Applying GEV and GPD to tail risk estimation

ยินดีต้อนรับสู่โลกของค่าสุดขั้ว! บทนำสู่ความเสี่ยงส่วนหาง (Tail Risk)

สวัสดีครับ! ถ้าคุณเดินทางมาถึงส่วนของ Exam ASTAM ได้ขนาดนี้ คุณคงทราบดีแล้วว่าคณิตศาสตร์ประกันภัยไม่ได้สนใจแค่ค่า "เฉลี่ย" ของการเคลมเท่านั้น แต่มักจะให้ความสำคัญกับเหตุการณ์หายากที่สร้างความเสียหายรุนแรง หรือที่เรียกว่า "Black Swans" ซึ่งอาจส่งผลกระทบต่อความมั่นคงของบริษัทประกันภัยได้ ในส่วนของ Severity Models (แบบจำลองความรุนแรง) เราจะโฟกัสไปที่ "หาง" (Tail) ของการแจกแจง บทนี้จะเน้นเรื่อง ทฤษฎีค่าสุดขั้ว (Extreme Value Theory: EVT) ซึ่งจะมอบเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ (GEV และ GPD) ให้เราสามารถจำลองเหตุการณ์ที่น่ากลัวและมีผลกระทบสูงเหล่านี้ได้อย่างแม่นยำ ไม่ต้องกังวลหากฟังดู "สุดขั้ว" ไปหน่อยในตอนแรก เพราะเราจะค่อยๆ ถอดรหัสไปทีละขั้นตอนครับ!

1. สองเสาหลักของทฤษฎีค่าสุดขั้ว

เวลาเรามองหาความเสียหายที่รุนแรง เรามักใช้เลนส์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสองแบบ ลองนึกภาพว่านี่คือสองวิธีในการมองดูเทือกเขา: Block Maxima (มองหาจุดสูงสุดของแต่ละเทือกเขา) และ Peaks Over Threshold (มองดูทุกยอดเขาที่สูงเกินกว่าระดับความสูงที่กำหนดไว้)

• Block Maxima (แนวทาง GEV): เราแบ่งข้อมูลของเราออกเป็น "บล็อก" (เช่น รายปี) และดูเฉพาะค่าการเคลมที่สูงที่สุดเพียงค่าเดียวในแต่ละบล็อกเท่านั้น
• Peaks Over Threshold (แนวทาง GPD): เราตั้ง "เกณฑ์" (Threshold) ไว้สูงมาก และพิจารณาทุกการเคลมที่สูงเกินกว่าเกณฑ์นั้น

2. การแจกแจงค่าสุดขั้วทั่วไป (Generalized Extreme Value: GEV)

การแจกแจง GEV คือการแจกแจงขีดจำกัดของค่าสูงสุดของตัวแปรสุ่มจำนวนมากที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน (i.i.d.) เปรียบเทียบได้กับการที่การแจกแจงปกติ (Normal distribution) เป็นตัวเลือกหลักสำหรับผลรวม (ตามทฤษฎีขีดจำกัดกลาง หรือ Central Limit Theorem) GEV ก็คือตัวเลือกหลักสำหรับค่าสูงสุดนั่นเอง

สูตรการคำนวณ

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของ GEV คือ:
\( H_{\xi, \mu, \sigma}(x) = \exp\left( -\left[ 1 + \xi \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right) \right]^{-1/\xi} \right) \)

การทำความเข้าใจพารามิเตอร์

• \(\mu\) (Location - ตำแหน่ง): จุดศูนย์กลางของการแจกแจง (คล้ายกับค่าเฉลี่ย)
• \(\sigma\) (Scale - สเกล): ความกว้างของการกระจายตัว (ต้องมีค่า \(> 0\))
• \(\xi\) (Shape Index - รูปร่าง): นี่คือส่วนที่สำคัญที่สุด! เพราะมันบอกเราว่า "หาง" นั้นหนาแค่ไหน

