Understand the principles and application of simple models for credit risk

ยินดีต้อนรับสู่การสร้างแบบจำลองความเสี่ยงด้านเครดิต (Credit Risk Modelling)!

สวัสดีครับ! ยินดีต้อนรับเข้าสู่บทที่นำไปใช้งานได้จริงมากที่สุดบทหนึ่งในหลักสูตร CM2 ในส่วนนี้ เราจะก้าวเข้าสู่โลกของ การประเมินมูลค่าสินทรัพย์ (Asset Valuations) โดยการศึกษาเรื่อง ความเสี่ยงด้านเครดิต (Credit Risk) ถ้าคุณเคยให้เพื่อนยืมเงินแล้วกังวลว่าเขาจะไม่คืนเงินให้ นั่นแหละครับคือหัวใจสำคัญของความเสี่ยงด้านเครดิต! สำหรับนักคณิตศาสตร์ประกันภัย (Actuaries) เราจำเป็นต้องเปลี่ยนความกังวลนั้นให้เป็นตัวเลข เพื่อที่เราจะสามารถตั้งราคาพันธบัตรและบริหารจัดการพอร์ตการลงทุนได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ถ้ารู้สึกว่าคณิตศาสตร์ในบทนี้ดูน่ากลัวในตอนแรก ไม่ต้องกังวลนะครับ เราจะค่อยๆ เจาะลึกไปทีละขั้นตอน เมื่อจบบทเรียนนี้ คุณจะเข้าใจว่าทำไมบริษัทถึงถูกเปรียบได้ว่าเป็น "คอลออปชัน (Call Option)" และเราจะทำนายโอกาสที่ธุรกิจจะ "ล้มละลาย" ได้อย่างไร

1. ความเสี่ยงด้านเครดิตคืออะไร?

ถ้าอธิบายให้ง่ายที่สุด ความเสี่ยงด้านเครดิต คือความเสี่ยงที่ผู้กู้ (ไม่ว่าจะเป็นบุคคล บริษัท หรือรัฐบาล) ไม่สามารถปฏิบัติตามภาระผูกพันในการชำระคืนดอกเบี้ยหรือเงินต้นของหนี้ได้ ในโลกของการประเมินมูลค่าสินทรัพย์ นี่หมายความว่าพันธบัตรที่เราซื้อไว้อาจมีมูลค่าต่ำกว่าที่เราคาดหวังไว้มาก

ในการศึกษา CM2 เรามีวิธีสร้างแบบจำลองหลักอยู่ 2 วิธี คือ:
1. แบบจำลองเชิงโครงสร้าง (Structural Models): เราจะมองเข้าไปภายในบริษัทเพื่อดูว่าพวกเขามีสินทรัพย์เพียงพอที่จะครอบคลุมหนี้สินหรือไม่
2. แบบจำลองรูปแบบลดทอน (Reduced-Form Models): เราจะมองว่าการผิดนัดชำระหนี้เป็นเหตุการณ์สุ่มแบบ "ฟ้าผ่า" ที่เกิดขึ้นได้ตลอดเวลา

ทบทวนความรู้: ความเสี่ยงด้านเครดิตไม่ได้หมายถึงแค่การผิดนัดชำระหนี้ (Default) เพียงอย่างเดียว แต่ยังรวมไปถึง ความเสี่ยงจากการถูกลดอันดับความน่าเชื่อถือ (Downgrade Risk) ด้วย (เช่น ความเสี่ยงที่อันดับเครดิตของบริษัทจะตกลงจาก AA เป็น BBB เป็นต้น)

2. แบบจำลองเชิงโครงสร้าง: แบบจำลองของเมอร์ตัน (Merton Model)

แบบจำลองของเมอร์ตัน ถือเป็น "ต้นกำเนิด" ของแบบจำลองเชิงโครงสร้าง โดยใช้หลักการของการกำหนดราคาออปชัน (Option Pricing) ที่คุณเคยเรียนในบทก่อนหน้า มาประเมินมูลค่าหนี้สินและส่วนของเจ้าของ (Equity) ของบริษัท

แนวคิดหลัก: บริษัทในฐานะออปชัน

สมมติว่าบริษัทมีมูลค่ารวม \(V_t\) และมีหนี้ก้อนเดียว \(D\) ที่ต้องชำระ ณ เวลา \(T\)
• ถ้า ณ เวลา \(T\) บริษัทมีมูลค่ามากกว่าหนี้สิน (\(V_T > D\)) ผู้ถือหุ้นจะจ่ายชำระหนี้และเก็บส่วนที่เหลือไว้ ผลตอบแทนของพวกเขาคือ \(V_T - D\)
• ถ้า ณ เวลา \(T\) บริษัทมีมูลค่าน้อยกว่าหนี้สิน (\(V_T < D\)) ผู้ถือหุ้นก็จะปล่อยให้บริษัทตกเป็นของผู้ให้กู้และไม่ได้รับอะไรเลย ผลตอบแทนของพวกเขาคือ \(0\)

