ยินดีต้อนรับสู่โลกของ Binomial Trees!
สวัสดีครับ! หากคุณกำลังเตรียมตัวสอบ Exam FAM คุณคงเริ่มตระหนักแล้วว่าการตีมูลค่าออปชัน (Option Pricing) นั้นให้ความรู้สึกคล้ายกับการทำนายอนาคต แม้ว่าเราจะไม่มีลูกแก้ววิเศษ แต่เรามีเครื่องมือที่ยอดเยี่ยมกว่านั้น นั่นคือ แบบจำลองการตั้งราคาออปชันแบบทวิภาค (Binomial Option Pricing Model) ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้วิธีการกำหนดราคาออปชันโดยสมมติให้โลกนี้เรียบง่ายกว่าความเป็นจริง แทนที่จะมีผลลัพธ์เป็นไปได้นับไม่ถ้วน เราสมมติว่าราคาหุ้นสามารถเคลื่อนที่ได้เพียงสองทิศทางเท่านั้นคือ ขึ้น (Up) หรือ ลง (Down) ถ้าหากคุณรู้สึกว่าเรื่องนี้ดูนามธรรมไปสักนิดในตอนแรก ไม่ต้องกังวลนะครับ เมื่อคุณมองเห็นแพทเทิร์นแล้ว มันจะกลายเป็นเรื่องง่ายเหมือนกับการอ่านแผนที่เลยล่ะ!
1. แนวคิดหลัก: ทีละขั้นอย่างมั่นคง
แบบจำลองทวิภาคเป็นแบบจำลองแบบ "เวลาไม่ต่อเนื่อง" (discrete-time) ซึ่งหมายความว่าเราพิจารณาอายุของออปชันเป็นช่วงเวลาเฉพาะ (steps) ในเวอร์ชันที่ง่ายที่สุดที่เรียกว่า แบบจำลองช่วงเดียว (Single-Period Model) เราจะดูราคาในวันนี้และราคา ณ วันหมดอายุ
ลองจินตนาการถึงราคาหุ้น \(S\) เมื่อผ่านไปหนึ่งช่วงเวลา จะเกิดเหตุการณ์ขึ้นได้เพียง 2 อย่างคือ:
1. ราคา ขึ้น ไปที่ \(S_u\) (โดยที่ \(S_u = S \times u\))
2. ราคา ลง ไปที่ \(S_d\) (โดยที่ \(S_d = S \times d\))
คำศัพท์สำคัญที่ต้องรู้:
• \(u\): ตัวคูณขาขึ้น (up factor - มักมีค่ามากกว่า 1)
• \(d\): ตัวคูณขาลง (down factor - มักมีค่าน้อยกว่า 1)
• \(r\): อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงแบบทบต้นต่อเนื่อง (continuously compounded risk-free interest rate)
• \(\delta\): อัตราผลตอบแทนจากเงินปันผลแบบทบต้นต่อเนื่อง (continuously compounded dividend yield - ถ้ามี)
• \(h\): ความยาวของช่วงเวลา (เช่น ถ้า 1 ปีเท่ากับ 1 และเรามี 2 ช่วงเวลา ดังนั้น \(h = 0.5\))
คุณรู้หรือไม่? เพื่อให้แบบจำลองนี้สมเหตุสมผลและป้องกันไม่ให้เกิดโอกาสในการ "ทำกำไรโดยไม่มีความเสี่ยง" (arbitrage) อัตราการเติบโตที่ปราศจากความเสี่ยงจะต้องอยู่ระหว่างการเคลื่อนที่ขาลงและขาขึ้น ในทางคณิตศาสตร์คือ: \(d < e^{(r-\delta)h} < u\)
สรุปการตั้งค่า
แบบจำลองทวิภาคทำให้การเคลื่อนไหวของราคาง่ายลงเสมือน "ทางแยก" การรู้ว่าราคาหุ้นอาจจบลงที่ตรงไหน จะช่วยให้เราคำนวณย้อนกลับเพื่อหาว่าออปชันควรมีราคาเท่าใดในวันนี้
2. วิธีที่ 1: พอร์ตโฟลิโอจำลอง (Replicating Portfolio: \(\Delta\) และ \(B\))
