หรือ \(Corr(X, Y)\):

\(\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)}\)

ค่าสหสัมพันธ์จะมีขอบเขตจำกัดชัดเจน: \(-1 \le \rho(X, Y) \le +1\) โดยค่า \(+1\) หมายถึงการเคลื่อนไหวไปในทิศทางเชิงเส้นเดียวกันอย่างสมบูรณ์, \(-1\) หมายถึงการเคลื่อนไหวสวนทางกันในเชิงเส้นอย่างสมบูรณ์ และ \(0\) หมายถึงไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นต่อกันเลย

ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ: ค่าคาดหมายคือผลลัพธ์เฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็น ความแปรปรวนวัดการกระจายตัวรอบจุดศูนย์กลางนั้น และความแปรปรวนร่วมวัดทิศทางรวมถึงระดับความแข็งแกร่งของการเคลื่อนไหวเชิงเส้นร่วมกันระหว่างสองสินทรัพย์

---

2. โมเมนต์หลักของการแจกแจงสำคัญทางการเงิน

ในทางสถิติ โมเมนต์ (Moments) ใช้เพื่ออธิบายรูปทรงและลักษณะของการแจกแจงความน่าจะเป็น โดยโมเมนต์รอบศูนย์กลาง 4 ลำดับแรก ได้แก่:
1. โมเมนต์ที่หนึ่ง (ค่าเฉลี่ย / ตำแหน่งที่ตั้ง - Mean / Location): ค่าคาดหมาย \(E(X)\)
2. โมเมนต์รอบศูนย์กลางที่สอง (ความแปรปรวน / การกระจายตัว - Variance / Dispersion): \(\sigma^2\)
3. โมเมนต์มาตรฐานที่สาม (ความเบ้ - Skewness): วัดระดับความไม่สมมาตร การแจกแจงที่สมมาตรจะมีความเบ้เท่ากับ 0 ส่วนความเบ้เชิงบวก (เบ้ขวา) จะมีหางยาวยื่นไปทางขวา และความเบ้เชิงลบ (เบ้ซ้าย) จะมีหางยาวยื่นไปทางซ้าย
4. โมเมนต์มาตรฐานที่สี่ (ความโด่ง - Kurtosis): วัดความแหลมของยอดและความหนาของหาง การแจกแจงแบบปกติจะมีความโด่งเท่ากับ 3 ส่วน ความโด่งส่วนเกิน (Excess Kurtosis) นิยามโดย \(\text{Kurtosis} - 3\) การแจกแจงที่มีความโด่งส่วนเกินมากกว่า 0 จะเรียกว่า Leptokurtic (หางหนา หรือมีโอกาสเกิดเหตุการณ์รุนแรงสูงกว่าปกติ) ซึ่งพบได้บ่อยมากในผลตอบแทนของสินทรัพย์ทางการเงิน

ก. การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง (Discrete Uniform Distribution)

ตัวแปรสุ่มที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เป็นจำนวนจำกัด และแต่ละผลลัพธ์มีโอกาสเกิดขึ้นเท่า ๆ กัน จะมีการแจกแจงแบบเอกรูปไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างคลาสสิกคือการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงแบบ 6 หน้า ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ \(x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) จะมีความน่าจะเป็น \(P(X = x) = \frac{1}{6}\)

ข. การแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง (Continuous Uniform Distribution)

ตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่องที่มีโอกาสเกิดผลลัพธ์เท่ากันตลอดช่วงที่กำหนด \([a, b]\) ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะมีค่าคงที่: \(f(x) = \frac{1}{b - a}\) สำหรับ \(a \le x \le b\)

โมเมนต์หลัก:
• ค่าเฉลี่ย: \(E(X) = \frac{a + b}{2}\)
• ความแปรปรวน: \(Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}\)
• ความเบ้: 0 (การแจกแจงมีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์รอบจุดกึ่งกลาง)

ค. การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution)

การแจกแจงทวินามใช้สร้างแบบจำลองจำนวนครั้งของ "ความสำเร็จ" \(x\) จากการทดลอง แบร์นุลลี (Bernoulli trials) ที่เป็นอิสระต่อกันจำนวน \(n\) ครั้ง โดยการทดลองแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียง 2 แบบเท่านั้น (สำเร็จ หรือ ล้มเหลว) และความน่าจะเป็นของความสำเร็จ \(p\) มีค่าคงที่ในทุกครั้งที่ทดลอง

