Parametric survival models and life tables

ยินดีต้อนรับสู่แบบจำลองการมรณะ: แบบจำลองการอยู่รอดเชิงพารามิเตอร์และตารางชีพ!

สวัสดีว่าที่นักคณิตศาสตร์ประกันภัยทุกคน! ยินดีต้อนรับเข้าสู่บทเรียนที่เป็นหัวใจสำคัญที่สุดบทหนึ่งของเส้นทาง Exam FAM ในส่วนนี้ เราจะมาเรียนรู้วิธีการเปลี่ยนธรรมชาติของชีวิตมนุษย์ที่คาดเดาไม่ได้ให้อยู่ในรูปของคณิตศาสตร์ ทำไมต้องทำแบบนั้นน่ะหรือ? ก็เพราะว่าการจะตั้งราคาเบี้ยประกันภัยหรือประเมินมูลค่าเงินบำนาญ เราจำเป็นต้องทราบความน่าจะเป็นที่บุคคลหนึ่งจะมีชีวิตอยู่เพื่อรับผลประโยชน์ หรือเสียชีวิตเพื่อดำเนินการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนนั่นเอง

ลองนึกภาพว่าบทนี้คือ "กฎกติกา" สำหรับการจำลองว่าผู้คนมีอายุเพิ่มขึ้นและเสียชีวิตอย่างไรในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเรา เราจะมาดูทั้ง แบบจำลองเชิงพารามิเตอร์ (Parametric Models) (สูตรคณิตศาสตร์ที่เรียบง่าย) และ ตารางชีพ (Life Tables) (ตารางข้อมูลที่จัดระเบียบไว้อย่างดี) ไม่ต้องกังวลหากสูตรต่างๆ จะดูน่าเกรงขามในตอนแรก เพราะเราจะค่อยๆ ถอดรหัสทำความเข้าใจไปทีละส่วน!

1. พื้นฐาน: การมีชีวิตและการเสียชีวิต

ก่อนที่เราจะไปดูแบบจำลองที่ซับซ้อน เราต้องเข้าใจ "ตัวละคร" หลักสองตัวในเรื่องนี้ก่อน นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตอยู่และความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิต

• \( S_0(x) \) (ฟังก์ชันการอยู่รอด - Survival Function): คือความน่าจะเป็นที่เด็กแรกเกิดจะมีชีวิตอยู่จนถึงอายุอย่างน้อย \( x \) ปี ค่านี้จะเริ่มที่ 1 (ทุกคนมีชีวิตอยู่เมื่อแรกเกิด) และค่อยๆ ลดลงจนเป็น 0 (ทุกคนย่อมเสียชีวิตในที่สุด)
• \( F_0(x) \) (ฟังก์ชันการแจกแจง - Distribution Function): คือความน่าจะเป็นที่เด็กแรกเกิดจะเสียชีวิต ก่อน อายุ \( x \) ปี ซึ่งมีค่าเท่ากับ \( 1 - S_0(x) \) ง่ายๆ แค่นี้เลย
• \( {}_t p_x \): คือความน่าจะเป็นที่ผู้ที่มีอายุ \( x \) ปีอยู่แล้ว จะมีชีวิตอยู่ต่อไปได้อีก \( t \) ปี ในทางคณิตศาสตร์คือ \( {}_t p_x = \frac{S_0(x+t)}{S_0(x)} \)
• \( {}_t q_x \): คือความน่าจะเป็นที่ผู้ที่มีอายุ \( x \) ปีจะเสียชีวิตภายใน \( t \) ปีข้างหน้า ในทางคณิตศาสตร์คือ \( {}_t q_x = 1 - {}_t p_x \)

เปรียบเทียบ: แบตเตอรี่สมาร์ทโฟน

ลองนึกถึงแบตเตอรี่มือถือ \( S_0(x) \) ก็เหมือนความน่าจะเป็นที่แบตเตอรี่จะยังทำงานได้หลังจากผ่านไป \( x \) ชั่วโมง ส่วน \( {}_t p_x \) ก็เหมือนกับการถามว่า "ถ้าตอนนี้มือถือฉันเหลือแบต 50% หลังจากใช้ไป 4 ชั่วโมงแล้ว โอกาสที่มันจะอยู่รอดไปได้อีก 2 ชั่วโมงคือเท่าไหร่กันนะ?"