สาม "ประเภทย่อย" ของ GEV

ขึ้นอยู่กับค่าของ \(\xi\) ซึ่ง GEV จะถูกแบ่งออกเป็น 3 ชื่อหลักๆ ดังนี้:
1. Fréchet (\(\xi > 0\)): หางหนา (Heavy-tailed) ซึ่งเป็นแบบที่เราพบได้บ่อยที่สุดในประกันวินาศภัย (ภัยพิบัติ, ความรับผิดชอบต่อบุคคลภายนอกขนาดใหญ่)
2. Gumbel (\(\xi = 0\)): หางบาง (Light-tailed) คล้ายกับเลขชี้กำลัง มักใช้กับความเสี่ยงประกันชีวิตทั่วไป
3. Weibull (\(\xi < 0\)): หางสั้นและมีขอบเขตบนจำกัด (มักไม่ค่อยถูกนำมาใช้กับความรุนแรงของความเสียหาย เนื่องจากโดยปกติการเคลมไม่มีเพดานสูงสุดที่ชัดเจน)

ทบทวนสั้นๆ: จำไว้ว่า \(\xi\) (ไซ) คือกุญแจสำคัญสู่ความ "หนา" ของหาง ยิ่งค่า \(\xi\) สูงเท่าไหร่ หางก็จะยิ่งหนาและน่ากลัวมากขึ้นเท่านั้น!

3. การแจกแจง Generalized Pareto Distribution (GPD)

GPD มักจะเป็น "พระเอก" ของ ASTAM ในขณะที่ GEV มองหา ค่าสูงสุด แต่ GPD จะมองดู ส่วนที่เกิน จากเกณฑ์สูงๆ ซึ่งเราเรียกวิธีนี้ว่า POT (Peaks Over Threshold)

ตรรกะเบื้องหลัง (ทฤษฎีบท Pickands-Balkema-de Haan)

ทฤษฎีนี้กล่าวโดยสรุปว่า: หากคุณตั้งเกณฑ์ \(u\) ไว้สูงพอ การแจกแจงของจำนวนความเสียหายที่ เกินกว่า เกณฑ์นั้น (\(X - u | X > u\)) จะมีลักษณะคล้ายกับการแจกแจงแบบ GPD

สูตรการคำนวณ

CDF สำหรับ GPD คือ:
\( G_{\xi, \beta}(x) = 1 - \left( 1 + \frac{\xi x}{\beta} \right)^{-1/\xi} \)
(โดยที่ \(x \ge 0\) สำหรับ \(\xi \ge 0\))

• \(\beta\) (Scale): แสดงถึงสเกลของส่วนที่เกินเกณฑ์
• \(\xi\) (Shape): เป็นค่า \(\xi\) ตัวเดียวกัน กับใน GEV! ทำหน้าที่กำหนดความหนาของหาง

เปรียบเทียบกับชีวิตจริง: ลองจินตนาการว่าคุณเป็นพนักงานตรวจบัตรหน้าคลับ คุณสนใจแค่คนที่สูงเกิน 6 ฟุตเท่านั้น GPD ไม่สนใจทุกคนในคลับ แต่จะจำลองเฉพาะ ความสูงที่เกินจาก 6 ฟุต ของคนเหล่านั้นออกมาเท่านั้นเอง

4. การประเมินความเสี่ยงส่วนหาง: VaR และ TVaR

เป้าหมายหลักของการใช้ GPD คือการคำนวณวัดความเสี่ยง เช่น Value-at-Risk (VaR) และ Tail Value-at-Risk (TVaR) ที่ระดับความเชื่อมั่นสูงๆ (เช่น 99.9%)

การคำนวณ VaR ด้วย GPD

ถ้าเรารู้จำนวนการสังเกตการณ์ทั้งหมด \(n\), จำนวนข้อมูลที่เกินเกณฑ์ \(n_u\) และความน่าจะเป็นเป้าหมาย \(p\) สูตร VaR คือ:
\( \text{VaR}_p = u + \frac{\beta}{\xi} \left( \left( \frac{n}{n_u} (1-p) \right)^{-\xi} - 1 \right) \)

การคำนวณ TVaR ด้วย GPD

TVaR คือค่าคาดหมายโดยมีเงื่อนไขว่าความเสียหายเกิน VaR สำหรับ GPD (ในกรณีที่ \(\xi < 1\)):
\( \text{TVaR}_p = \frac{\text{VaR}_p + \beta - \xi u}{1 - \xi} \)

รู้หรือไม่? ถ้า \(\xi \ge 1\) ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงจะกลายเป็นอนันต์! นั่นหมายความว่าหาง "อ้วน" มากจน TVaR ไม่มีนิยาม (เป็นอนันต์) ซึ่งเป็นสถานการณ์ที่นักคณิตศาสตร์ประกันภัยต้องพึงระวัง!

