Geometric progression annuities (finite term and perpetuity)

ยินดีต้อนรับสู่โลกของการจ่ายเงินที่มีการเติบโต!

ในบทเรียนก่อนหน้านี้ เราได้เรียนเกี่ยวกับเงินรายปี (annuities) ที่มีการจ่ายเงินในแต่ละงวดเท่ากันเสมอ (level payments) แต่ในโลกแห่งความเป็นจริง อะไรๆ ก็เปลี่ยนแปลงได้! ลองนึกถึงงานที่คุณได้รับเงินเดือนเพิ่มขึ้น 3% ทุกปี หรือเงินบำนาญที่ปรับเพิ่มขึ้นเพื่อให้ทันกับอัตราเงินเฟ้อดูสิ สิ่งเหล่านี้คือ เงินรายปีแบบอัตราเติบโตคงที่ (Geometric Progression Annuities)

ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้วิธีการหามูลค่าของกระแสเงินสดที่เติบโต (หรือลดลง) เป็นเปอร์เซ็นต์คงที่ในแต่ละงวด ไม่ต้องกังวลไปนะถ้ามันดูซับซ้อนกว่าเงินรายปีแบบคงที่ เพราะเมื่อคุณมองเห็นรูปแบบของมันแล้ว มันก็เหมือนจิ๊กซอว์ที่ต่อเข้ากันได้อย่างลงตัวนั่นเอง!

ลำดับเรขาคณิต (Geometric Progression) คืออะไร?

ก่อนที่เราจะเข้าสู่สูตรคำนวณ เรามาทำความเข้าใจแนวคิดกันก่อน ลำดับเรขาคณิต คือลำดับของตัวเลขที่แต่ละพจน์เกิดจากการนำพจน์ก่อนหน้ามาคูณด้วยตัวเลขคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งเราเรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio)

ตัวอย่างเปรียบเทียบในชีวิตจริง: ลองจินตนาการว่าคุณมีเหรียญวิเศษที่มูลค่าเพิ่มขึ้นสองเท่าทุกวัน วันแรกคุณมี 1 เซนต์ วันที่สองมี 2 เซนต์ วันที่สามมี 4 เซนต์ ไปเรื่อยๆ แต่ละวันจะถูกคูณด้วย 2 นี่แหละคือลำดับเรขาคณิต!

ในการสอบ Exam FM เรามักจะใช้ตัวอักษร \(g\) เพื่อแทน อัตราการเติบโต (growth rate) หากเงินที่ได้รับของคุณเพิ่มขึ้น 5% แสดงว่าอัตราส่วนร่วมของคุณคือ \((1 + 0.05) = 1.05\)

โครงสร้างของเงินรายปีแบบอัตราเติบโตคงที่

มาดู เงินรายปีแบบจ่ายปลายงวด (annuity-immediate) มาตรฐานกัน (โดยที่การจ่ายเงินงวดแรกเกิดขึ้น ณ สิ้นงวดที่ 1 หรือ \(t=1\)):

1. การจ่ายงวดแรกคือ \(P\) ณ เวลา \(t = 1\)
2. การจ่ายงวดที่สองคือ \(P(1+g)\) ณ เวลา \(t = 2\)
3. การจ่ายงวดที่สามคือ \(P(1+g)^2\) ณ เวลา \(t = 3\)
4. การจ่ายงวดที่ \(n\) คือ \(P(1+g)^{n-1}\) ณ เวลา \(t = n\)

ทบทวนสั้นๆ: สังเกตว่าเลขชี้กำลังของตัวเติบโตจะ น้อยกว่า เลขเวลาอยู่ 1 เสมอ เช่น ณ เวลาที่ 10 การเติบโตจะเกิดขึ้นไปแล้ว 9 ครั้ง

การคำนวณมูลค่าปัจจุบัน (Present Value: PV)

มูลค่าปัจจุบันคือมูลค่ารวมของเงินที่เติบโตในอนาคตทั้งหมด ณ เวลาปัจจุบัน (\(t=0\)) วิธีการหานั้นคือการคิดลด (discount) เงินแต่ละงวดกลับมายังจุดเริ่มต้นโดยใช้อัตราดอกเบี้ย \(i\)

สูตรสำหรับหาค่าปัจจุบันของเงินรายปีแบบจ่ายปลายงวดที่มีอัตราเติบโตคงที่ สำหรับ \(n\) งวด คือ:

\(PV = P \left[ \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i - g} \right]\)

เงื่อนไขสำคัญ: สูตรนี้ใช้ได้ตราบเท่าที่ \(i \neq g\) แล้วถ้ามันเท่ากันจะเป็นอย่างไร? เดี๋ยวเรามาดูกัน!

ตัวอย่างทีละขั้นตอน

สถานการณ์: คุณได้รับสัญญาว่าจะมีการจ่ายเงินรายปีจำนวน 10 งวด โดยงวดแรกคือ 1,000 ดอลลาร์ ในอีกหนึ่งปีข้างหน้า และแต่ละงวดถัดไปจะเพิ่มขึ้น 4% โดยมีอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปีอยู่ที่ 6%

1. ระบุตัวแปร: \(P = 1000\), \(g = 0.04\), \(i = 0.06\), \(n = 10\)
2. แทนค่าลงในสูตร:
\(PV = 1000 \left[ \frac{1 - (\frac{1.04}{1.06})^{10}}{0.06 - 0.04} \right]\)
3. คำนวณอัตราส่วน: \(\frac{1.04}{1.06} \approx 0.98113\)
4. ยกกำลัง 10: \(0.98113^{10} \approx 0.82655\)
5. คำนวณผลลัพธ์: \(1000 \left[ \frac{1 - 0.82655}{0.02} \right] = 1000 \left[ \frac{0.17345}{0.02} \right] = 8,672.50\)

กรณีพิเศษ: ถ้า \(i = g\) ล่ะ?

