The Black-Scholes-Merton Model

บทนำ: ยินดีต้อนรับสู่แบบจำลอง BSM!

สวัสดีว่าที่ FRM ทุกคน! ยินดีต้อนรับเข้าสู่หัวข้อที่โด่งดังที่สุดหัวข้อหนึ่งในโลกการเงิน นั่นก็คือ แบบจำลอง Black-Scholes-Merton (BSM) หากคุณเคยสงสัยว่าเหล่าเทรดเดอร์เขารู้ได้อย่างไรว่าออปชัน (Option) หนึ่งตัวมีมูลค่าเท่าไหร่กันแน่ คุณมาถูกที่แล้วล่ะ

แม้ว่าสูตรต่างๆ อาจจะดูน่ากลัวในตอนแรก แต่ไม่ต้องกังวลไป! เราจะค่อยๆ ย่อยมันออกมาทีละส่วน ให้มองว่าแบบจำลอง BSM เหมือนกับ "ตาชั่งในห้องครัวทางการเงิน" ครับ เปรียบเหมือนเวลาที่คุณใช้ตาชั่งตวงวัตถุดิบเพื่ออบเค้กให้ออกมาสมบูรณ์แบบ แบบจำลอง BSM ก็ช่วยให้เรา "ตวง" ปัจจัยต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น เวลา, ความผันผวน (Volatility), และอัตราดอกเบี้ย เพื่อหา "ราคาที่ยุติธรรม" ของออปชันนั้นเอง มาเริ่มกันเลย!

1. ทำความเข้าใจพฤติกรรมราคาหุ้น

ก่อนที่เราจะกำหนดราคาออปชันได้ เราต้องเข้าใจก่อนว่าราคาหุ้นเคลื่อนไหวอย่างไร โดยแบบจำลอง BSM ได้ตั้งสมมติฐานสำคัญ 2 ประการเกี่ยวกับผลตอบแทนและราคา:

1. ผลตอบแทนแบบต่อเนื่องมีการกระจายตัวแบบปกติ (Normally Distributed): เราสมมติว่าผลตอบแทนที่ทบต้นแบบต่อเนื่อง (Continuously Compounded Returns) จะมีรูปร่างเป็นกราฟระฆังคว่ำ (Normal Distribution)
2. ราคาหุ้นมีการกระจายตัวแบบล็อกปกติ (Lognormally Distributed): นี่เป็นวิธีพูดสวยหรูที่สื่อว่า ราคาหุ้นไม่มีทางติดลบ และราคามี "หางยาว" ไปทางขวา (หมายความว่าราคาหุ้นสามารถสูงขึ้นไปได้เรื่อยๆ โดยไม่มีขีดจำกัด)

ทบทวนสั้นๆ: ทำไมต้องเป็น Lognormal?

ลองจินตนาการถึงหุ้นที่ซื้อขายกันอยู่ที่ 100 ดอลลาร์ มันสามารถขึ้นไปถึง 200, 500 หรือ 1,000 ดอลลาร์ได้ แต่ไม่มีทางที่ราคาจะลงไปถึง -50 ดอลลาร์แน่นอน หากใช้การกระจายตัวแบบ Normal Distribution ปกติ จะทำให้ราคาติดลบได้ ซึ่งในโลกความเป็นจริงมันเป็นไปไม่ได้ การกระจายตัวแบบ Lognormal จึงเข้ามาแก้ปัญหานี้โดยการจำกัดไม่ให้ราคาต่ำกว่าศูนย์นั่นเอง

ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ: ผลตอบแทนมีการกระจายตัวแบบ Normal; แต่ราคาหุ้นมีการกระจายตัวแบบ Lognormal

2. สมมติฐานหลักของ BSM

เพื่อให้คณิตศาสตร์ทำงานได้อย่างแม่นยำ แบบจำลอง BSM จึงสมมติว่าเราอยู่ใน "โลกที่สมบูรณ์แบบ" แม้ในความเป็นจริงโลกจะไม่สมบูรณ์แบบขนาดนั้น แต่สมมติฐานเหล่านี้ก็ให้จุดเริ่มต้นที่แข็งแกร่งมาก:

• ไม่มีต้นทุนธุรกรรม (No Transaction Costs): ไม่มีการคิดค่าคอมมิชชันหรือภาษี
• ซื้อขายได้ต่อเนื่อง (Continuous Trading): คุณสามารถซื้อหรือขายหุ้นจำนวนเท่าใดก็ได้ (ทศนิยม) ในเวลาใดก็ได้
• ความผันผวนคงที่ (Constant Volatility): ค่าความเสี่ยง (\(\sigma\)) ของหุ้นจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดอายุของออปชัน
• อัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยงคงที่ (Risk-Free Rate is Constant): อัตราดอกเบี้ย (\(r\)) จะคงที่ตลอดเวลา
• ไม่มีการเก็งกำไรส่วนต่าง (No Arbitrage): ไม่มี "ของฟรี" ให้เก็บตกในตลาด
• การเคลื่อนที่แบบ Geometric Brownian Motion: นี่คือชื่อเรียกทางคณิตศาสตร์ของเส้นทางราคาหุ้นที่สุ่มขึ้นลงแบบซิกแซก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: นักเรียนมักลืมไปว่าแบบจำลอง BSM พื้นฐานสมมติว่า ไม่มีการจ่ายเงินปันผล ตลอดอายุของออปชัน (เราจะปรับเรื่องปันผลในภายหลัง!)

