Linear Regression

ยินดีต้อนรับสู่โลกของ Linear Regression!

สวัสดีครับว่าที่ FRM ทุกท่าน! อย่าเพิ่งให้ชื่อ "Linear Regression" หรือการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นทำให้คุณรู้สึกหนักใจไปเลยครับ จริงๆ แล้วหัวใจสำคัญของบทนี้มีแค่เรื่องเดียวง่ายๆ คือ การหาความสัมพันธ์ ครับ ในโลกการเงิน เราพยายามหาคำตอบอยู่เสมอว่าสิ่งหนึ่ง (เช่น อัตราดอกเบี้ย) ส่งผลกระทบต่ออีกสิ่งหนึ่ง (เช่น ราคาพันธบัตร) อย่างไร Linear Regression คือเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้เราลาก "เส้นที่เหมาะสมที่สุด" (Line of best fit) ผ่านกลุ่มข้อมูลที่ดูยุ่งเหยิงเพื่อให้เห็นภาพชัดเจนว่าเกิดอะไรขึ้น ถ้าคุณเคยดูแผนภาพการกระจาย (Scatterplot) แล้วพยายามลากเส้นตรงผ่านกึ่งกลางของจุดเหล่านั้น นั่นแหละครับคือพื้นฐานของการทำ Regression แล้ว!

เมื่อจบเนื้อหาส่วนนี้ คุณจะเข้าใจวิธีสร้างแบบจำลองเหล่านี้ ความหมายที่แท้จริงของสัมประสิทธิ์ "Beta" และรู้วิธีดูว่าแบบจำลองของคุณเป็นเครื่องมือที่เชื่อถือได้ หรือเป็นแค่การเดาที่ฟลุ๊คถูกเท่านั้น

1. แบบจำลอง Linear Regression อย่างง่าย

ในการทำ Simple Linear Regression เราจะดูความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว คือ ตัวแปรตาม (Dependent Variable - \(Y\)) และ ตัวแปรอิสระ (Independent Variable - \(X\))

สมการ:
\( Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i \)

มาแยกย่อยสมการนี้ให้เข้าใจง่ายๆ กันครับ:
• \(Y_i\) (ตัวแปรตาม): คือสิ่งที่คุณต้องการพยากรณ์หรืออธิบาย (เช่น ผลตอบแทนของหุ้น)
• \(X_i\) (ตัวแปรอิสระ/ตัวแปรอธิบาย): คือปัจจัยที่คุณคิดว่ามีอิทธิพลต่อ \(Y\) (เช่น ผลตอบแทนของตลาด)
• \(\beta_0\) (จุดตัดแกนตั้ง): คือค่าของ \(Y\) ในกรณีที่ \(X\) เป็นศูนย์ ถ้าดูบนกราฟ นี่คือจุดที่เส้นตัดกับแกนตั้ง
• \(\beta_1\) (สัมประสิทธิ์ความชัน): นี่คือส่วนที่สำคัญที่สุด! มันบอกเราว่าถ้า \(X\) เปลี่ยนไป 1 หน่วย \(Y\) จะเปลี่ยนไปเท่าไหร่
• \(\epsilon_i\) (ค่าความคลาดเคลื่อน หรือ Error Term): คือ "สัญญาณรบกวน" ข้อมูลในโลกจริงไม่มีอะไรสมบูรณ์แบบ ค่านี้จึงแทนปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมดที่ส่งผลต่อ \(Y\) แต่เราไม่ได้รวมไว้ในแบบจำลอง

ตัวอย่างในโลกจริง: ลองคิดถึงคะแนนสอบ (\(Y\)) ที่ขึ้นอยู่กับจำนวนชั่วโมงที่อ่านหนังสือ (\(X\)) ค่า \(\beta_1\) จะบอกคุณว่าคุณจะได้คะแนนเพิ่มขึ้นกี่คะแนนต่อการอ่านหนังสือหนึ่งชั่วโมง ส่วนค่า \(\epsilon\) ก็คือปัจจัยอื่นๆ เช่น คุณนอนหลับมาพอไหม หรือห้องสอบเสียงดังแค่ไหน

สรุปใจความสำคัญ: Regression ช่วยให้เราวัดค่าได้อย่างแม่นยำว่าเมื่อตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนไป อีกตัวแปรหนึ่งจะเคลื่อนไหวตามไปมากน้อยเพียงใด

2. การประมาณค่าด้วยวิธี Ordinary Least Squares (OLS)