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสำเร็จตรงเผง \(x\) ครั้งจากการทดลองทั้งหมด \(n\) ครั้ง คือ:

\(P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x} = \frac{n!}{x!(n - x)!} p^x (1 - p)^{n - x}\)

โมเมนต์หลัก:
• ค่าเฉลี่ย: \(E(X) = n p\)
• ความแปรปรวน: \(Var(X) = n p (1 - p)\)
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: \(\sigma = \sqrt{n p (1 - p)}\)

เทคนิคพิชิตข้อสอบ: ในแบบจำลองทางการเงิน แผนภาพต้นไม้ทวินาม (Binomial Tree) ถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในการจำลองการเคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์ทั้งทิศทางขาขึ้นและขาลงตามช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง

ง. การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)

การแจกแจงแบบปกติถือเป็นเสาหลักของทฤษฎีการเงินดั้งเดิม มีลักษณะต่อเนื่อง สมมาตร และเป็นรูประฆังคว่ำ ถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์ด้วยค่าพารามิเตอร์เพียงสองตัว ได้แก่ ค่าเฉลี่ย \(\mu\) และความแปรปรวน \(\sigma^2\) เขียนแทนด้วย \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)

คุณสมบัติสำคัญและโมเมนต์หลัก:
• ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม: ทั้งหมดมีค่าเท่ากันคือ \(\mu\)
• ความเบ้: 0 (สมมาตรอย่างสมบูรณ์)
• ความโด่ง: เท่ากับ 3 พอดี (ความโด่งส่วนเกินหรือ Excess Kurtosis เท่ากับ 0)
• การรวมเชิงเส้น: การรวมเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติและเป็นอิสระต่อกัน จะยังคงมีการแจกแจงแบบปกติเสมอ

การแจกแจงปกติมาตรฐาน (\(Z\)):
ตัวแปรที่มีการแจกแจงปกติใด ๆ \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) สามารถแปลงเป็นค่ามาตรฐานเพื่อให้มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 ได้ ด้วยการคำนวณหาค่าคะแนนมาตรฐาน (\(Z\)-score):

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)

กฎเชิงประจักษ์ (Empirical Rule หรือความน่าจะเป็นของช่วง):
• ข้อมูลประมาณ 68% จะตกอยู่ภายในช่วง \(\mu \pm 1\sigma\)
• ข้อมูลประมาณ 95% จะตกอยู่ภายในช่วง \(\mu \pm 1.96\sigma\) (หรือประมาณ \(\pm 2\sigma\))
• ข้อมูลประมาณ 99% จะตกอยู่ภายในช่วง \(\mu \pm 2.58\sigma\) (หรือประมาณ \(\pm 3\sigma\))

จ. การแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล (Lognormal Distribution)

ตัวแปรสุ่ม \(Y\) จะมี การแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล ถ้าค่าลอการิทึมธรรมชาติของมันคือ \(\ln(Y)\) มีการแจกแจงแบบปกติ: \(\ln(Y) \sim N(\mu, \sigma^2)\)

ทำไมการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัลจึงจำเป็นอย่างยิ่งสำหรับราคาสินทรัพย์?
• การแจกแจงปกติยอมให้ค่าติดลบได้ แต่ราคาสินทรัพย์ทางการเงินทั่วไป (เช่น หุ้น) มีหลักการ จำกัดความรับผิด (Limited Liability) ทำให้ราคาไม่สามารถต่ำกว่าศูนย์ได้
• การแจกแจงแบบล็อกนอร์มัลมีขอบเขตล่างจำกัดอยู่ที่ศูนย์ (\(Y > 0\)) จึงเหมาะอย่างยิ่งในการนำมาใช้จำลอง ราคาสินทรัพย์
• แม้ว่าผลตอบแทนทบต้นอย่างต่อเนื่องของสินทรัพย์จะสามารถติดลบได้และมักจะประมาณการด้วยการแจกแจงปกติ แต่ระดับราคาสินทรัพย์ที่เป็นผลลัพธ์นั้นจะมีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล
• ความเบ้: การแจกแจงแบบล็อกนอร์มัลจะมีความเบ้ขวา (เบ้เชิงบวก) โดยมีหางยาวยื่นไปทางขวา สะท้อนความจริงที่ว่าราคาสินทรัพย์สามารถเติบโตขึ้นไปได้ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ไม่สามารถลดลงต่ำกว่าศูนย์ได้

ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ: การแจกแจงปกติใช้อธิบายปรากฏการณ์ที่มีความสมมาตรและไม่มีความโด่งส่วนเกิน (มักใช้กับอัตราผลตอบแทน) ส่วนการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัลจะไม่ต่ำกว่าศูนย์และมีความเบ้ขวา จึงเหมาะกับการจำลองราคาสินทรัพย์

---

3. ค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมแบบมีเงื่อนไข

ในตลาดการเงิน คุณจะได้รับข้อมูลใหม่เข้ามาอยู่ตลอดเวลา ไม่ว่าจะเป็นรายงานตัวเลขเศรษฐกิจ มติอัตราดอกเบี้ย หรือผลประกอบการของบริษัท เมื่อมีข้อมูลใหม่เข้ามา ความคาดหวังของคุณย่อมเปลี่ยนไป ซึ่งนำไปสู่การคิดคำนวณโมเมนต์ แบบมีเงื่อนไข (Conditional Moments)

ค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไข (Conditional Expectation)

ค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไข ของตัวแปรสุ่ม \(X\) เมื่อทราบว่ามีเหตุการณ์หรือตัวแปร \(S\) เกิดขึ้นแล้ว จะเขียนแทนด้วย \(E(X \mid S)\) คำนวณได้จากการหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของ \(X\) โดยใช้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

กฎความน่าจะเป็นรวมสำหรับค่าคาดหมาย (Total Probability Rule for Expected Value):
หากชุดเหตุการณ์ \(S_1, S_2, \dots, S_k\) เป็นสภาวะเศรษฐกิจที่ไม่เกิดร่วมกันและครอบคลุมทุกกรณีที่เป็นไปได้ (เช่น เศรษฐกิจถดถอย, ปกติ, ขยายตัว) ค่าคาดหมายแบบไม่มีเงื่อนไขจะเท่ากับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขในทุก ๆ สภาวะเศรษฐกิจ:

\(E(X) = \sum_{j=1}^{k} P(S_j) E(X \mid S_j)\)

ตัวอย่างการคำนวณทีละขั้นตอน:
สมมติว่าคุณกำลังประเมินผลตอบแทนของหุ้น A ในปีหน้า ภายใต้สองสภาวะเศรษฐกิจ:
• สภาวะที่ 1 (เศรษฐกิจเฟื่องฟู - Boom): ความน่าจะเป็น \(P(S_1) = 0.40\), ผลตอบแทนคาดหวังแบบมีเงื่อนไข \(E(R_A \mid S_1) = 20\%\)
• สภาวะที่ 2 (เศรษฐกิจซบเซา - Bust): ความน่าจะเป็น \(P(S_2) = 0.60\), ผลตอบแทนคาดหวังแบบมีเงื่อนไข \(E(R_A \mid S_2) = 5\%\)

คำนวณโดยใช้กฎความน่าจะเป็นรวม:
\(E(R_A) = (0.40)(20\%) + (0.60)(5\%) = 8\% + 3\% = 11\%\)

ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข (Conditional Variance)

ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข หรือ \(Var(X \mid S)\) วัดความไม่แน่นอนหรือการกระจายตัวของ \(X\) เมื่อทราบว่าเหตุการณ์ \(S\) ได้เกิดขึ้นแล้ว:

\(Var(X \mid S) = E\left([X - E(X \mid S)]^2 \mid S\right)\)

ทั้งนี้ ความแปรปรวนรวมแบบไม่มีเงื่อนไขจะสะท้อนทั้งความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขที่คาดหวังภายในแต่ละสภาวะ และความแปรปรวนที่เกิดจากความต่างระหว่างค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขของแต่ละสภาวะ

ความแปรปรวนร่วมแบบมีเงื่อนไข (Conditional Covariance)

ในทำนองเดียวกัน ความแปรปรวนร่วมแบบมีเงื่อนไข ระหว่างสินทรัพย์สองตัว \(X\) และ \(Y\) ภายใต้สภาวะ \(S\) จะวัดว่าสินทรัพย์ทั้งสองเคลื่อนไหวร่วมกันอย่างไรภายในสภาวะที่ระบุนั้น:

\(Cov(X, Y \mid S) = E\left([X - E(X \mid S)][Y - E(Y \mid S)] \mid S\right)\)

รู้หรือไม่? ในช่วงที่เกิดวิกฤติตลาดการเงินอย่างรุนแรง ความแปรปรวนร่วมและสหสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขระหว่างสินทรัพย์เสี่ยงมักจะพุ่งสูงขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ ส่งผลให้ประโยชน์จากการกระจายความเสี่ยงลดลงในจังหวะที่นักลงทุนต้องการมันมากที่สุดพอดี!

ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ: โมเมนต์แบบไม่มีเงื่อนไขจะสะท้อนความคาดหมายก่อนที่เหตุการณ์ใด ๆ จะเกิดขึ้น ส่วนโมเมนต์แบบมีเงื่อนไขจะเป็นการปรับมุมมองความคาดหมายเมื่อเราทราบข้อมูลหรือสภาวะที่เฉพาะเจาะจงแล้ว

---

4. การปรับปรุงความน่าจะเป็นแบบเบย์ (Bayesian Updating)

หลักตรรกะของสูตรของเบย์ (Bayes' Formula)

การวิเคราะห์การลงทุนเป็นกระบวนการเรียนรู้และพัฒนาอย่างต่อเนื่อง คุณเริ่มต้นด้วยความเชื่อตั้งต้นเกี่ยวกับสภาวะเศรษฐกิจหรือผลงานของสินทรัพย์ จากนั้นเมื่อได้เห็นข้อมูลใหม่ คุณก็นำมาปรับปรุงความเชื่อเดิม สูตรของเบย์ จึงเป็นกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการสำหรับการอัปเดตความน่าจะเป็นดังกล่าว

คำศัพท์สำคัญที่ต้องแม่นยำ:
• ความน่าจะเป็นก่อนเหตุการณ์ (Prior Probability) \(P(A)\): ความน่าจะเป็นพื้นฐานตั้งต้นของเหตุการณ์ \(A\) ก่อนที่จะสังเกตพบข้อมูลใหม่
• ภาวะน่าจะเป็น / ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (Likelihood / Conditional Probability) \(P(B \mid A)\): ความน่าจะเป็นที่จะพบหลักฐานใหม่ \(B\) เมื่อเหตุการณ์ \(A\) เกิดขึ้นจริง
• ความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข (Unconditional Probability) \(P(B)\): ความน่าจะเป็นรวมที่จะพบหลักฐาน \(B\) จากทุกกรณีที่เป็นไปได้
• ความน่าจะเป็นหลังเหตุการณ์ (Posterior Probability) \(P(A \mid B)\): ความน่าจะเป็นที่ได้รับการปรับปรุงใหม่ของเหตุการณ์ \(A\) หลังจากพบว่าเกิดหลักฐาน \(B\) ขึ้นแล้ว

รูปแบบสูตรของเบย์

\(P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)}{P(B)} P(A)\)

เมื่อใช้กฎความน่าจะเป็นรวมเพื่อกระจายตัวส่วน \(P(B)\) ภายใต้สภาวะที่ไม่เกิดร่วมกันคือ \(A\) และ \(A^C\) (เหตุการณ์ที่ไม่ใช่ \(A\)):

\(P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B \mid A) P(A) + P(B \mid A^C) P(A^C)}\)

ขั้นตอนการคำนวณตามสูตรของเบย์ทีละขั้น

สถานการณ์ตัวอย่าง: ฝ่ายวิจัยหลักทรัพย์กำลังประเมินการคาดการณ์ผลกำไรของบริษัทจดทะเบียน
• นักวิเคราะห์แบ่งกลุ่มบริษัทเป็นกลุ่ม "กำไรเติบโตสูง" (\(H\)) หรือ "กำไรเติบโตต่ำ" (\(L\))
• จากสถิติในอดีต มีบริษัทเพียง \(30\%\) ที่ทำกำไรเติบโตสูงได้สำเร็จ: \(P(H) = 0.30\) ดังนั้น \(P(L) = 0.70\)
• ดัชนีชี้นำตัวหนึ่งส่งสัญญาณเชิงบวกออกมา (\(+\)):
- หากบริษัทนั้นเติบโตสูง สัญญาณจะออกมาเป็นบวกด้วยความน่าจะเป็น \(P(+ \mid H) = 0.80\)
- หากบริษัทนั้นเติบโตต่ำ สัญญาณจะส่งค่าบวกหลอก (False Positive) ด้วยความน่าจะเป็น \(P(+ \mid L) = 0.20\)
• คำถาม: หากสัญญาณออกมาเป็นบวก (\(+\)) ความน่าจะเป็นที่อัปเดตใหม่ (Posterior Probability) ว่าบริษัทนี้จะเป็นบริษัทที่เติบโตสูง \(P(H \mid +)\) มีค่าเท่าใด?

