บทนำ: การทำความเข้าใจความสัมพันธ์ในชุดข้อมูล
ในโลกของคณิตศาสตร์ประกันภัย เราแทบจะไม่พิจารณาข้อมูลเพียงชุดเดียวแยกกันตามลำพัง แต่เรามักจะสนใจว่าข้อมูลสองชุดมีการเคลื่อนไหวไปด้วยกันอย่างไร ตัวอย่างเช่น หากอายุของผู้ถือกรมธรรม์เพิ่มขึ้น ความถี่ในการเคลมประกันของเขาจะเพิ่มขึ้นตามไปด้วยหรือไม่? สิ่งนี้คือสิ่งที่เราเรียกว่า สหสัมพันธ์ (Correlation) ครับ ในบทนี้ เราจะมาศึกษาวิธีหลัก 3 วิธีในการวัดความแข็งแกร่งและทิศทางของความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปร (ข้อมูลสองตัวแปร หรือ Bivariate data) ได้แก่ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของ เพียร์สัน (Pearson’s), สเปียร์แมน (Spearman’s) และ เคนดัลล์ (Kendall’s) ให้ลองจินตนาการว่าสิ่งเหล่านี้คือ "เลนส์" ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราใช้มองข้อมูลชุดเดียวกันเพื่อค้นหาความเชื่อมโยงในรูปแบบที่ต่างกันออกไปครับ1. สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเพียร์สัน (Pearson’s Product-Moment Correlation Coefficient)
สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน มักแทนด้วยตัวอักษร \(r\) สำหรับกลุ่มตัวอย่าง หรือ \(\rho\) สำหรับประชากร เป็นการวัดสหสัมพันธ์ที่พบบ่อยที่สุด โดยจะใช้วัดความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ เชิงเส้น (Linear) ระหว่างตัวแปรต่อเนื่องสองตัวแปรค่านี้บอกอะไรเรา?
ค่าของ \(r\) จะอยู่ระหว่าง \(-1\) ถึง \(+1\) เสมอ:- \(r = +1\): ความสัมพันธ์เชิงเส้นเป็นบวกอย่างสมบูรณ์ (เมื่อตัวแปรหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกตัวแปรจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรง)
- \(r = -1\): ความสัมพันธ์เชิงเส้นเป็นลบอย่างสมบูรณ์ (เมื่อตัวแปรหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกตัวแปรจะลดลงเป็นเส้นตรง)
- \(r = 0\): ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นต่อกันเลย
สูตรการคำนวณ
สำหรับกลุ่มตัวอย่าง \(n\) คู่ของข้อมูล \((x_i, y_i)\) สูตรคือ:\(r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}\)
น้องๆ อาจจะเห็นสูตรนี้ในรูปแบบของสัญลักษณ์ "ผลรวมกำลังสอง" (Sums of squares) ได้เช่นกัน:\(r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}\)
ข้อควรระวังที่สำคัญ
สหสัมพันธ์ของเพียร์สันนั้นค่อนข้าง "อ่อนไหว" ครับ เพราะมันตั้งสมมติฐานว่าความสัมพันธ์ต้องเป็นเส้นตรง และได้รับผลกระทบอย่างมากจาก ค่าที่ผิดปกติ (Outliers) หากข้อมูลของน้องๆ มีลักษณะโค้ง (เช่น รูปตัว "U") เพียร์สันอาจบอกว่าไม่มีสหสัมพันธ์ ทั้งที่จริงๆ แล้วมีความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้นซ่อนอยู่ก็ได้!สรุปประเด็นสำคัญ: ให้ใช้เพียร์สันเมื่อน้องๆ คาดหวังความสัมพันธ์แบบเส้นตรง และข้อมูลไม่มีค่าที่ผิดปกติที่รุนแรงครับ
2. สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อันดับของสเปียร์แมน (Spearman’s Rank Correlation Coefficient)
บางครั้ง เราไม่ได้สนใจค่าที่แท้จริงของข้อมูล แต่สนใจ อันดับ (Rank) หรือลำดับก่อนหลัง นี่คือจุดที่สหสัมพันธ์อันดับของสเปียร์แมน (\(r_s\) หรือ \(\rho_s\)) เข้ามามีบทบาทครับหลักการทำงาน
แทนที่จะใช้ตัวเลขดิบๆ (เช่น $1,250 และ $5,000) เราจะเปลี่ยนให้เป็นอันดับแทน (อันดับที่ 1, 2, 3 เป็นต้น) จากนั้นเราจึงคำนวณสหสัมพันธ์ของเพียร์สันจากอันดับเหล่านี้ หากไม่มีอันดับที่ซ้ำกัน (Tied ranks) เราสามารถใช้สูตรอย่างง่ายนี้ได้ครับ:\(r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}\)
โดยที่ \(d_i\) คือผลต่างระหว่างอันดับของ \(x_i\) และอันดับของ \(y_i\)ทำไมถึงต้องใช้สเปียร์แมน?
