Joint probability and cumulative distribution functions (discrete)

ยินดีต้อนรับสู่โลกของตัวแปรสุ่มคู่!

จนถึงตอนนี้ คุณอาจจะใช้เวลาส่วนใหญ่ไปกับการดูตัวแปรสุ่มทีละตัว (เช่น จำนวนการเคลมประกันในหนึ่งวัน) แต่ในโลกแห่งความเป็นจริง—รวมถึงในข้อสอบ Exam P—เหตุการณ์ต่างๆ มักไม่ได้เกิดขึ้นแบบโดดเดี่ยว โดยปกติเรามักจะสนใจว่าตัวแปรสองตัวขึ้นไปมีความสัมพันธ์กันอย่างไร ซึ่งเราเรียกสิ่งนี้ว่า ตัวแปรสุ่มหลายตัวแปร (Multivariate Random Variables)

ในบทนี้ เราจะเน้นไปที่ตัวแปรแบบ ไม่ต่อเนื่อง (Discrete) ลองจินตนาการว่าเรากำลังดู "ตาราง" ของความเป็นไปได้ แทนที่จะเป็นเส้นตรงเส้นเดียว ถ้ารู้สึกยากในตอนแรก ไม่ต้องกังวลนะ! เมื่อคุณเริ่มเห็นรูปแบบในตารางแล้ว มันจะกลายเป็นเรื่องที่ง่ายขึ้นเยอะเลย!

1. ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นร่วม (Joint Probability Mass Function: PMF)

เมื่อเรามีตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสองตัวคือ \(X\) และ \(Y\) เรามักอยากรู้ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ ทั้งสอง จะเกิดขึ้นพร้อมกัน เราจะเขียนแทนด้วย \(p(x, y)\) หรือ \(P(X = x, Y = y)\)

การเปรียบเทียบกับ "การสั่งอาหารในร้านฟาสต์ฟู้ด"

ลองจินตนาการว่าคุณอยู่ที่ร้านฟาสต์ฟู้ด \(X\) คือจำนวนเบอร์เกอร์ที่ลูกค้าสั่ง (0, 1, หรือ 2 ชิ้น) และ \(Y\) คือจำนวนแก้วน้ำอัดลม (0, 1, หรือ 2 แก้ว) Joint PMF จะบอกความน่าจะเป็นของชุดการสั่งที่เฉพาะเจาะจง เช่น "โอกาสที่ลูกค้าสั่งเบอร์เกอร์ พอดี 2 ชิ้น และน้ำอัดลม 1 แก้ว คือเท่าไหร่?"

กฎของ Joint PMF

เช่นเดียวกับตัวแปรตัวเดียว มันมีกฎทองสองข้อสำหรับ Joint PMF ที่ใช้ได้จริง:
1. ความเป็นบวก: ความน่าจะเป็นในแต่ละช่องต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 เสมอ: \(p(x, y) \ge 0\)
2. ผลรวมทั้งหมด: ถ้าคุณรวมทุกช่องในตารางของคุณเข้าด้วยกัน ผลรวมทั้งหมดต้องเท่ากับ 1 เสมอ: \(\sum_x \sum_y p(x, y) = 1\)

ทบทวนสั้นๆ: มุมมองแบบตาราง

ข้อสอบ Exam P ส่วนใหญ่สำหรับตัวแปรสุ่มร่วมแบบไม่ต่อเนื่องจะให้ตารางมา โดยแถวจะแสดงค่าของ \(X\) และคอลัมน์จะแสดงค่าของ \(Y\) แต่ละช่องในตารางคือ ความน่าจะเป็นร่วม (joint probability) สำหรับคู่นั้นๆ

ประเด็นสำคัญ: Joint PMF เป็นเพียงวิธีการแจกแจงค่าความน่าจะเป็นแบบ "และ" (ทั้ง \(X\) และ \(Y\)) ให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น

2. ความน่าจะเป็นส่วนขอบ (Marginal Probabilities): "การหาผลรวมออก"

บางครั้งเรามีตารางของ \(X\) และ \(Y\) แต่จู่ๆ เราก็สนใจแค่ \(X\) เพียงตัวเดียวเท่านั้น เราเรียกสิ่งนี้ว่าการหา การแจกแจงส่วนขอบ (Marginal Distribution)

วิธีการทำ

ถ้าคุณต้องการ Marginal Probability ของ \(X\) คุณก็แค่ รวมค่าในทุกๆ \(Y\) ที่เป็นไปได้ เหมือนกับการที่เราไม่สนใจจำนวนน้ำอัดลม แล้วดูแค่ยอดรวมของเบอร์เกอร์ทั้งหมดนั่นเอง

สูตรสำหรับ \(X\): \(p_X(x) = \sum_{all y} p(x, y)\)
สูตรสำหรับ \(Y\): \(p_Y(y) = \sum_{all x} p(x, y)\)

เทคนิคการจำ: ทำไมถึงเรียกว่า "Marginal"?