เราจะหาเส้นที่ "ดีที่สุด" ได้อย่างไร? เราใช้วิธีที่เรียกว่า Ordinary Least Squares (OLS) ครับ ถ้ารู้สึกยากในตอนแรกไม่ต้องกังวลนะ แนวคิดมันเป็นธรรมชาติมากครับ

OLS พยายามหาเส้นที่ทำให้ ผลรวมของระยะห่างในแนวตั้งที่ยกกำลังสอง ระหว่างจุดข้อมูลจริงกับเส้นกราฟมีค่าน้อยที่สุด เราต้องยกกำลังสองระยะห่างเพราะเราไม่ต้องการให้ค่าความคลาดเคลื่อนที่เป็นบวกและลบมาหักล้างกันเอง เราต้องการลงโทษทุกครั้งที่เส้นของเรา "พลาด" จากจุดข้อมูลครับ

สูตร (สำหรับอ้างอิง):
ค่าประมาณของความชัน (\(\hat{\beta}_1\)) คำนวณได้ดังนี้:
\( \hat{\beta}_1 = \frac{Cov(X, Y)}{Var(X)} \)
ค่าประมาณของจุดตัดแกนตั้ง (\(\hat{\beta}_0\)) คำนวณได้ดังนี้:
\( \hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} \)

ทบทวนสั้นๆ: OLS ให้เส้นที่ "เหมาะสมที่สุด" (Best Fit) โดยการลดค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองให้เหลือน้อยที่สุด และเส้นนี้จะผ่านจุดค่าเฉลี่ยของ \(X\) และค่าเฉลี่ยของ \(Y\) เสมอ

3. กฎเหล็ก: ข้อสมมติของ OLS

เพื่อให้ OLS ให้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้ (หรือที่เรียกว่า "Best Linear Unbiased Estimator" หรือ BLUE) จะต้องเป็นไปตามกฎบางประการ หากกฎเหล่านี้ถูกละเมิด แบบจำลองของเราอาจโกหกเราได้!

1. ความเป็นเส้นตรง (Linearity): ความสัมพันธ์ระหว่าง \(X\) และ \(Y\) ต้องเป็นเส้นตรง
2. การสุ่มตัวอย่าง (Random Sampling): ข้อมูลต้องเป็นตัวแทนที่ดีของประชากร
3. ไม่มีความสัมพันธ์กันเองที่สมบูรณ์ (No Perfect Collinearity): \(X\) ต้องมีความผันแปร ถ้า \(X\) เป็นเลขเดิมตลอด เราจะมองไม่ออกว่ามันส่งผลต่อ \(Y\) อย่างไร
4. ความเป็นอิสระจากตัวแปรอื่น (Exogeneity): ค่าความคลาดเคลื่อนต้องไม่สัมพันธ์กับ \(X\) ซึ่งหมายถึง \(E(\epsilon | X) = 0\) หากละเมิดข้อนี้ จะเกิดปัญหา Omitted Variable Bias หรือการตัดตัวแปรสำคัญออกไป
5. ความแปรปรวนคงที่ (Homoskedasticity): "การกระจาย" หรือความแปรปรวนของค่าความคลาดเคลื่อนควรคงที่ในทุกค่าของ \(X\)

คุณรู้หรือไม่? หากข้อสมมติเหล่านี้เป็นจริง ตัวประมาณค่า OLS จะถือว่ามีประสิทธิภาพสูงสุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เราเรียกสิ่งนี้ว่า ทฤษฎีบทกอสส์-มาร์คอฟ (Gauss-Markov Theorem)

4. Goodness of Fit: แบบจำลองของเราดีแค่ไหน?

เมื่อเราได้เส้นมาแล้ว เราต้องรู้ว่ามันอธิบายข้อมูลได้ดีแค่ไหน เราใช้ สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ (Coefficient of Determination หรือ \(R^2\)) ในการวัดครับ

ทำความเข้าใจ \(R^2\):
\(R^2\) บอกเราว่าสัดส่วนของความผันผวนใน \(Y\) อธิบายได้ด้วย \(X\) เป็นกี่เปอร์เซ็นต์
• ถ้า \(R^2\) เท่ากับ 0.80 หมายความว่าการเคลื่อนไหวของ \(Y\) 80% ถูกอธิบายโดยแบบจำลองของเรา
• \(R^2\) จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ

สูตร:
\( R^2 = \frac{Explained Sum of Squares (ESS)}{Total Sum of Squares (TSS)} \)
หรือ: \( 1 - \frac{Sum of Squared Residuals (SSR)}{TSS} \)

เทคนิคช่วยจำ: ลองนึกภาพ TSS เป็น "พิซซ่าทั้งถาด" ESS คือส่วนของพิซซ่าที่คุณกินเข้าไปจริงๆ (ส่วนที่อธิบายได้) และ SSR คือขอบพิซซ่าที่เหลือทิ้งไว้ (ความคลาดเคลื่อนที่อธิบายไม่ได้)

5. การทดสอบสมมติฐาน: ความสัมพันธ์นี้มีอยู่จริงไหม?

