บทนำ: การสร้างแบบจำลองเชิงเส้นนัยทั่วไป (GLM)

ในการศึกษาเรื่องการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายและแบบพหุคูณก่อนหน้านี้ เราสมมติว่าตัวแปรตอบสนองมีการแจกแจงแบบปกติ (Normal distribution) และค่าเฉลี่ยของการตอบสนองนั้นเป็นการรวมกันเชิงเส้นโดยตรงของตัวแปรอธิบาย อย่างไรก็ตาม ในโลกของคณิตศาสตร์ประกันภัย ข้อมูลมักไม่ได้ "เรียบร้อย" ขนาดนั้น เรามักต้องรับมือกับจำนวนการเคลม (ซึ่งติดลบไม่ได้) หรือความน่าจะเป็นของการเคลม (ซึ่งต้องอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1)

นี่คือจุดที่ แบบจำลองเชิงเส้นนัยทั่วไป (Generalised Linear Models หรือ GLMs) เข้ามามีบทบาท! ในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับ "เครื่องยนต์" ของ GLM ซึ่งก็คือ ตัวพยากรณ์เชิงเส้น (linear predictor) และ "สะพาน" ที่เชื่อมต่อเครื่องยนต์นั้นเข้ากับข้อมูลของเรา นั่นคือ ฟังก์ชันเชื่อมโยง (link function) นอกจากนี้ เรายังจะได้สำรวจวิธีการจัดการกับข้อมูลประเภทต่างๆ เช่น ข้อมูลเชิงกลุ่ม (ปัจจัย) และสถานการณ์ที่ตัวแปรต่างๆ มีปฏิสัมพันธ์ต่อกัน ถ้ารู้สึกว่าเรื่องนี้ดูเป็นนามธรรมในช่วงแรกก็ไม่ต้องกังวลไปนะ เมื่อคุณเข้าใจโครงสร้างของมันแล้ว ทุกอย่างจะประกอบเข้าด้วยกันเหมือนการต่อจิ๊กซอว์เลยล่ะ!

1. ตัวพยากรณ์เชิงเส้น (Linear Predictor) \(\eta\)

ตัวพยากรณ์เชิงเส้น มักแทนด้วยอักษรกรีก เอตา (eta) \(\eta\) คือส่วนของแบบจำลองที่รวบรวมอิทธิพลของตัวแปรอธิบายต่างๆ เข้าด้วยกัน โดยเป็นการรวมกันเชิงเส้นของพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า (\(\beta\)) และตัวแปรที่สังเกตได้

สำหรับชุดของตัวแปรอธิบาย \(x_1, x_2, ..., x_k\) ตัวพยากรณ์เชิงเส้นสำหรับการสังเกตที่ \(i\) เขียนได้ดังนี้:

\(\eta_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + ... + \beta_k x_{ik}\)

รูปแบบของตัวพยากรณ์เชิงเส้น

ตัวพยากรณ์เชิงเส้นมีความยืดหยุ่นสูงมาก ซึ่งสามารถมีได้หลายรูปแบบขึ้นอยู่กับปัญหาที่เจอ:

  • แบบจำลองเชิงเส้นอย่างง่าย (Simple Linear Model): \(\eta = \beta_0 + \beta_1 x\) (ความสัมพันธ์แบบเส้นตรง)
  • แบบจำลองพหุนาม (Polynomial Models): \(\eta = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2\) (ใช้เมื่อความสัมพันธ์มีความโค้ง แต่ยังคงถือว่าเป็น "เชิงเส้น" ในแง่ของพารามิเตอร์ \(\beta\))
  • แบบจำลองที่เกี่ยวข้องกับปัจจัย (Factors): หากเรากำลังพิจารณากลุ่มที่แตกต่างกัน (เช่น "ผู้สูบบุหรี่" เทียบกับ "ผู้ไม่สูบบุหรี่") ตัวพยากรณ์จะเปลี่ยนไปตามกลุ่มที่การสังเกตนั้นสังกัดอยู่

ประเด็นสำคัญ: แม้ว่าความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกระทบและตัวแปรตอบสนองอาจจะมีความโค้ง (เช่น พหุนาม) แต่แบบจำลองนี้ยังถูกเรียกว่า "เชิงเส้น" เพราะมันคือผลรวมเชิงเส้นของ พารามิเตอร์ (\(\beta_i\)) นั่นเอง

ในแบบจำลองเชิงเส้นมาตรฐาน เราสมมติว่าค่าเฉลี่ยของการตอบสนอง \(\mu = E[Y]\) เท่ากับตัวพยากรณ์เชิงเส้น \(\eta\) โดยตรง แต่ใน GLM เราจะใช้ ฟังก์ชันเชื่อมโยง \(g(\cdot)\) เพื่อเชื่อมต่อพวกมันเข้าด้วยกัน:

\(g(\mu_i) = \eta_i\)

ทำไมเราถึงต้องทำแบบนี้? ลองจินตนาการว่าคุณกำลังพยากรณ์ความน่าจะเป็นของการเคลมประกันรถยนต์ ความน่าจะเป็นต้องอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ หากเราใช้แบบจำลองเชิงเส้นอย่างง่าย ผลการพยากรณ์อาจจะได้ "ความน่าจะเป็น" เป็น 1.5 หรือ -0.2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้! ฟังก์ชันเชื่อมโยงจะทำหน้าที่แปลงช่วงของค่าเฉลี่ย (เช่น 0 ถึง 1) ให้ไปอยู่ในช่วงของตัวพยากรณ์เชิงเส้น (ลบอินฟินิตี้ถึงบวกอินฟินิตี้)

ฟังก์ชันเชื่อมโยงแบบบัญญัติ (Canonical Link Function)

การแจกแจงแต่ละแบบในตระกูลเลขชี้กำลัง (exponential family) จะมีฟังก์ชันเชื่อมโยง "ตามธรรมชาติ" ที่เกิดจากโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของมันเอง ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันเชื่อมโยงแบบบัญญัติ แม้ว่าคุณจะสามารถใช้ฟังก์ชันเชื่อมโยงแบบอื่นได้ แต่ค่าเหล่านี้คือค่าที่พบบ่อยมากในการสอบ CS1:

การแจกแจงปกติ (Normal Distribution): Identity link \(\implies g(\mu) = \mu\)
การแจกแจงพอยซอน (Poisson Distribution): Log link \(\implies g(\mu) = \ln(\mu)\)
การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution): Logit link \(\implies g(\mu) = \ln(\frac{\mu}{1-\mu})\)
การแจกแจงแกมมา / เอกซ์โพเนนเชียล (Gamma / Exponential Distributions): Reciprocal link \(\implies g(\mu) = \frac{1}{\mu}\)

หมายเหตุ: สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตระกูลเลขชี้กำลัง สามารถศึกษาได้ในบท "The exponential family, variance function and scale parameter"

3. ตัวแปร (Variables) เทียบกับ ปัจจัย (Factors)

ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกันภัย เราใช้ข้อมูลนำเข้า (input) สองประเภทหลัก:

ตัวแปรต่อเนื่อง (Continuous Variables)

คือการวัดเชิงตัวเลขที่สามารถมีค่าใดก็ได้ในช่วงที่กำหนด
ตัวอย่าง: อายุของผู้ถือกรมธรรม์, จำนวนเงินเอาประกันภัย หรือความจุกระบอกสูบของเครื่องยนต์รถยนต์

ปัจจัย หรือ ตัวแปรเชิงกลุ่ม (Factors / Categorical Values)

ปัจจัยคือการจัดกลุ่มเชิงคุณภาพ ซึ่งจะมีค่าเป็น "ระดับ" (levels) ที่แยกจากกัน
ตัวอย่าง: เพศ (ชาย, หญิง), ภูมิภาค (เหนือ, ใต้, ออก, ตก) หรือประเภทของเชื้อเพลิง (เบนซิน, ดีเซล, ไฟฟ้า)

เทคนิค "ระดับอ้างอิง" (Reference Level): เมื่อเราใส่ปัจจัยที่มี \(k\) ระดับลงใน GLM โดยปกติเราจะไม่สร้างพารามิเตอร์ขึ้นมา \(k\) ตัว แต่เราจะเลือกระดับหนึ่งให้เป็น ระดับฐาน (base level หรือ reference level) และสร้าง ตัวแปรหุ่น (dummy variables) ขึ้นมาจำนวน \(k-1\) ตัว พารามิเตอร์สำหรับระดับที่เหลือจะแสดงถึง ความแตกต่าง จากระดับฐานนั้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: การลืมยกเว้นพารามิเตอร์ของระดับฐาน! หากคุณมีภูมิภาค 3 แห่งและใส่พารามิเตอร์ไปทั้ง 3 ตัวพร้อมกับจุดตัดแกน (intercept) แบบจำลองจะล้มเหลว (เรียกว่าเกิด "ภาวะร่วมเส้นตรงพหุแบบสมบูรณ์" หรือ perfect collinearity) จำไว้ว่าต้องใช้ \(k-1\) พารามิเตอร์เสมอสำหรับปัจจัยที่มี \(k\) ระดับ หากมีจุดตัดแกน \(\beta_0\) อยู่ในแบบจำลอง

4. พจน์ปฏิสัมพันธ์ (Interaction Terms)

ในบางครั้ง อิทธิพลของตัวแปรหนึ่งอาจขึ้นอยู่กับระดับของอีกตัวแปรหนึ่ง เราเรียกสิ่งนี้ว่า ปฏิสัมพันธ์ (interaction)