สหสัมพันธ์ของสเปียร์แมนใช้วัดความสัมพันธ์แบบ Monotonic (ความสัมพันธ์ทางเดียว) ความสัมพันธ์จะเป็นแบบ Monotonic ถ้าหากตัวแปรหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกตัวแปรหนึ่งมี แนวโน้ม จะเพิ่มขึ้น (แม้ว่าการเพิ่มขึ้นนั้นจะไม่เป็นเส้นตรงก็ตาม)- มันมีความ ทนทาน (Robust) ต่อค่าที่ผิดปกติ เพราะการใช้อันดับจะช่วยจำกัดอิทธิพลของค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติได้
- สามารถใช้กับ ข้อมูลเชิงอันดับ (Ordinal data) ได้ (ข้อมูลที่มีการเรียงลำดับตามธรรมชาติ เช่น "ต่ำ", "กลาง", "สูง")
สรุปประเด็นสำคัญ: สเปียร์แมนเหมาะสำหรับความสัมพันธ์ที่มีความ "โค้ง" แต่เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่อง หรือในกรณีที่ข้อมูลมีค่าที่ผิดปกติปนอยู่มากครับ
3. สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อันดับของเคนดัลล์ (Kendall’s Rank Correlation Coefficient - Tau)
เคนดัลล์ ทาว (\(\tau\)) เป็นการวัดแบบใช้อันดับอีกวิธีหนึ่ง แต่มีหลักการทำงานต่างจากสเปียร์แมนเล็กน้อย โดยจะพิจารณาที่ ทิศทาง ของคู่ข้อมูลคู่ที่สอดคล้อง (Concordant) เทียบกับ คู่ที่ไม่สอดคล้อง (Discordant)
ลองจินตนาการว่าเราเลือกคนสองคนมาจากชุดข้อมูล:- คู่ข้อมูลจะ สอดคล้องกัน (Concordant) หากคนหนึ่งมีอันดับสูงกว่าอีกคนใน ทั้งสอง ตัวแปร (นั่นคือทั้งคู่ "เห็นพ้อง" ในทิศทางเดียวกัน)
- คู่ข้อมูลจะ ไม่สอดคล้องกัน (Discordant) หากคนหนึ่งมีอันดับสูงกว่าในตัวแปรแรก แต่กลับมีอันดับต่ำกว่าในตัวแปรที่สอง (นั่นคือ "เห็นต่าง" กันในทิศทาง)
\(\tau = \frac{(\text{จำนวนคู่ที่สอดคล้อง}) - (\text{จำนวนคู่ที่ไม่สอดคล้อง})}{\frac{1}{2} n(n - 1)}\)
ทำไมถึงต้องใช้เคนดัลล์?