ข้อคิดสำคัญ

ทุกอย่างในบทนี้คือ "อัตราส่วน" หากต้องการหาความน่าจะเป็นในการมีชีวิตอยู่จากอายุ 40 ไปถึง 50 คุณก็แค่ดูว่ามีคนกี่เปอร์เซ็นต์ที่ไปถึงอายุ 50 ได้ เมื่อเทียบกับคนที่ยังมีชีวิตอยู่ตอนอายุ 40

2. แรงแห่งการมรณะ (Force of Mortality) \( \mu_x \)

แรงแห่งการมรณะ (Force of Mortality) เป็นแนวคิดที่สำคัญมาก มันคืออัตราการตายแบบ ณ ขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous) ที่อายุ \( x \) ปี นี่ไม่ใช่ความน่าจะเป็น (เพราะค่าอาจมากกว่า 1 ได้!) แต่เป็น "ความเข้มข้น" ของความเสี่ยงที่จะเสียชีวิต ณ เสี้ยววินาทีนั้น

สูตรที่ต้องจำคือ:
\( \mu_x = -\frac{1}{S_0(x)} \frac{d}{dx} S_0(x) = -\frac{d}{dx} \ln(S_0(x)) \)

ทบทวนสั้นๆ: ถ้าโจทย์ให้ \( \mu_x \) มาแล้วคุณต้องการหาความน่าจะเป็นในการอยู่รอด ให้ใช้ "เทคนิคการอินทิเกรต" นี้:
\( {}_t p_x = e^{-\int_{0}^{t} \mu_{x+s} ds} \)

ข้อผิดพลาดที่ควรหลีกเลี่ยง

นักศึกษามักสับสนระหว่าง \( q_x \) กับ \( \mu_x \) จำไว้ว่า: \( q_x \) คือความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตในระยะเวลา หนึ่งปีเต็ม ในขณะที่ \( \mu_x \) คือแรงกดดันของการเสียชีวิต ณ เสี้ยววินาทีเดียว

3. แบบจำลองการอยู่รอดเชิงพารามิเตอร์

นักคณิตศาสตร์ประกันภัยใช้รูปทรงทางคณิตศาสตร์เฉพาะตัวเพื่ออธิบายการมรณะ นี่คือ 4 รูปแบบที่คุณต้องรู้สำหรับ Exam FAM:

A. แบบจำลองเอกซ์โพเนนเชียล (แรงแห่งการมรณะคงที่ - Constant Force)

ในแบบจำลองนี้ ความเสี่ยงในการเสียชีวิตจะเท่าเดิมเสมอไม่ว่าอายุเท่าไหร่ เปรียบเสมือนเครื่องจักรที่ไม่เคยเสื่อมสภาพ จะพังก็ต่อเมื่อเกิดอุบัติเหตุแบบสุ่มเท่านั้น
• สูตร: \( \mu_x = \mu \) (ค่าคงที่)
• การอยู่รอด: \( {}_t p_x = e^{-\mu t} \)
• เทคนิคช่วยจำ: "ค่าคงที่คือความน่าเบื่อ" โอกาสรอดชีวิต 10 ปีมีค่าเท่ากันเสมอ ไม่ว่าคุณจะอายุ 20 หรือ 80 ปี

B. แบบจำลองกอมเพิร์ตซ์ (Gompertz Model)

แบบจำลองนี้สมจริงสำหรับมนุษย์มากขึ้น โดยสมมติว่าความเสี่ยงในการเสียชีวิตจะเพิ่มขึ้นแบบ เอกซ์โพเนนเชียล เมื่ออายุมากขึ้น
• สูตร: \( \mu_x = B \cdot c^x \)
• การอยู่รอด: \( {}_t p_x = \exp\left[ -\frac{B \cdot c^x (c^t - 1)}{\ln c} \right] \)
• จุดสังเกต: ถ้าเห็นสูตรที่มีอายุ \( x \) อยู่ใน เลขชี้กำลัง (เช่น \( 0.001 \cdot 1.1^x \)) ให้คิดถึงกอมเพิร์ตซ์ไว้เลย!