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณความน่าจะเป็นร่วม (Joint Probabilities) สำหรับองค์ประกอบของตัวเศษและตัวส่วน:
• กรณีเติบโตสูงและสัญญาณเป็นบวก: \(P(+ \mid H) P(H) = 0.80 \times 0.30 = 0.24\)
• กรณีเติบโตต่ำแต่สัญญาณส่งผลบวก: \(P(+ \mid L) P(L) = 0.20 \times 0.70 = 0.14\)

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณความน่าจะเป็นรวมแบบไม่มีเงื่อนไขที่สัญญาณจะออกมาเป็นบวก, \(P(+)\):
\(P(+) = 0.24 + 0.14 = 0.38\)

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณความน่าจะเป็นหลังเหตุการณ์ \(P(H \mid +)\):
\(P(H \mid +) = \frac{0.24}{0.38} \approx 0.6316 \text{ หรือ } 63.16\%\)

การแปลความหมาย: การสังเกตเห็นสัญญาณชี้นำเป็นบวก ช่วยอัปเดตความเชื่อมั่นของเรา จากเดิมที่มีความน่าจะเป็นตั้งต้นเพียง \(30\%\) พุ่งขึ้นมาเป็นความน่าจะเป็นใหม่ที่ประมาณ \(63.2\%\)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรระวัง

• สับสนระหว่าง \(P(B \mid A)\) กับ \(P(A \mid B)\): จำไว้เสมอว่าความน่าจะเป็นที่จะพบสัญญาณบวกเมื่อบริษัทเติบโตสูง (\(80\%\)) แตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับความน่าจะเป็นที่บริษัทจะเติบโตสูงเมื่อเราพบสัญญาณบวก (\(63.2\%\))
• ลืมกระจายตัวส่วน: ตรวจสอบให้แน่ใจเสมอว่าตัวส่วนได้รวมทุกช่องทางที่เหตุการณ์เงื่อนไขนั้นสามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมดแล้ว

ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ: สูตรของเบย์ช่วยปรับปรุงความเชื่อเดิม (Prior) ให้กลายเป็นความเชื่อใหม่หลังรับรู้ข้อมูล (Posterior) อย่างเป็นระบบเมื่อมีข้อมูลเชิงประจักษ์หรือสัญญาณใหม่ปรากฏขึ้น

---

สรุปเนื้อหาและทบทวนความเข้าใจอย่างรวดเร็ว

• ค่าคาดหมาย \(E(X)\): ค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นจากทุกเหตุการณ์ที่เป็นไปได้
• ความแปรปรวน \(\sigma^2\) และความแปรปรวนร่วม \(\sigma_{XY}\): ความแปรปรวนวัดการกระจายตัวออกจากค่าเฉลี่ย ส่วนความแปรปรวนร่วมวัดการเคลื่อนไหวไปในทิศทางเดียวกันในเชิงเส้นของสินทรัพย์สองตัว
• การแจกแจงแบบปกติ: กำหนดโดยสมบูรณ์ด้วย \(\mu\) และ \(\sigma^2\), สมมาตร (ความเบ้ = 0), ความโด่ง = 3 เหมาะกับการจำลองผลตอบแทน แต่อาจมีค่าติดลบได้
• การแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล: มีค่าไม่ต่ำกว่าศูนย์เสมอและมีความเบ้ขวา จึงเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการจำลองราคาสินทรัพย์
• กฎความน่าจะเป็นรวม: เชื่อมโยงค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขเข้ากับค่าคาดหมายแบบไม่มีเงื่อนไข: \(E(X) = \sum P(S_j) E(X \mid S_j)\)
• การปรับปรุงความน่าจะเป็นแบบเบย์: แปลงความน่าจะเป็นก่อนเหตุการณ์ \(P(A)\) ให้กลายเป็นความน่าจะเป็นหลังเหตุการณ์ \(P(A \mid B)\) โดยอาศัยความน่าจะเป็นของข้อมูลใหม่ที่ได้รับ