แม้ว่าสเปียร์แมนจะถูกใช้งานแพร่หลายกว่า แต่เคนดัลล์ ทาว มักจะเป็นที่ต้องการมากกว่าเมื่อ:- ชุดข้อมูลมีขนาดเล็กมาก
- มีอันดับที่ซ้ำกัน (Tied ranks) เป็นจำนวนมาก
- น้องๆ ต้องการการวัดที่มีคุณสมบัติทางสถิติที่ดีกว่าสำหรับการทดสอบสมมติฐานในบางสถานการณ์
สรุปประเด็นสำคัญ: เคนดัลล์เน้นดู "ความเห็นพ้อง" ระหว่างคู่ข้อมูล และมีประโยชน์มากสำหรับข้อมูลชุดเล็กหรือข้อมูลที่มีค่าซ้ำกันเยอะๆ ครับ
4. การอนุมานทางสถิติสำหรับสหสัมพันธ์ (Statistical Inference)
การคำนวณตัวเลขออกมาได้เป็นเพียงแค่จุดเริ่มต้นครับ ในฐานะนักคณิตศาสตร์ประกันภัย เราจำเป็นต้องรู้ว่า: สหสัมพันธ์ที่พบนี้เป็นของจริง หรือเป็นเพียงผลจากความบังเอิญ?การทดสอบสมมติฐาน (Hypothesis Testing)
โดยปกติเราจะทดสอบสมมติฐานหลัก (Null hypothesis):\(H_0: \rho = 0\) (ไม่มีสหสัมพันธ์ในประชากร)
เทียบกับสมมติฐานทางเลือก (Alternative hypothesis):\(H_1: \rho \neq 0\) (มีสหสัมพันธ์อยู่จริง)
สำหรับสหสัมพันธ์ของเพียร์สัน หากข้อมูลมีการแจกแจงแบบปกติสองตัวแปร (Bivariate normal distribution) เราสามารถใช้การทดสอบแบบ \(t\)-test ที่มีองศาอิสระ (Degrees of freedom) เท่ากับ \(n - 2\):\(t = r \sqrt{\frac{n - 2}{1 - r^2}}\)
หมายเหตุ: สำหรับสเปียร์แมนและเคนดัลล์ก็มีการทดสอบในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน ซึ่งมักจะเกี่ยวข้องกับการเปิดตารางค่าวิกฤต หรือการใช้โปรแกรมอย่าง R (ตามที่จะได้เรียนใน Paper B ครับ)สรุปและเปรียบเทียบ
ตารางเปรียบเทียบสรุปสั้นๆ
เพียร์สัน (Pearson): ความสัมพันธ์เชิงเส้น; ไวต่อค่าที่ผิดปกติ; ต้องเป็นข้อมูลต่อเนื่อง
สเปียร์แมน (Spearman): ความสัมพันธ์แบบ Monotonic; ใช้อันดับ; ทนทานต่อค่าที่ผิดปกติ
เคนดัลล์ (Kendall): พิจารณาจากความเห็นพ้องของคู่ข้อมูล; ดีที่สุดสำหรับข้อมูลชุดเล็กหรือข้อมูลที่มีค่าซ้ำเยอะ
ข้อผิดพลาดที่ควรระวัง
- สหสัมพันธ์ไม่ได้หมายถึงความเป็นเหตุเป็นผล (Correlation \(\neq\) Causation): เพียงเพราะสิ่งสองสิ่งมีความสัมพันธ์กัน ไม่ได้หมายความว่าสิ่งหนึ่งเป็น สาเหตุ ของอีกสิ่งหนึ่งเสมอไป (เช่น ยอดขายไอศกรีมกับเหตุการณ์ปลาฉลามโจมตีมีความสัมพันธ์กัน เพราะทั้งคู่เพิ่มขึ้นในหน้าร้อน ไม่ใช่เพราะไอศกรีมดึงดูดปลาฉลามนะครับ!)
- การตีความผิดเมื่อ \(r = 0\): สำหรับเพียร์สัน ค่า \(r = 0\) หมายความว่าไม่มีความสัมพันธ์ เชิงเส้น เท่านั้น แต่อาจจะยังมีความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเส้นตรงที่แข็งแกร่งมากซ่อนอยู่ก็ได้
- อย่าละเลยแผนภาพการกระจาย (Scatterplot): ควรดูรูปกราฟของข้อมูลเสมอก่อนที่จะเลือกใช้วิธีวัดสหสัมพันธ์ใดๆ!
คำถามทบทวนความรู้
- น้องๆ จะใช้วิธีวัดใดสำหรับความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเป็นเส้นโค้งแต่มีทิศทางเพิ่มขึ้นตลอด? (คำตอบ: สเปียร์แมน หรือ เคนดัลล์)
- ถ้า \(r = -0.9\) ค่านี้บอกอะไรเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของข้อมูล? (คำตอบ: มีความสัมพันธ์เชิงเส้นเชิงลบในระดับสูง)
- ทำไมสเปียร์แมนถึงมักจะดีกว่าเพียร์สันเมื่อข้อมูลมีค่าที่ผิดปกติ? (คำตอบ: เพราะการใช้อันดับช่วยลดทอนอิทธิพลของค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติลงได้)
หากน้องๆ ต้องการข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการนำเสนอข้อมูลเหล่านี้ด้วยภาพ สามารถดูได้ในบท "สถิติเชิงสรุปและการนำเสนอข้อมูลด้วยภาพเชิงสำรวจ" และหากต้องการดูว่าตัวแปรเหล่านี้สัมพันธ์กันอย่างไรในแบบจำลองเชิงพยากรณ์ สามารถศึกษาได้จากส่วน "ทฤษฎีการถดถอยและการประยุกต์ใช้งาน" ครับ