3. สูตร Black-Scholes-Merton

สูตรนี้ใช้คำนวณราคาของออปชันแบบยุโรป (European-style) อย่าให้สัญลักษณ์ต่างๆ มาทำให้คุณกลัวเลย เราจะมาอธิบายความหมายกันทีละตัว

สูตร Call Option:

\( c = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \)

สูตร Put Option:

\( p = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1) \)

โดยที่:

• \( S_0 \): ราคาหุ้นปัจจุบัน
• \( K \): ราคาใช้สิทธิ (Strike Price)
• \( r \): อัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยง (ทบต้นแบบต่อเนื่อง)
• \( T \): เวลาจนกว่าจะหมดอายุ (หน่วยเป็นปี)
• \( N(x) \): ค่าความน่าจะเป็นสะสมของการกระจายตัวแบบปกติ (โอกาสที่ค่าจะน้อยกว่า \(x\))

แล้ว \( d_1 \) กับ \( d_2 \) คืออะไร?

ค่าเหล่านี้คือการคำนวณขั้นกลาง คุณไม่จำเป็นต้องจำวิธีพิสูจน์ที่มาของมัน แต่คุณควรรู้วิธีนำไปใช้:

\( d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} \)

\( d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \)

คุณรู้หรือไม่? ค่า \( N(d_1) \) จริงๆ แล้วก็คือ Delta ของ Call Option นั่นเอง มันบอกคุณว่าราคาออปชันจะเปลี่ยนไปเท่าไหร่หากราคาหุ้นขยับไป 1 ดอลลาร์ ส่วน \( N(d_2) \) คือความน่าจะเป็นที่ออปชันจะถูกนำมาใช้สิทธิในโลกที่ไม่มีความเสี่ยง (Risk-neutral world)

4. สัญชาตญาณ: ทำไมสูตรถึงหน้าตาเป็นแบบนี้?

ลองดูสูตร Call อีกครั้ง: \( c = [S_0 N(d_1)] - [K e^{-rT} N(d_2)] \)

จริงๆ แล้วมันคือการลบกันง่ายๆ ระหว่าง "ผลประโยชน์" กับ "ต้นทุน":

1. ผลประโยชน์: \( S_0 N(d_1) \) คือมูลค่าที่คาดหวังของหุ้นที่คุณจะได้รับหากคุณใช้สิทธิ
2. ต้นทุน: \( K e^{-rT} N(d_2) \) คือมูลค่าปัจจุบันของราคาใช้สิทธิที่คุณต้องจ่ายเพื่อแลกกับหุ้นนั้น

เปรียบเทียบ: ลองนึกว่าคุณมีคูปองสำหรับซื้อพิซซ่าในราคา 10 ดอลลาร์ในอีกหนึ่งเดือนข้างหน้า มูลค่าของคูปองใบนี้ในวันนี้ ก็คือมูลค่าปัจจุบันของพิซซ่าลบด้วยเงิน 10 ดอลลาร์ที่คุณต้องจ่าย โดยปรับตามความน่าจะเป็นที่คุณจะอยากกินพิซซ่าจริงๆ ในอีกหนึ่งเดือนข้างหน้า!

5. การปรับปรุงสำหรับเงินปันผล

หากหุ้นมีการจ่ายเงินปันผล หุ้นนั้นจะมีความน่าสนใจน้อยลงสำหรับผู้ถือ Call Option (เพราะพวกเขาไม่ได้เงินปันผล) และน่าสนใจมากขึ้นสำหรับผู้ถือ Put Option ในแบบจำลอง BSM เราจัดการเรื่องนี้โดยการแทนที่ราคาหุ้น \( S_0 \) ด้วยราคาที่ "ปรับปรุงด้วยเงินปันผล" แล้ว

หากมีอัตราการจ่ายเงินปันผลต่อเนื่อง (\(q\)) สูตรจะเปลี่ยน \( S_0 \) เป็น: \( S_0 e^{-qT} \)

