Value at Risk, Tail Value at Risk, and risk measure properties

ยินดีต้อนรับสู่โลกแห่งการวัดความเสี่ยง (Risk Measures)!

ในการเดินทางผ่านเนื้อหาของข้อสอบ Exam FAM คุณได้เรียนรู้วิธีการสร้างแบบจำลองความเสียหายโดยใช้ ความรุนแรง (Severity) (เสียหายเท่าไหร่) และ ความถี่ (Frequency) (เกิดขึ้นบ่อยแค่ไหน) ไปแล้ว แต่เมื่อเรามีโมเดลเหล่านี้อยู่ในมือ เราจะ "วัด" ความเสี่ยงออกมาได้อย่างไร? บริษัทประกันภัยจะตัดสินใจได้อย่างไรว่าต้องเก็บเงินสำรองไว้ในธนาคารเท่าไหร่ถึงจะไม่ล้มละลาย?

ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับ Value at Risk (VaR), Tail Value at Risk (TVaR) และ คุณสมบัติ (Properties) เชิงวิชาการที่กำหนดว่าการวัดความเสี่ยงแบบไหนคือ "แบบที่ดี" (ซึ่งเราเรียกว่า "Coherence") ไม่ต้องกังวลหากคำศัพท์ทางการเงินเหล่านี้ฟังดูน่ากลัว เพราะในเนื้อแท้ของมัน ทั้งหมดเป็นเพียงวิธีที่ซับซ้อนขึ้นในการมองหาค่า Percentile และค่าเฉลี่ยนั่นเอง!

1. Value at Risk (VaR)

Value at Risk (VaR) ก็คือค่า Percentile เฉพาะของส่วนแจกแจงความเสียหาย (Loss distribution) ถ้าโจทย์ถามหา \(VaR_{0.95}\) สิ่งที่คุณกำลังมองหาคือจำนวนเงินที่ทำให้มีโอกาส 95% ที่ความเสียหายจริงจะน้อยกว่าจำนวนนั้น และมีโอกาสเพียง 5% เท่านั้นที่จะมากกว่า

สูตรการคำนวณ

สำหรับตัวแปรสุ่มของความเสียหาย \(X\), ค่า VaR ที่ระดับความเชื่อมั่น \(p\) คือ:
\(VaR_p(X) = \pi_p = F_X^{-1}(p)\)
โดยที่ \(\pi_p\) คือค่า Percentile ที่ \(100p^{th}\) ของการแจกแจงนั้น

เปรียบเทียบกับเหตุการณ์ในชีวิตประจำวัน

ลองนึกภาพตอนคุณเดินทางไปทำงาน ถ้าเราบอกว่าค่า 95th percentile (VaR) ของเวลาที่ใช้เดินทางคือ 45 นาที นั่นหมายความว่า 95% ของเวลาปกติ คุณจะไปถึงที่ทำงานภายใน 45 นาทีหรือเร็วกว่านั้น จะมีเพียง 5% ของวันที่ "แย่ที่สุด" (เช่น รถติดอุบัติเหตุ หรือพายุเข้า) เท่านั้นที่จะใช้เวลามากกว่า 45 นาที

ข้อผิดพลาดที่ควรระวัง

การสับสนระหว่างความน่าจะเป็นกับจำนวนเงิน: VaR คือ จำนวนเงิน (มูลค่าความเสียหาย) ไม่ใช่เปอร์เซ็นต์ ถ้า \(p = 0.99\), ค่า VaR คือจำนวนเงินที่จุด 99th percentile ไม่ใช่ค่า 0.99

สรุปสั้นๆ: VaR

• คืออะไร? ค่า Percentile (\(\pi_p\))
• บอกอะไรเรา? ความเสียหายสูงสุดที่คาดว่าจะเกิดขึ้น โดยไม่นับรวมกรณีที่แย่ที่สุด \(1-p\) กรณี
• การคำนวณ: สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง ให้แก้สมการ \(F(x) = p\) เพื่อหาค่า \(x\)

2. Tail Value at Risk (TVaR)

VaR ถือว่าดีมากแล้ว แต่มันก็มีจุดอ่อน คือมันไม่สนใจว่าหากเกินขีดจำกัดไปแล้ว ความเสียหายนั้นจะรุนแรงแค่ไหน Tail Value at Risk (TVaR) เข้ามาแก้ปัญหานี้ โดยมันจะตั้งคำถามว่า: "หากเราอยู่ในกรณีที่แย่ที่สุด 5% นั้น ความเสียหาย เฉลี่ย ที่เราควรเตรียมรับมือคือเท่าไหร่?"