ถ้าอัตราดอกเบี้ยและอัตราการเติบโตเท่ากันพอดี สูตรข้างต้นจะทำให้เราต้องหารด้วยศูนย์ ซึ่งเราทำไม่ได้! แต่อย่าเพิ่งตกใจไป ถ้า \(i = g\) การคำนวณจะง่ายขึ้นเยอะเลย

เมื่อ \(i = g\) เงินทุกงวดเมื่อคิดลดกลับมาที่เวลา 0 จะมีมูลค่าเท่ากันหมด! โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มูลค่าปัจจุบันของแต่ละงวดจะเท่ากับ \(\frac{P}{1+i}\) และเนื่องจากมีการจ่ายทั้งหมด \(n\) งวด สูตรจึงเป็น:

\(PV = n \cdot \frac{P}{1+i}\) (ใช้เฉพาะเมื่อ \(i = g\))

เทคนิคจำ: ให้คิดว่าเป็น "เวอร์ชันอย่างง่าย" แค่เอาจำนวนงวดคูณกับมูลค่าที่คิดลดของเงินงวดแรกสุดก็พอ

เงินรายปีตลอดชีพแบบเติบโต (Geometric Perpetuities)

เงินรายปีตลอดชีพ (perpetuity) คือเงินรายปีที่จ่ายไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (\(n = \infty\)) ในข้อสอบ คุณจะเจอคำต่างๆ เช่น "จ่ายไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีกำหนด" หรือ "ตลอดไป"

เพื่อให้เงินรายปีตลอดชีพแบบเติบโตมีค่าจำกัดได้นั้น อัตราการเติบโต \(g\) ต้อง น้อยกว่า อัตราดอกเบี้ย \(i\) หากเงินที่จ่ายโตเร็วกว่าอัตราดอกเบี้ยที่จะคิดลด มูลค่าจะเป็นอินฟินิตี้ (มหาศาล)!

สูตรสำหรับหามูลค่าปัจจุบันของเงินรายปีตลอดชีพแบบจ่ายปลายงวดที่มีอัตราเติบโต คือ:

\(PV = \frac{P}{i - g}\)

รู้หรือไม่? สูตรนี้มักถูกเรียกว่า "Gordon Growth Model" ในการประเมินมูลค่าหุ้น ซึ่งใช้คำนวณราคาหุ้นจากเงินปันผลที่เติบโตอย่างต่อเนื่อง

สรุปสูตร

ระยะเวลาจำกัด (\(i \neq g\)): \(PV = P \left[ \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i - g} \right]\)
ระยะเวลาจำกัด (\(i = g\)): \(PV = \frac{n \cdot P}{1+i}\)
ตลอดชีพ (\(i > g\)): \(PV = \frac{P}{i - g}\)

ข้อควรระวัง

แม้แต่นักเรียนที่เก่งที่สุดก็อาจพลาดจุดเหล่านี้ได้ ลองสังเกตให้ดี!

1. สับสนระหว่าง \(i\) กับ \(g\): จำไว้เสมอว่า \(i\) คือดอกเบี้ยที่ธนาคารให้ และ \(g\) คือเงินที่เพิ่มขึ้นในแต่ละปี ในตัวส่วนต้องเป็น \(i - g\) เสมอ
2. การจ่ายงวดแรก (\(P\)): ตรวจสอบให้แน่ใจว่า \(P\) คือเงินที่จ่าย ณ เวลา 1 หากโจทย์บอกว่าจ่าย วันนี้ (วันนี้=0) 100 ดอลลาร์ แล้วเริ่มเติบโตในปีถัดไป แสดงว่าเงินที่จ่าย ณ เวลาที่ 1 คือ \(100(1+g)\)
3. Annuity Due กับ Annuity Immediate: หากเป็น annuity-due (จ่ายต้นงวด) ให้คำนวณหา PV เหมือนเป็น annuity-immediate แล้วคูณผลลัพธ์ทั้งหมดด้วย \((1+i)\)
4. อัตราเติบโตติดลบ: การเติบโตไม่จำเป็นต้องเป็นบวกเสมอไป! หากเงินที่จ่ายลดลง 2% ทุกปี แสดงว่า \(g = -0.02\) สูตรยังคงใช้ได้ผลดี แค่ระวังเรื่องเครื่องหมายให้ดี (\(i - (-g) = i + g\))

ทบทวนสั้นๆ: ประเด็นสำคัญ

- แนวคิด: เงินรายปีแบบเติบโตจะเพิ่มขึ้นเป็นเปอร์เซ็นต์คงที่ ไม่ใช่จำนวนเงินคงที่
- ตัวแปร: \(P\) = งวดแรก, \(g\) = อัตราเติบโต, \(i\) = อัตราดอกเบี้ย, \(n\) = จำนวนงวด
- กฎ "I ลบ G": สูตรส่วนใหญ่จะมี \(i - g\) อยู่ที่ตัวส่วน
- ตลอดชีพ: ถ้าจ่ายตลอดไป PV คือเงินงวดแรกหารด้วย \((i - g)\)
- ไม่ต้องตื่นเต้น: ถ้า \(i = g\), PV จะเท่ากับ \(n \times \text{มูลค่าของงวดแรกที่คิดลดแล้ว}\)

คุณทำได้อยู่แล้ว! ลองฝึกทำโจทย์โดยการระบุตัวแปร \(P\), \(i\), และ \(g\) ให้ชัดเจนก่อน แล้วคุณจะเห็นว่าสูตรที่ดู "น่ากลัว" เหล่านี้ จริงๆ แล้วเป็นเครื่องมือที่ใช้งานง่ายมาก!