นี่มักจะเป็นส่วนที่ยากที่สุดสำหรับนักเรียน แต่เคล็ดลับคือ: ถ้าสินทรัพย์สองอย่างให้ผลตอบแทนในอนาคตเหมือนกันเป๊ะ ทั้งสองอย่างก็ต้องมีราคาในวันนี้เท่ากัน
เราจะสร้างออปชัน "จำลอง" ขึ้นมาด้วยการซื้อหุ้นจำนวนหนึ่ง (เรียกว่า \(\Delta\)) และการกู้ยืมหรือให้กู้เงินจำนวนหนึ่ง (เรียกว่า \(B\)) เราต้องการให้พอร์ตโฟลิโอนี้ (\(\Delta S + B\)) มีมูลค่าเท่ากับมูลค่าออปชันไม่ว่าหุ้นจะขึ้นหรือลงก็ตาม
สูตรคำนวณ:
สำหรับการหาจำนวนหุ้น (\(\Delta\)):
\(\Delta = e^{-\delta h} \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}\)
สำหรับการหาจำนวนเงินในพันธบัตร (\(B\)):
\(B = e^{-rh} \frac{u C_d - d C_u}{u - d}\)
ราคาออปชัน: \(C = \Delta S + B\)
การเปรียบเทียบ: ให้คิดว่า \(\Delta\) คือ "โช้คอัพ" มันจะบอกคุณว่าราคาออปชันเปลี่ยนไปมากน้อยแค่ไหนเมื่อเทียบกับราคาหุ้น ถ้าหุ้นขึ้น 1 ดอลลาร์ แล้วออปชันขึ้น 0.50 ดอลลาร์ ค่า \(\Delta\) ของคุณก็คือ 0.50 นั่นเอง
3. วิธีที่ 2: การตั้งราคาแบบ Risk-Neutral (วิธี "ความคาดหวัง")
นักเรียนส่วนใหญ่ชอบวิธีนี้มากกว่าเพราะดูเหมือนการคำนวณความน่าจะเป็นทั่วไป เราแสร้งทำเป็นว่านักลงทุนไม่สนใจความเสี่ยง ในโลก "Risk-Neutral" นี้ ผลตอบแทนที่คาดหวังจากหุ้นจะเท่ากับอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงพอดี
ขั้นตอนที่ 1: คำนวณความน่าจะเป็นแบบ Risk-Neutral (\(p^*\))
นี่ไม่ใช่ความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้น จริง ที่หุ้นจะขึ้น แต่มันเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์:
\(p^* = \frac{e^{(r-\delta)h} - d}{u - d}\)
ขั้นตอนที่ 2: คำนวณมูลค่าออปชัน
ตอนนี้เราหาผลตอบแทน "เฉลี่ย" แล้วคิดลดกลับมาเป็นมูลค่าปัจจุบัน:
\(C = e^{-rh} [p^* C_u + (1 - p^*) C_d]\)
ทบทวนสั้นๆ:
• \(C_u\) คือผลตอบแทนถ้าหุ้นขึ้น (เช่น \(Max(0, S_u - K)\) สำหรับ Call option)
• \(C_d\) คือผลตอบแทนถ้าหุ้นลง
• อย่าลืมตัวคูณลดค่า \(e^{-rh}\) นะ! การลืมจุดนี้เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดเลย
4. ต้นไม้หลายช่วงเวลา (Multi-Period Trees): การวางแผนล่วงหน้า
ถ้าออปชันมีอายุสองเดือนและเราแบ่งเป็นสองช่วง ช่วงละหนึ่งเดือนล่ะ? เราก็แค่ขยายกิ่งก้านต้นไม้ไปเรื่อยๆ! ต้นไม้สองช่วงจะดูเหมือนใยแมงมุม หุ้นสามารถขึ้น-ขึ้น, ขึ้น-ลง, ลง-ขึ้น, หรือลง-ลง ก็ได้
ข้อควรทราบ: ในแบบจำลองมาตรฐานที่ใช้ใน FAM การที่ราคาหุ้น "ขึ้นแล้วลง" กับ "ลงแล้วขึ้น" จะให้ราคาเท่ากันเสมอ เราเรียกสิ่งนี้ว่า recombining tree ซึ่งทำให้ชีวิตเราง่ายขึ้นเพราะมีจำนวนโหนด (nodes) ที่ต้องคำนวณน้อยลง!