C. แบบจำลองเมคแฮม (Makeham Model)

เมคแฮมนำแบบจำลองกอมเพิร์ตซ์มาพัฒนาโดยเพิ่มค่าคงที่ (\( A \)) เข้าไป เพื่ออธิบาย "การเสียชีวิตจากอุบัติเหตุ" ที่ไม่ขึ้นกับอายุ
• สูตร: \( \mu_x = A + B \cdot c^x \)
• การอยู่รอด: ก็คือการอยู่รอดของกอมเพิร์ตซ์คูณด้วย \( e^{-At} \)
• รู้หรือไม่? นี่คือหนึ่งในแบบจำลองแรกๆ ที่อธิบายการเสียชีวิตของผู้ใหญ่ในประชากรกลุ่มต่างๆ ได้อย่างแม่นยำ

D. แบบจำลองไวบูล (Weibull Model)

ในแบบจำลองนี้ แรงแห่งการมรณะเป็น ฟังก์ชันกำลัง ของอายุ
• สูตร: \( \mu_x = k \cdot x^n \)
• การอยู่รอด: \( S_0(x) = e^{-\frac{k}{n+1} x^{n+1}} \)
• วิธีสังเกต: มองหาอายุ \( x \) ที่ยกกำลังเลขคงที่ (เช่น \( x^2 \) หรือ \( \sqrt{x} \))

สรุปข้อคิดสำคัญ

• Exponential: \( \mu_x \) เป็นเส้นตรงแนวนอน
• Gompertz: \( \mu_x \) เพิ่มขึ้นเหมือนเส้นโค้งดอกเบี้ยทบต้น
• Makeham: Gompertz + อัตราการเสียชีวิตจากอุบัติเหตุ (คงที่)
• Weibull: \( \mu_x \) เพิ่มขึ้นเหมือนพหุนาม (เช่น \( x^2 \))

4. ตารางชีพ (Life Table)

ถ้าแบบจำลองเชิงพารามิเตอร์คือ "สูตร" ตารางชีพก็คือ "สเปรดชีต" ที่ให้ภาพรวมของกลุ่มประชากร (เรียกว่า รุ่นหรือ Cohort) ขณะที่พวกเขามีอายุมากขึ้น

สัญลักษณ์มาตรฐาน:
• \( l_x \): จำนวนคนที่มีชีวิตอยู่ที่อายุ \( x \) เรามักเริ่มที่ตัวเลขกลมๆ เช่น 100,000 (เรียกว่า Radix)
• \( d_x \): จำนวนคนที่เสียชีวิตระหว่างอายุ \( x \) ถึง \( x+1 \) สูตรคือ \( d_x = l_x - l_{x+1} \)
• \( p_x \): ความน่าจะเป็นที่คนอายุ \( x \) จะมีชีวิตอยู่ถึงอายุ \( x+1 \) สูตรคือ \( p_x = \frac{l_{x+1}}{l_x} \)
• \( q_x \): ความน่าจะเป็นที่คนอายุ \( x \) จะเสียชีวิตก่อนอายุ \( x+1 \) สูตรคือ \( q_x = \frac{d_x}{l_x} \)

ขั้นตอนการคำนวณในตาราง

1. เริ่มต้นด้วย \( l_x \)
2. คูณด้วย \( q_x \) เพื่อหาจำนวนคนที่เสียชีวิต (\( d_x \))
3. นำ \( d_x \) ไปลบออกจาก \( l_x \) เพื่อหาจำนวนผู้รอดชีวิตในปีถัดไป (\( l_{x+1} \))
4. ทำซ้ำเรื่อยๆ!