สูตรการคำนวณ

TVaR คือ ค่าคาดหมาย (Expected value) ของความเสียหาย ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าความเสียหายนั้นเกินค่า VaR ไปแล้ว:
\(TVaR_p(X) = E[X | X > VaR_p(X)]\)
สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง สามารถคำนวณได้อีกวิธีคือ:
\(TVaR_p(X) = \frac{1}{1-p} \int_{p}^{1} VaR_u(X) du\)

เทคนิคการคำนวณที่ช่วยชีวิตคุณในห้องสอบ

ในห้องสอบ คุณคงไม่อยากเสียเวลาอินทิเกรตยากๆ ลองใช้ความสัมพันธ์เหล่านี้แทน:
1. ใช้ฟังก์ชัน Mean Excess Loss \(e(d)\):
\(TVaR_p(X) = VaR_p(X) + e(VaR_p(X))\)
2. ใช้ค่า Limited Expected Value \(E[X \wedge x]\):
\(TVaR_p(X) = VaR_p(X) + \frac{E[X] - E[X \wedge VaR_p(X)]}{1-p}\)

เกร็ดน่ารู้: ในตำราการเงินอื่นๆ บางครั้ง TVaR ถูกเรียกว่า "Expected Shortfall" หรือ "Conditional Value at Risk (CVaR)" ด้วยนะ!

สรุปสั้นๆ: TVaR

• คืออะไร? ความเสียหายเฉลี่ยที่อยู่ใน "ส่วนหาง" (Tail) ของการแจกแจง
• จุดที่สำคัญ: \(TVaR_p(X)\) จะ มากกว่าหรือเท่ากับ \(VaR_p(X)\) เสมอ
• เทคนิคจำ: VaR คือ "ขอบเขต" ของโซนอันตราย ส่วน TVaR คือ "ค่าเฉลี่ย" ของโซนอันตรายนั้น

3. คุณสมบัติของการวัดความเสี่ยง (Coherence)

ในช่วงปลายยุค 90 นักคณิตศาสตร์ได้กำหนดว่า การวัดความเสี่ยง (\(\rho\)) ที่จะถือว่า "สมเหตุสมผล" หรือ "Coherent" จะต้องปฏิบัติตามกฎ 4 ข้อ ซึ่งกฎเหล่านี้เป็นข้อสอบที่ออกบ่อยมาก!

1. Translation Invariance (การไม่เปลี่ยนแปลงจากการเลื่อนขนาน)

\(\rho(X + c) = \rho(X) + c\)
ความหมายง่ายๆ: ถ้าคุณเพิ่มความเสียหายที่แน่นอนเป็นจำนวน \(c\) เข้าไปในพอร์ตของคุณ ค่าการวัดความเสี่ยงโดยรวมของคุณก็จะเพิ่มขึ้นตามจำนวน \(c\) นั้นเป๊ะๆ

2. Positive Homogeneity (ความเป็นเอกพันธุ์บวก)

\(\rho(cX) = c\rho(X)\) สำหรับ \(c > 0\)
ความหมายง่ายๆ: ถ้าคุณเพิ่มขนาดพอร์ตเป็นสองเท่า (ความเสียหายเพิ่มเป็นสองเท่า) ค่าการวัดความเสี่ยงของคุณก็จะเพิ่มเป็นสองเท่าด้วย ในกรณีนี้จะไม่มีส่วนลดหรือค่าปรับจากการเพิ่มสเกล