ตัวอย่างในโลกจริง: สมมติว่าเรากำลังสร้างแบบจำลองความเสี่ยงของการเคลมประกันสุขภาพ ทั้ง "อายุ" และ "สถานะการสูบบุหรี่" ต่างก็มีความสำคัญ อย่างไรก็ตาม ความเสี่ยงที่ เพิ่มขึ้น จากการเป็นผู้สูบบุหรี่ในคนอายุ 60 ปีอาจจะสูงกว่าในคนอายุ 20 ปีอย่างมาก ผลกระทบร่วมที่ "เพิ่มพิเศษ" นี้แหละคือปฏิสัมพันธ์

ในทางคณิตศาสตร์ เราแสดงปฏิสัมพันธ์ได้โดยการคูณตัวแปรสองตัวเข้าด้วยกันในตัวพยากรณ์เชิงเส้น:

\(\eta = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_{12}(x_1 \cdot x_2)\)

โดยที่ \((x_1 \cdot x_2)\) คือพจน์ปฏิสัมพันธ์

ทบทวนสั้นๆ: ส่วนประกอบของ GLM

1. ส่วนสุ่ม (Random Component): การแจกแจงของตัวแปรตอบสนอง \(Y\) (เช่น พอยซอน)
2. ส่วนระบบ (Systematic Component): ตัวพยากรณ์เชิงเส้น \(\eta = \sum \beta_i x_i\)
3. ฟังก์ชันเชื่อมโยง (Link Function): ฟังก์ชัน \(g(\mu) = \eta\) ที่เชื่อมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน

5. ขั้นตอนการสร้างตัวพยากรณ์ (Step-by-Step)

เมื่อคุณถูกขอให้เขียนรูปแบบของตัวพยากรณ์เชิงเส้นในข้อสอบ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

  1. ระบุจุดตัดแกน (Intercept): โดยปกติคือ \(\beta_0\)
  2. เพิ่มตัวแปรต่อเนื่อง: เพิ่มพจน์อย่างเช่น \(\beta_i x_i\) สำหรับแต่ละตัวแปร
  3. เพิ่มปัจจัย: ระบุจำนวนระดับ \(k\) และเพิ่มพจน์จำนวน \(k-1\) พจน์
  4. ตรวจสอบปฏิสัมพันธ์: หากโจทย์ระบุว่าอิทธิพลของ \(X\) แตกต่างกันไปตามค่าของ \(Y\) ให้เพิ่มพจน์ผลคูณเข้าไป

ตัวอย่าง: หากเรามีแบบจำลองสำหรับการเคลม (\(\mu\)) ที่มีจุดตัดแกน, มีตัวแปรต่อเนื่องหนึ่งตัว (อายุ, \(x_1\)) และมีปัจจัยหนึ่งตัว (เพศ โดยมีระดับ \(L_1 = \) ชาย และ \(L_2 = \) หญิง) และใช้ฟังก์ชันเชื่อมโยงแบบ log:

\(\ln(\mu) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_{Gender}\)

โดยที่ \(x_{Gender} = 1\) ถ้าเป็นหญิง และ \(0\) ถ้าเป็นชาย (กำหนดให้เพศชายเป็นระดับฐาน)

ตารางสรุป: ฟังก์ชันเชื่อมโยงและตัวพยากรณ์

แนวคิด: ตัวพยากรณ์เชิงเส้น (\(\eta\))
คืออะไร: ฝั่ง "สูตรคณิตศาสตร์" ของแบบจำลอง
การใช้ในงานประกันภัย: การรวมอายุ, ภูมิภาค และประเภทกรมธรรม์ เพื่อประมาณความเสี่ยง

แนวคิด: ฟังก์ชันเชื่อมโยง (\(g\))
คืออะไร: "สะพาน" ที่เชื่อมไปหาค่าเฉลี่ยของการตอบสนอง
การใช้ในงานประกันภัย: เพื่อให้แน่ใจว่าจำนวนเคลมไม่ติดลบ (Log link) หรือความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 (Logit link)

แนวคิด: ปัจจัยและปฏิสัมพันธ์
คืออะไร: การจัดการข้อมูลเชิงกลุ่มและผลกระทบร่วม
การใช้ในงานประกันภัย: การกำหนดเบี้ยประกันที่แตกต่างกันตามพื้นที่หรือประเภทรถยนต์

ในบทถัดไป เราจะมาดูวิธีการประมาณค่าพารามิเตอร์ \(\beta\) เหล่านี้โดยใช้ภาวะน่าจะเป็นสูงสุด (maximum likelihood) และวิธีทดสอบว่าแบบจำลองของเราเหมาะสมกับข้อมูลจริงเพียงใด