เทคนิคช่วยจำ: เงินปันผล (Dividends) จะทำให้ราคาหุ้น ลดลง (Drop) ในเมื่อผู้ถือ Call อยากให้ราคาหุ้นขึ้น เงินปันผลจึงเป็น ผลลบ สำหรับ Call และเป็น ผลดี สำหรับ Put

ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ: ในการปรับปรุงเรื่องเงินปันผล ให้หามูลค่าปัจจุบันของเงินปันผลออกจากราคาหุ้นปัจจุบันก่อนนำไปใส่ในสูตร BSM

6. ใบสำคัญแสดงสิทธิ (Warrants) กับ ออปชัน (Options)

ข้อสอบ FRM มักจะถามเกี่ยวกับ Warrants อยู่เป็นระยะ แม้มันจะดูเหมือนออปชัน แต่มันมีจุดต่างที่สำคัญมากข้อหนึ่ง คือ: การเจือจางหุ้น (Dilution)

• Options: ซื้อขายกันระหว่างนักลงทุนสองราย ไม่มีการสร้างหุ้นใหม่เกิดขึ้น
• Warrants: ออกโดยบริษัทโดยตรง เมื่อมีการใช้สิทธิใน Warrants บริษัทจะ ออกหุ้นใหม่

เนื่องจากมีการออกหุ้นใหม่ มูลค่ารวมของบริษัทจึงถูกกระจายออกไปในจำนวนหุ้นที่มากขึ้น ซึ่งจะกดราคาหุ้นให้ต่ำลงเล็กน้อย นี่คือ ผลกระทบจากการเจือจาง (Dilution Effect) ในการตีราคา Warrant คุณจะต้องนำราคา BSM มาคูณกับตัวคูณการเจือจาง (Dilution factor)

7. ความผันผวน: วัตถุดิบลับ

ความผันผวน (\(\sigma\)) คือตัวแปรเดียวในแบบจำลอง BSM ที่เราไม่สามารถสังเกตเห็นได้โดยตรงในตลาด เรามีวิธีหาค่านี้อยู่ 2 วิธี:

ความผันผวนในอดีต (Historical Volatility)

เราดูราคาหุ้นย้อนหลัง (เช่น 90 วันที่ผ่านมา) และคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) ของผลตอบแทน เหมือนกับการดูประวัติการขับรถของคนขับเพื่อเดาว่าพรุ่งนี้เขาจะขับรถเป็นอย่างไร

ความผันผวนโดยนัย (Implied Volatility - IV)

นี่คือแนวทางแบบ "มองไปข้างหน้า" เรานำ ราคาตลาดปัจจุบัน ของออปชันมาคำนวณย้อนกลับผ่านสูตร BSM เพื่อหาว่าค่า \(\sigma\) เท่าไหร่ที่จะทำให้สูตรออกมาเท่ากับราคาตลาด
ตัวอย่าง: หากออปชันมีราคาซื้อขายที่ 5 ดอลลาร์ เราก็นำเลข 5 ไปใส่ในฝั่ง "ราคา" ของสูตร BSM แล้วแก้สมการหาค่า \(\sigma\)

สรุปกล่องความรู้:
- ความผันผวนสูงขึ้น = ราคาออปชันสูงขึ้น (ทั้ง Call และ Put)
- Implied Volatility คือสิ่งที่ตลาดเห็นตรงกันเกี่ยวกับความเสี่ยงในอนาคต

8. บทสรุปและเคล็ดลับสุดท้าย

แบบจำลอง BSM คือเสาหลักของหลักสูตร FRM สิ่งที่คุณต้องจำให้แม่นคือ:

• Log-normality: ราคาเป็น Lognormal; ผลตอบแทนเป็น Normal
• ส่วนประกอบของสูตร: \( N(d_1) \) คือ Delta; \( N(d_2) \) คือความน่าจะเป็นที่จะเกิดการใช้สิทธิ
• ตัวแปร (Inputs): \( S, K, r, T, \sigma \). มีเพียง \(\sigma\) เท่านั้นที่สังเกตไม่ได้โดยตรง
• เงินปันผล: ทำให้ราคาหุ้นที่ใช้ในสูตรลดลง
• Warrants: ทำให้เกิดการเจือจางหุ้น; แต่ออปชันปกติไม่ทำให้เกิด

ให้กำลังใจทิ้งท้าย: ไม่ต้องกังวลหากสูตร \( d_1 \) ดูยุ่งเหยิง! คำถามสอบส่วนใหญ่จะเน้นไปที่ ตรรกะ และ ความสัมพันธ์ (เช่น "ราคา Call จะเกิดอะไรขึ้นถ้าความผันผวนเพิ่มขึ้น?") มากกว่าการให้คุณมานั่งกดเครื่องคิดเลขคำนวณค่าล็อกธรรมชาติซับซ้อนด้วยมือ ให้เน้นที่ความเข้าใจเชิงสัญชาตญาณก่อน แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้นเอง!