3. Subadditivity (ความเป็นกึ่งบวก)

\(\rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y)\)
ความหมายง่ายๆ: การกระจายความเสี่ยงเป็นเรื่องที่ดี! ความเสี่ยงของสองสิ่งรวมกันควรน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของความเสี่ยงของแต่ละสิ่งแยกกัน
จุดสำคัญมาก: VaR ไม่เป็น Subadditive เสมอไป นี่คือเหตุผลที่ผู้เชี่ยวชาญหลายคนชอบใช้ TVaR มากกว่า เพราะ TVaR เป็น Subadditive

4. Monotonicity (ความเป็นทางเดียว)

ถ้า \(X \leq Y\) สำหรับทุกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ แล้ว \(\rho(X) \leq \rho(Y)\)
ความหมายง่ายๆ: ถ้าความเสียหาย B แย่กว่าความเสียหาย A เสมอ ค่าการวัดความเสี่ยงของ B ก็ต้องมากกว่าของ A

เทคนิคช่วยจำ: เพื่อให้จำคุณสมบัติทั้ง 4 ข้อนี้ได้ ให้คิดถึง "MSPT": Monotonicity, Subadditivity, Positive Homogeneity, และ Translation Invariance (จำว่า "My Stats Professor is Tough")

ใจความสำคัญ

การวัดความเสี่ยงจะถูกเรียกว่า Coherent หากมันมีคุณสมบัติครบทั้ง 4 ข้อนี้ TVaR เป็น Coherent แต่ VaR ไม่ใช่ (เพราะ VaR สอบตกในคุณสมบัติ Subadditivity)

4. การทำงานกับการแจกแจงแบบปกติ

ข้อสอบมักจะให้คุณคำนวณ VaR หรือ TVaR สำหรับการแจกแจงแบบเฉพาะเจาะจง นี่คือ "สูตรลัด" สำหรับสองแบบที่เจอบ่อยที่สุด:

การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)

ถ้า \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\):
• \(VaR_p(X) = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p)\)
• \(TVaR_p(X) = \mu + \sigma \cdot \frac{\phi(\Phi^{-1}(p))}{1-p}\)
*(โดยที่ \(\phi\) คือค่า PDF ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน และ \(\Phi^{-1}\) คือค่า z-score จากตาราง)*

การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Distribution)

ถ้า \(X \sim Exp(\theta)\) (โดย \(\theta\) คือค่าเฉลี่ย):
• \(VaR_p(X) = -\theta \ln(1-p)\)
• \(TVaR_p(X) = VaR_p(X) + \theta\)
*หมายเหตุ: เป็นเพราะการแจกแจง Exponential มีคุณสมบัติ "ไร้ความจำ" (Memoryless) ดังนั้นค่าเฉลี่ยที่มากกว่า threshold ใดๆ จะยังคงเท่ากับค่าเฉลี่ยเดิม \(\theta\) เสมอ!*

ตารางสรุป: VaR vs. TVaR

VaR:
- ตรรกะ: "ความเสียหายขั้นต่ำของกรณีที่แย่ที่สุด 5% คือเท่าไหร่?"
- การคำนวณ: ค่า Percentile ปกติ
- เป็น Coherent? ไม่ (สอบตกเรื่อง Subadditivity)
- ข้อมูล: ไม่สนใจความรุนแรงของเหตุการณ์ที่สุดโต่งในส่วนหาง

TVaR:
- ตรรกะ: "ความเสียหายเฉลี่ยของกรณีที่แย่ที่สุด 5% คือเท่าไหร่?"
- การคำนวณ: ค่าคาดหมายภายใต้เงื่อนไข
- เป็น Coherent? ใช่
- ข้อมูล: คำนึงถึงความหนักของหางการแจกแจง (Tail severity)

ฝึกฝนต่อไปนะ! การวัดความเสี่ยงเป็นหนึ่งในส่วนที่ "เข้าใจง่าย" ที่สุดของ Exam FAM ถ้าคุณผ่านเรื่องสัญลักษณ์ไปได้ คุณทำได้แน่นอน!