เพียงเพราะเราหาค่าความชัน (\(\beta_1\)) ได้ ไม่ได้หมายความว่ามันเป็นความจริงเสมอไป มันอาจเกิดจากโชคช่วยในการสุ่มตัวอย่างขนาดเล็กของเราก็ได้ เราจึงต้องใช้ t-test เพื่อตรวจสอบ

ขั้นตอนการทดสอบ:
1. ตั้งสมมติฐานว่าง (Null Hypothesis - \(H_0\)): โดยปกติเราจะตั้งสมมติฐานว่า \(\beta_1 = 0\) (หมายความว่า \(X\) ไม่มีผลต่อ \(Y\))
2. คำนวณค่าสถิติ t (t-statistic):
\( t = \frac{\hat{\beta}_1 - Hypothesized Value}{Standard Error of \hat{\beta}_1} \)
3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต (Critical Value): ถ้าค่าสัมบูรณ์ของ t-stat ของคุณ มากกว่า ค่าวิกฤต (มักจะอยู่ที่ประมาณ 2.0 สำหรับระดับนัยสำคัญ 5%) แสดงว่าคุณ ปฏิเสธสมมติฐานว่าง (Reject the Null) ได้เลย!

คำสำคัญ: p-value คือความน่าจะเป็นที่เราจะเห็นผลลัพธ์นี้ถ้าสมมติฐานว่างเป็นจริง p-value ที่ต่ำ (ปกติ < 0.05) หมายความว่าความสัมพันธ์นั้น "มีนัยสำคัญทางสถิติ"

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: อย่าสับสนระหว่าง นัยสำคัญทางสถิติ (Statistical Significance) กับ นัยสำคัญทางเศรษฐศาสตร์ (Economic Significance) ตัวแปรหนึ่งอาจมีนัยสำคัญทางสถิติ (p < 0.05) แต่มีความชัน (\(\beta_1\)) ที่น้อยมากจนไม่ส่งผลกระทบใดๆ ในโลกการเงินจริงๆ

6. ช่วงความเชื่อมั่น (Confidence Intervals)

แทนที่จะให้ตัวเลขเพียงค่าเดียว เรามักจะให้เป็นช่วงของค่าที่น่าจะเป็นไปได้ ซึ่งเรียกว่า ช่วงความเชื่อมั่น (Confidence Interval)

สูตร:
\( \hat{\beta}_1 \pm (t_{critical} \times SE_{\hat{\beta}_1} \)

ถ้าเราต้องการช่วงความเชื่อมั่น 95% หมายความว่าเรามั่นใจ 95% ว่าค่าพารามิเตอร์จริงของประชากรจะอยู่ในช่วงนี้ หากช่วงที่คำนวณได้มี ศูนย์ รวมอยู่ด้วย แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่มีนัยสำคัญทางสถิติครับ!

ตารางสรุปสั้นๆ:
• t-stat สูง (> 2): ความสัมพันธ์มีนัยสำคัญ
• p-value ต่ำ (< 0.05): ความสัมพันธ์มีนัยสำคัญ
• ช่วงความเชื่อมั่นครอบคลุมเลข 0: ไม่มีความสัมพันธ์ที่มีนัยสำคัญ

บทสรุป

Linear regression คือกระดูกสันหลังของการเงินเชิงปริมาณ ไม่ว่าคุณจะคำนวณ "Beta" ของหุ้นหรือพยายามพยากรณ์เงินเฟ้อ คุณกำลังใช้เครื่องมือเหล่านี้อยู่ครับ จำไว้ว่า OLS ช่วยลดค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสอง, \(R^2\) ช่วยวัดความเหมาะสมของแบบจำลอง และ t-test ช่วยตรวจสอบนัยสำคัญ หากจำหลักการสามข้อนี้ไว้ได้ คุณจะทำข้อสอบ FRM ในส่วนนี้ได้อย่างสบายแน่นอนครับ!