5. การนำไปปฏิบัติ: การเลือกเกณฑ์ (Threshold)

เราจะเลือกเกณฑ์ \(u\) อย่างไรดี? นี่คือการปรับสมดุลระหว่าง:
• สูงเกินไป: เราจะมีข้อมูลไม่เพียงพอที่จะได้ค่าประมาณที่ดี (ค่าความแปรปรวนจะสูง)
• ต่ำเกินไป: ทฤษฎีบทอาจยังใช้ไม่ได้ผล และแบบจำลองของเราจะมีอคติ (Bias)

กราฟค่าเฉลี่ยส่วนเกิน (Mean Excess Plot)

เพื่อหา "จุดที่พอเหมาะ" นักคณิตศาสตร์ประกันภัยมักใช้ Mean Excess Plot โดยเราจะพล็อตเกณฑ์ \(u\) เทียบกับค่าเฉลี่ยของส่วนที่เกินจาก \(u\)
• เคล็ดลับสำคัญ: หากข้อมูลเป็นไปตามการแจกแจงแบบ GPD กราฟ Mean Excess Plot ควรจะมีลักษณะเป็น เส้นตรง ให้มองหาจุดที่กราฟเริ่มเป็นเส้นตรง จุดนั้นแหละคือค่าเกณฑ์ \(u\) ของคุณ!

6. สรุปและประเด็นสำคัญ

ข้อผิดพลาดที่ควรหลีกเลี่ยง:
1. สับสนระหว่าง GEV และ GPD: GEV ใช้สำหรับ "Block Maxima" (ค่าสูงสุดหนึ่งค่าต่อปี); GPD ใช้สำหรับ "Peaks Over Threshold" (ทุกค่าที่เกินเกณฑ์)
2. สับสนพารามิเตอร์: ตรวจสอบเสมอว่า \(\xi\) เป็นบวกหรือลบ ค่า \(\xi\) ที่เป็นบวกใน GPD หมายถึงการแจกแจงที่มีหางหนา (คล้าย Pareto) ซึ่งเป็นมาตรฐานสำหรับความรุนแรงใน ASTAM
3. ค่า \(n/n_u\): ในสูตร VaR อย่าลืมว่า \(\frac{n_u}{n}\) คือความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์ของการที่ค่าข้อมูลเกินเกณฑ์ที่กำหนด

ทบทวนประเด็นสำคัญ:
• EVT ช่วยให้เราจำลองเหตุการณ์สุดขั้วที่ดูเหมือน "จำลองไม่ได้"
• GEV = ค่าสูงสุด. GPD = ส่วนที่เกินเกณฑ์
• \(\xi\) (Shape) บอกเราว่าโอกาสเกิด "Mega-losses" มีมากแค่ไหน
• Mean Excess Plot = กราฟที่เป็นเส้นตรงช่วยให้เราเลือกเกณฑ์ \(u\) ได้ถูกต้อง
• VaR/TVaR เป็นเครื่องมือหลักในการกำหนดเงินกองทุนสำรองตามความเสี่ยงเหล่านี้

ไม่ต้องกังวลหากสูตรต่างๆ ดูน่ากลัว ฝึกแทนค่า \(\beta\), \(\xi\), และ \(u\) ลงไป แล้วคุณจะพบว่า GPD นั้นมีความคงเส้นคงวาและคาดการณ์ได้ง่ายเมื่อคุณจับทางได้แล้ว สู้ๆ ครับ คุณทำได้แน่นอน!