คุ้นๆ ไหมครับ? นี่คือผลตอบแทนของ ยุโรปคอลออปชัน (European Call Option) เป๊ะๆ เลย! ส่วนของเจ้าของ (Equity) ก็คือคอลออปชันบนสินทรัพย์ของบริษัทที่มีราคาใช้สิทธิ (Strike Price) เท่ากับมูลค่าหนี้สินนั่นเอง

สูตรที่คุณต้องใช้

โดยการใช้กรอบแนวคิดของ Black-Scholes มูลค่าของ ส่วนของเจ้าของ (Equity) (\(E_t\)) คือ:
\( E_t = V_t \Phi(d_1) - D e^{-r(T-t)} \Phi(d_2) \)

โดยที่:
\( d_1 = \frac{\ln(V_t / D) + (r + 0.5\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \)
\( d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} \)

คุณรู้หรือไม่? ในแบบจำลองนี้ ความน่าจะเป็นของการผิดนัดชำระหนี้ (Probability of Default) ก็คือความน่าจะเป็นที่มูลค่าบริษัทจะน้อยกว่าหนี้สิน ณ เวลา \(T\) ซึ่งภายใต้การวัดแบบโลกแห่งความเป็นจริง (Real-world measure ไม่ใช่แบบ Risk-neutral) จะมีค่าเท่ากับ \(1 - \Phi(d_2)\) (โดยปรับด้วยอัตราการเติบโตที่แท้จริง \(\mu\) แทนที่ \(r\))

ประเด็นสำคัญ:

แบบจำลองเชิงโครงสร้าง ตั้งสมมติฐานว่าเรามีข้อมูลที่สมบูรณ์เกี่ยวกับสินทรัพย์และความผันผวนของบริษัท การผิดนัดชำระหนี้จะเกิดขึ้น ภายในตัวแบบ (Endogenously) นั่นหมายความว่ามันเกิดจากมูลค่าภายในของบริษัทที่ลดต่ำลงเกินไป

3. แบบจำลองรูปแบบลดทอน (แบบจำลองความเข้มข้น)

บางครั้งเราก็ไม่รู้มูลค่าสินทรัพย์ของบริษัทที่แน่ชัด แบบจำลองรูปแบบลดทอน (Reduced-Form Models) จะไม่สนใจงบดุล แต่จะมองว่าการผิดนัดชำระหนี้เป็นเหตุการณ์สุ่มที่ถูกควบคุมโดย "อัตราความเสี่ยง" (Hazard Rate) หรือ ความเข้มข้น (Intensity) ซึ่งแทนด้วย \(\lambda\)

การเปรียบเทียบแบบ "ฟ้าผ่า"

ลองนึกภาพหลอดไฟดูครับ คุณไม่รู้หรอกว่ามันจะขาดตอนไหน แต่คุณพอจะทราบค่าเฉลี่ยที่หลอดไฟจะเสีย ความเข้มข้น (Intensity) \(\lambda\) ก็คือความน่าจะเป็นของการผิดนัดชำระหนี้ ณ ขณะใดขณะหนึ่งนั่นเอง หาก \(\lambda\) เป็นค่าคงที่ เวลาที่เกิดการผิดนัดชำระหนี้จะเป็นไปตาม การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Distribution)

แนวคิดหลัก:

• ความน่าจะเป็นที่จะอยู่รอด (Survival Probability): โอกาสที่บริษัทจะอยู่รอดจนถึงเวลา \(t\) คือ \(P(T > t) = e^{-\lambda t}\)
• ความน่าจะเป็นที่จะผิดนัดชำระหนี้ (Default Probability): โอกาสที่บริษัทจะล้มละลายก่อนเวลา \(t\) คือ \(1 - e^{-\lambda t}\)
• อัตราการกู้คืน (Recovery Rate - \(R\)): หากบริษัทผิดนัดชำระหนี้ คุณอาจจะไม่เสียเงินทั้งหมด คุณอาจจะได้รับคืนมา \(R\) เซนต์ต่อดอลลาร์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: นักศึกษามักสับสนระหว่างแบบจำลองนี้กับแบบจำลองเชิงโครงสร้าง จำไว้นะครับ: ถ้าโจทย์กล่าวถึง "Hazard rate", "Intensity" หรือ "Poisson process" แสดงว่าเป็น Reduced-Form Model แน่นอน

4. อันดับความน่าเชื่อถือและเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ

อีกวิธีในการสร้างแบบจำลองความเสี่ยงด้านเครดิตคือการดู อันดับความน่าเชื่อถือ (Credit Ratings) (เช่น จาก Moody's หรือ S&P) บริษัทสามารถย้ายอันดับเครดิตไปมาได้ (เช่น จาก A ไป BBB) เมื่อเวลาผ่านไป เราจะสร้างแบบจำลองนี้โดยใช้ ห่วงโซ่มาร์คอฟ (Markov Chain)

เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ (Transition Matrix)

เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ \(P\) จะแสดงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งในช่วงเวลาที่กำหนด (ปกติคือ 1 ปี)
• แถว (Rows) แทนสถานะปัจจุบัน
• คอลัมน์ (Columns) แทนสถานะ ณ สิ้นงวด
• สถานะหนึ่งที่สำคัญคือ การผิดนัดชำระหนี้ (Default) ซึ่งเป็น "สถานะดูดกลืน" (Absorbing state) (เมื่อเข้าสู่สถานะผิดนัดชำระหนี้แล้ว ปกติก็จะติดอยู่อย่างนั้น!)

