Apply formulae for the means and variances of the payments under various assurance and annuity contracts, assuming a constant deterministic interest rate

ยินดีต้อนรับสู่โลกแห่งมูลค่าทางคณิตศาสตร์ประกันภัย!

สวัสดีครับ! ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้วิธีการคำนวณ Expected Present Value (EPV) ซึ่งก็คือ "มูลค่าปัจจุบันคาดหวัง" หรือถ้ามองง่ายๆ คือต้นทุนเฉลี่ย และ ความแปรปรวน (Variance) ซึ่งก็คือความเสี่ยงหรือการกระจายตัวของสัญญาประกันภัยและเงินบำนาญประเภทต่างๆ ครับ

ลองจินตนาการว่านี่คือสะพานที่เชื่อมระหว่างความน่าจะเป็นกับการเงินครับ เราทราบดีว่าคนเราอาจจะมีชีวิตอยู่หรือเสียชีวิตได้ (ความน่าจะเป็น) และเราก็ทราบด้วยว่าเงินมีมูลค่าตามเวลา (อัตราดอกเบี้ย) เมื่อเรานำทั้งสองอย่างนี้มารวมกัน เราก็จะสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำว่าบริษัทประกันภัยต้องสำรองเงินไว้เท่าไหร่ในวันนี้ เพื่อจ่ายเป็นผลประโยชน์ในอนาคต ถ้าช่วงแรกดูยาก ไม่ต้องกังวลนะ เราจะค่อยๆ เจาะลึกไปทีละขั้นตอนครับ!

1. แนวคิดหลัก: ตัวแปรสุ่ม (Random Variables)

ในวิชา CM1 เราไม่ได้ดูแค่การจ่ายเงินคงที่เท่านั้น เนื่องจากเราไม่ทราบแน่นอนว่าใครจะเสียชีวิตเมื่อไหร่ มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายเงินจึงถือเป็น ตัวแปรสุ่ม (Random Variable)

• สำหรับการประกันชีวิต (Life Assurances) เรามักจะแทนตัวแปรสุ่มของมูลค่าปัจจุบันด้วย \(Z\)
• สำหรับเงินรายปีตลอดชีพ (Life Annuities) เรามักจะแทนตัวแปรสุ่มของมูลค่าปัจจุบันด้วย \(Y\)

เป้าหมายของเราคือการหา ค่าเฉลี่ย (Mean) หรือค่าคาดหวัง (\(E[Z]\) หรือ \(E[Y]\)) และ ความแปรปรวน (Variance) (\(Var(Z)\) หรือ \(Var(Y)\))

ทบทวนความรู้พื้นฐาน: นิยามที่ต้องจำ

ก่อนที่เราจะเริ่มลุยกัน มาทบทวนเครื่องมือสำคัญสองสามอย่างนี้ก่อนครับ:

\(v\): ตัวคูณลดค่า (Discount factor), \(v = (1+i)^{-1}\)
\(d\): อัตราลดค่า (Discount rate), \(d = i / (1+i) = 1 - v\)
\(\delta\): แรงดอกเบี้ย (Force of interest), \(\delta = \ln(1+i)\)

2. การประกันชีวิต: ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

การประกันชีวิตจะจ่ายเงินก้อนเมื่อผู้เอาประกันภัยเสียชีวิต ซึ่งเหตุการณ์นี้อาจเกิดขึ้นในปีหน้า อีก 10 ปีข้างหน้า หรืออีก 50 ปีข้างหน้าก็ได้!