กระบวนการคำนวณย้อนกลับ (Working Backward):
1. เริ่มจากปลายสุด (โหนดสุดท้าย) แล้วคำนวณผลตอบแทนของออปชัน
2. ถอยหลังกลับมาหนึ่งขั้น ใช้สูตร Risk-Neutral เพื่อหาค่าที่โหนดตรงกลาง
3. ถอยหลังต่อไปเรื่อยๆ จนถึง "เวลา 0" (ปัจจุบัน)
ข้อคิดสำคัญ
ไม่ว่าต้นไม้จะมีกี่ก้าน กระบวนการก็ยังคงเหมือนเดิม: คำนวณที่ปลายยอดแล้ว "ดึง" ค่ากลับมายังจุดเริ่มต้นโดยใช้ \(p^*\)
5. ออปชันแบบอเมริกัน vs ยุโรป
ทุกสิ่งที่เราคุยกันข้างต้นใช้ได้ดีกับ ออปชันยุโรป (European Options) (ซึ่งใช้สิทธิได้เฉพาะวันหมดอายุเท่านั้น) อย่างไรก็ตาม ออปชันอเมริกัน (American Options) สามารถใช้สิทธิได้ตลอดเวลา
เมื่อคุณคำนวณย้อนกลับผ่านต้นไม้สำหรับออปชันอเมริกัน ใน ทุกๆ โหนด คุณต้องถามตัวเองว่า:
"ตอนนี้จะใช้สิทธิเลย หรือจะถือออปชันต่อไปดีกว่า?"
กฎการตัดสินใจ:
มูลค่าที่โหนด = \(Max(\text{มูลค่าจากการใช้สิทธิ}, \text{มูลค่าจากการถือต่อ})\)
"มูลค่าจากการถือต่อ" (หรือ continuation value) ก็คือมูลค่าคาดหวังที่คิดลดแล้วที่เราคำนวณโดยใช้ \(p^*\) ในหัวข้อที่แล้วนั่นเอง
จุดที่ต้องระวัง: นักเรียนมักลืมตรวจสอบเรื่องการใช้สิทธิก่อนกำหนดใน American Puts แม้ว่าการใช้สิทธิ American Call ก่อนกำหนดจะเกิดขึ้นได้ยาก (หากไม่มีเงินปันผล) แต่ American Puts มักถูกใช้สิทธิก่อนกำหนดบ่อยครั้งหากราคาหุ้นตกลงอย่างมีนัยสำคัญ!
6. สรุปและเคล็ดลับเพื่อความสำเร็จ
ตัวช่วยจำสำหรับ \(p^*\):
ให้นึกว่า "ผลเติบโตลบตัวคูณขาลง หารด้วย ตัวคูณขาขึ้นลบตัวคูณขาลง" ตัวเศษคือการเติบโตของราคาล่วงหน้า \(e^{(r-\delta)h}\) ลบด้วยตัวคูณขาลง \(d\) ส่วนตัวส่วนก็คือส่วนต่างระหว่างตัวคูณทั้งสอง \(u - d\)
เช็คลิสต์ด่วนก่อนทำโจทย์:
• อัตราดอกเบี้ย \(r\) เป็นรายปีหรือไม่? ถ้าใช่ อย่าลืมคูณด้วย \(h\) ในเลขยกกำลัง
• มีเงินปันผล (\(\delta\)) หรือไม่? จำไว้ว่าเงินปันผลจะไปลดการเติบโตของราคาหุ้นในสูตร \(p^*\)
• เป็นออปชันอเมริกันหรือไม่? ถ้าใช่ ต้องตรวจสอบการใช้สิทธิก่อนกำหนดทุกโหนด!
• คุณใช้ราคาใช้สิทธิ \(K\) ถูกต้องหรือไม่?
คำให้กำลังใจทิ้งท้าย: แบบจำลองทวิภาคเป็นเพียงปริศนาทางตรรกะ เมื่อคุณเริ่มคุ้นเคยกับการวาดต้นไม้และคำนวณย้อนกลับ คุณจะพบว่านี่เป็นคะแนนที่ "เก็บได้ง่ายที่สุด" ส่วนหนึ่งในการสอบ FAM เลยทีเดียว หมั่นฝึกฝนการวาดต้นไม้บ่อยๆ นะครับ!