เทคนิคจำง่ายๆ: "แถวคือที่ที่คุณเริ่ม คอลัมน์คือที่ที่คุณไปถึง"

ตัวอย่าง: หากคุณต้องการทราบความน่าจะเป็นของการผิดนัดชำระหนี้ภายใน สอง ปี คุณต้องนำเมทริกซ์ไปยกกำลังสอง (\(P^2\)) แล้วดูที่คอลัมน์ "Default" ของสถานะที่คุณเริ่มต้น

5. การประเมินมูลค่าพันธบัตรที่มีความเสี่ยง

เราจะตั้งราคาพันธบัตรที่อาจผิดนัดชำระหนี้ได้อย่างไร? เราทำได้โดยการคิดลดกระแสเงินสดที่คาดหวัง สำหรับพันธบัตรแบบไม่มีคูปอง (Zero-coupon bond) ที่มีมูลค่าหน้าตั๋ว \(1\):

ราคา = (ความน่าจะเป็นที่อยู่รอด \(\times\) มูลค่าหากไม่ผิดนัด) + (ความน่าจะเป็นที่จะผิดนัด \(\times\) มูลค่าหากผิดนัด)

การใช้ความเข้มข้น \(\lambda\) และอัตราการกู้คืน \(R\) มูลค่าของพันธบัตรที่มีความเสี่ยงจะเป็น:
\( B(t, T) = e^{-r(T-t)} [ e^{-\lambda(T-t)} + R(1 - e^{-\lambda(T-t)}) ] \)

ตรรกะแบบง่าย:
หากไม่มีการกู้คืน (\(R=0\)) ราคาจะเหลือเพียง \( e^{-(r+\lambda)(T-t)} \) ซึ่งค่า \(\lambda\) จะทำหน้าที่เหมือนอัตราดอกเบี้ยส่วนเพิ่ม เราเรียกสิ่งนี้ว่า ส่วนต่างเครดิต (Credit Spread)

6. สรุปและเปรียบเทียบ

เพื่อปิดท้าย ลองมาเปรียบเทียบแบบจำลองทั้งสองกลุ่มกันครับ:

แบบจำลองเชิงโครงสร้าง (Merton):
• ข้อดี: เชื่อมโยงส่วนของเจ้าของและหนี้สินเข้าด้วยกัน; มีเหตุผลทางเศรษฐกิจรองรับการผิดนัดชำระหนี้
• ข้อเสีย: สินทรัพย์ (\(V_t\)) ไม่สามารถสังเกตได้โดยตรง; ปรับค่า (Calibrate) ยาก; การผิดนัดชำระหนี้ดู "ทำนายได้" ในระยะสั้น (ซึ่งในความเป็นจริงอาจไม่เป็นเช่นนั้น)

แบบจำลองรูปแบบลดทอน (Reduced-Form):
• ข้อดี: ปรับค่ากับราคาตลาดได้ง่ายกว่า; สะท้อนธรรมชาติของเหตุการณ์ "เซอร์ไพรส์" ของการผิดนัดชำระหนี้ได้ดีกว่า
• ข้อเสีย: ไม่ได้อธิบายว่า ทำไม ถึงเกิดการผิดนัดชำระหนี้; มองการผิดนัดชำระหนี้เป็นเหตุการณ์ทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ

เคล็ดลับสุดท้ายสำหรับสอบ: ถ้าเจอคำถามที่ถามหา "Value of the Firm" หรือ "Volatility of Assets" ให้ใช้สูตรของ Merton Model ทันที แต่ถ้าเจอคำว่า "Hazard Rate" หรือ "Recovery Rate" ให้ใช้แนวทางของ Reduced-Form ครับ!

ไม่ต้องกังวลถ้าบทนี้ดูยากในตอนแรก! ความเสี่ยงด้านเครดิตเป็นหัวข้อที่ลึกซึ้ง แต่ถ้าคุณเข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคอลออปชันและส่วนของเจ้าของบริษัทแล้ว แสดงว่าคุณได้ผ่านช่วงที่ยากที่สุดของวิชานี้มาแล้วครับ พยายามฝึกทำโจทย์เรื่องเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะบ่อยๆ นะครับ!