ค่าเฉลี่ย (Expected Present Value - EPV)

EPV คือผลรวมของ (ความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตในปีที่กำหนด) \(\times\) (มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายเงินหากเสียชีวิตในปีนั้น)

สัญลักษณ์ที่พบบ่อย:
- \(A_x\): ประกันชีวิตตลอดชีพ (Whole Life Assurance) จ่ายเงิน ณ สิ้นปีที่เสียชีวิต
- \(\bar{A}_x\): ประกันชีวิตตลอดชีพ (Whole Life Assurance) จ่ายเงินทันที ณ ขณะที่เสียชีวิต
- \(A_{x:\bar{n}|}^1\): ประกันชีวิตแบบชั่วระยะเวลา (Term Assurance) จ่ายเงินเฉพาะกรณีเสียชีวิตภายใน \(n\) ปี

ความแปรปรวน (กฎเลข 2)

ในการหาความแปรปรวนของการประกันชีวิต เราใช้สูตรมาตรฐานคือ: \(Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2\)
แต่เราจะหา \(E[Z^2]\) ได้อย่างไร?

เทคนิคทางคณิตศาสตร์ประกันภัย: ในการคำนวณโมเมนต์อันดับสอง (\(E[Z^2]\)) คุณแค่ใช้สูตร EPV มาตรฐานแล้ว เพิ่มแรงดอกเบี้ยเป็นสองเท่า (หรือใช้ตัวคูณลดค่ากำลังสอง \(v^2\)) ในทางประกันภัยเราจะเขียนสัญลักษณ์นี้ว่า \({}^2A_x\)

สูตร:
\(Var(Z) = {}^2A_x - (A_x)^2\)

เปรียบเทียบ: ลองนึกถึงการจับรางวัลที่รางวัลยังคงเท่าเดิม แต่ "อัตราดอกเบี้ย" ของโชคของคุณเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า นั่นแหละคือวิธีที่เราคำนวณโมเมนต์อันดับสองครับ!

จุดสำคัญที่ต้องจำ:

สำหรับสัญญาประกันชีวิตทุกประเภท ความแปรปรวนจะมีค่าเท่ากับ "EPV ที่คำนวณด้วยแรงดอกเบี้ยสองเท่า" ลบด้วย "EPV ยกกำลังสอง"

3. เงินรายปีตลอดชีพ: ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

เงินรายปีคือการจ่ายเงินเป็นงวดๆ ในขณะที่บุคคลนั้นยังมีชีวิตอยู่ (เช่น บำนาญ) สิ่งนี้ต่างจากการประกันชีวิตอย่างมากเพราะการจ่ายเงินจะ หยุดลง เมื่อบุคคลนั้นเสียชีวิต

ค่าเฉลี่ย (EPV)

เราใช้สัญลักษณ์ \(a_x\) (สำหรับการจ่าย ณ สิ้นปี) หรือ \(\ddot{a}_x\) (สำหรับการจ่าย ณ ต้นปี)

ความสัมพันธ์ทองคำ:
มีความสัมพันธ์อันโด่งดังระหว่างเงินรายปีและการประกันชีวิตที่คุณ ต้อง จำให้ได้:
\(\ddot{a}_x = \frac{1 - A_x}{d}\) (กรณีไม่ต่อเนื่อง - Discrete)
\(\bar{a}_x = \frac{1 - \bar{A}_x}{\delta}\) (กรณีต่อเนื่อง - Continuous)

ความแปรปรวนของเงินรายปี

การคำนวณความแปรปรวนของเงินรายปีโดยตรงนั้นยาก เราจึงใช้ความสัมพันธ์ด้านบนเข้ามาช่วย เนื่องจากส่วนเดียวที่เป็น "สุ่ม" ของเงินรายปีคือเวลาที่เสียชีวิต (ซึ่ง \(A_x\) ได้วัดไว้อยู่แล้ว) เราจึงสามารถแปลงความแปรปรวนของการประกันชีวิตมาเป็นความแปรปรวนของเงินรายปีได้

สูตร:
\(Var(Y) = \frac{1}{d^2} [^2A_x - (A_x)^2]\) (กรณีไม่ต่อเนื่อง)
\(Var(Y) = \frac{1}{\delta^2} [^2\bar{A}_x - (\bar{A}_x)^2]\) (กรณีต่อเนื่อง)