ข้อคิดสำคัญ

\( l_x \) เป็นเพียงเวอร์ชันขยายขนาดของฟังก์ชันการอยู่รอด กล่าวคือ \( S_0(x) = \frac{l_x}{l_0} \) ถ้าคุณบวกลบคูณหารเศษส่วนพื้นฐานได้ คุณก็เป็นเซียนตารางชีพได้ไม่ยาก!

5. อายุที่ไม่เต็มปี (การประมาณค่า - Interpolation)

ตารางชีพมักให้ข้อมูลเฉพาะอายุเต็มปี (40, 41, 42 ปี) แต่ถ้าเราอยากรู้ความน่าจะเป็นที่คนจะเสียชีวิตตอนอายุ 40.5 ปีล่ะ? เราต้อง "เติมช่องว่าง" นั้น ซึ่งมี 2 วิธีหลักสำหรับ Exam FAM:

A. การกระจายตัวของการเสียชีวิตแบบสม่ำเสมอ (Uniform Distribution of Deaths - UDD)

เราสมมติว่าการเสียชีวิตเกิดขึ้นอย่างสม่ำเสมอตลอดทั้งปี เปรียบเหมือนการลาก เส้นตรง เชื่อมระหว่าง \( l_x \) และ \( l_{x+1} \)
• สูตร: \( {}_s q_x = s \cdot q_x \) (สำหรับ \( 0 < s < 1 \))
• เปรียบเทียบ: ถ้ามีคนตาย 100 คนในหนึ่งปี UDD สมมติว่ามีคนตาย 50 คนใน 6 เดือนแรกพอดี

B. แรงแห่งการมรณะคงที่ (Constant Force - CF)

เราสมมติว่า แรง แห่งการมรณะ (\( \mu \)) มีค่าคงที่ ระหว่าง วันเกิด ถึงแม้ว่ามันจะเปลี่ยนไปในแต่ละปีก็ตาม ซึ่งจะทำให้เกิดเป็น เส้นโค้ง เล็กน้อย
• สูตร: \( {}_s p_x = (p_x)^s \)
• ข้อแตกต่างหลัก: วิธี CF จะให้ความน่าจะเป็นในการอยู่รอดที่สูงกว่า UDD เล็กน้อยภายในปีนั้น

สรุปทบทวน

ถ้าอายุไม่เต็มปี (เช่น 0.5):
• UDD: ใช้คณิตศาสตร์เชิงเส้น (การคูณ/การบวก)
• Constant Force: ใช้คณิตศาสตร์แบบเอกซ์โพเนนเชียล (เลขยกกำลัง)

เคล็ดลับสุดท้ายเพื่อความสำเร็จ

• อย่าตื่นตระหนก: โจทย์หลายข้อดูซับซ้อน แต่จริงๆ แค่ต้องการให้คุณหาอัตราส่วนของตัวเลขสองตัวจากตารางหรือสูตรเท่านั้น
• ฝึกสัญลักษณ์ให้คล่อง: ต้องแยกให้ออกทันทีระหว่าง \( {}_n q_x \) (ตายภายใน \( n \) ปี) กับ \( {}_m|{}_n q_x \) (รอดไปได้ \( m \) ปี แล้วค่อยไปตายในช่วง \( n \) ปีถัดไป)
• ตรวจสอบคำตอบ: ความน่าจะเป็นต้องอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ ถ้าคำนวณได้ 1.5 แสดงว่าต้องมีอะไรผิดพลาดแล้วล่ะ!

คุณทำได้อยู่แล้ว! หมั่นฝึกฝนการคำนวณ \( l_x \) บ่อยๆ แล้วรูปแบบเหล่านี้จะกลายเป็นเรื่องธรรมชาติสำหรับคุณเอง สู้ๆ!