รู้หรือไม่? ความแปรปรวนของเงินรายปี ก็คือความแปรปรวนของการประกันชีวิตตัวเดียวกัน หารด้วยอัตราลดค่ากำลังสองนั่นเอง! วิธีนี้ช่วยให้คุณไม่ต้องเริ่มคำนวณใหม่ทั้งหมดตั้งแต่ต้น

4. ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาความแปรปรวน

หากโจทย์ถามหาความแปรปรวนของการประกันชีวิตตลอดชีพสำหรับ \( (x) \):

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณ EPV ที่อัตราดอกเบี้ย \(i\) ที่กำหนด ค่านี้คือ \(A_x\)
ขั้นตอนที่ 2: ดูค่าแรงดอกเบี้ย \(\delta\) (หรือตัวคูณลดค่า \(v\)) ให้ทำการคูณ \(\delta\) ด้วย 2 (หรือยกกำลังสองค่า \(v\)) เพื่อหาอัตราดอกเบี้ย "ใหม่"
ขั้นตอนที่ 3: คำนวณ EPV อีกครั้งโดยใช้ดอกเบี้ย "ใหม่" นี้ ค่านี้คือ \({}^2A_x\)
ขั้นตอนที่ 4: แทนค่าในสูตร: \(Var(Z) = {}^2A_x - (A_x)^2\)

5. ข้อผิดพลาดที่ควรหลีกเลี่ยง

1. ลืมยกกำลังสองค่า EPV: นักศึกษามักจะคำนวณเป็น \({}^2A_x - A_x\) จำไว้ว่าสูตรต้องการ กำลังสอง ของโมเมนต์อันดับหนึ่งนั่นคือ \((A_x)^2\)
2. ใช้ค่า "d" ผิดตัว: เมื่อคำนวณความแปรปรวนของเงินรายปี ต้องแน่ใจว่าใช้ค่า \(d\) เดิม (ที่ขึ้นกับ \(i\)) ไม่ใช่ค่าที่คูณสองแล้ว
3. สับสนระหว่างกรณีต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง: ตรวจสอบเสมอว่าการจ่ายเงินเป็นแบบ "ทันที" (\(\bar{A}\)) หรือ " ณ สิ้นปี" (\(A\))

6. ตารางสรุปสำหรับทบทวนเร็วๆ

การประกันชีวิตตลอดชีพ:
ค่าเฉลี่ย: \(A_x\)
ความแปรปรวน: \({}^2A_x - (A_x)^2\)

เงินรายปีตลอดชีพ (จ่ายต้นปี):
ค่าเฉลี่ย: \(\frac{1 - A_x}{d}\)
ความแปรปรวน: \(\frac{1}{d^2} [^2A_x - (A_x)^2]\)

การประกันแบบสะสมทรัพย์ (Pure Endowment \(n\) ปี):
ค่าเฉลี่ย: \(A_{x:\bar{n}|}^{\:\:\:1} = v^n \cdot {}_np_x\)
ความแปรปรวน: \(v^{2n} \cdot {}_np_x \cdot (1 - {}_np_x)\)
หมายเหตุ: นี่เป็นเพียงรูปแบบหนึ่งของความแปรปรวนแบบทวินาม (Binomial Variance) \(npq\) เพราะมันคือการจ่ายเงินแบบ "ได้หรือไม่ได้รับ" เท่านั้น!

จุดสำคัญที่ต้องจำ:

อย่าให้สัญลักษณ์เหล่านั้นทำให้คุณกลัว โจทย์ส่วนใหญ่เพียงแค่ต้องการให้คุณหาค่าสองค่า: EPV มาตรฐาน และ EPV ที่ใช้ "อัตราดอกเบี้ยคูณสอง" เมื่อคุณมีสองค่านี้แล้ว ก็เหลือแค่การลบเลขพื้นฐานเท่านั้น!

สู้ต่อไปครับ! คุณทำได้ดีมากแล้ว การเข้าใจสูตรเหล่านี้คือกุญแจสำคัญที่จะช่วยให้คุณพิชิตเนื้อหาที่เหลือของวิชา CM1 ได้ครับ