ลองนึกถึงกระดาษแผ่นหนึ่ง คำว่า margins หมายถึง "ขอบกระดาษ" ในการหา marginal probability คุณเพียงแค่รวมตัวเลขในแถวหรือคอลัมน์ แล้วนำผลรวมนั้นไปเขียนไว้ที่ ขอบตาราง (margins) นั่นเอง!

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: เวลาคำนวณ marginal สำหรับ \(X\) นักเรียนบางคนมักเผลอไปรวมค่า \(X\) เอง จำไว้ว่า: ในการหา "ผลรวม" สำหรับ \(X\) ค่าใดค่าหนึ่ง คุณต้องนำค่า \(Y\) ทั้งหมดที่เป็นไปได้มาบวกเข้าด้วยกัน

3. ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมร่วม (Joint Cumulative Distribution Function: CDF)

Joint CDF เขียนแทนด้วย \(F(x, y)\) คือความน่าจะเป็นที่ \(X\) มีค่า น้อยกว่าหรือเท่ากับ ค่าหนึ่ง และ \(Y\) มีค่า น้อยกว่าหรือเท่ากับ อีกค่าหนึ่ง

\(F(x, y) = P(X \le x, Y \le y)\)

กฎ "มุมล่างซ้าย"

ในตารางแบบไม่ต่อเนื่อง ถ้าคุณต้องการหา \(F(1, 2)\) คุณก็แค่หาช่องที่จุด \((1, 2)\) แล้ว รวมความน่าจะเป็นทุกช่อง ที่อยู่ทางซ้ายและอยู่ด้านล่างของจุดนั้น (รวมช่องนั้นด้วย) มันเหมือนกับการระบายสีพื้นที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยเริ่มจากจุดกำเนิดขึ้นไปจนถึงจุด \((x, y)\) ของคุณ

คุณทราบหรือไม่?

Joint CDF จะมีคุณสมบัติเหล่านี้เสมอ:
- เริ่มต้นที่ 0 (ถ้า \(x\) หรือ \(y\) มีค่าน้อยมากๆ)
- สิ้นสุดที่ 1 (ถ้า \(x\) และ \(y\) มีค่าถึงจุดสูงสุดที่เป็นไปได้)
- มีค่า ไม่ลดลง (non-decreasing) คือเมื่อคุณเพิ่มค่า \(x\) หรือ \(y\) ค่าความน่าจะเป็นสะสมจะมีแต่คงที่หรือเพิ่มขึ้นเท่านั้น

4. ขั้นตอนการแก้โจทย์ Discrete Joint

หากคุณเจอโจทย์ที่ให้สูตร Joint PMF มา เช่น \(p(x, y) = k(x + y)\) สำหรับ \(x = 1, 2\) และ \(y = 1, 2\):

ขั้นตอนที่ 1: สร้างตาราง เขียนทุกคู่ที่เป็นไปได้ออกมา: (1,1), (1,2), (2,1), (2,2)
ขั้นตอนที่ 2: แทนค่าลงไป (เช่น สำหรับ (1,1) ค่าจะเป็น \(k(1+1) = 2k\))
ขั้นตอนที่ 3: หาค่า \(k\) นำทุกช่องมาบวกกันแล้วตั้งสมการเท่ากับ 1 (\(2k + 3k + 3k + 4k = 12k\), ดังนั้น \(k = 1/12\))
ขั้นตอนที่ 4: ตอบคำถาม หากโจทย์ถามหา marginal \(P(X=1)\) ก็แค่รวมค่าในแถวที่ \(X=1\) ก็เรียบร้อย

สรุปและประเด็นสำคัญ

1. Joint PMF คือความน่าจะเป็นที่ \(X\) และ \(Y\) เกิดขึ้นพร้อมกัน: \(P(X=x, Y=y)\)
2. Marginal PMF หาได้โดยการ "รวมผลรวมออก" ของตัวแปรที่ไม่ต้องการ ผลรวมของทั้งแถวหรือคอลัมน์คือค่า marginal ของตัวแปรนั้น
3. Joint CDF คือความน่าจะเป็นแบบ "สะสม": \(P(X \le x, Y \le y)\)
4. ตารางคือเพื่อนสนิทของคุณ! สำหรับตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง การวาดตารางคือวิธีที่ปลอดภัยและรวดเร็วที่สุดในการป้องกันข้อผิดพลาดจากการคำนวณ

ไม่ต้องกังวลถ้าการรวมผลรวมสองชั้น (double summations) ดูน่ากลัว! ให้คิดซะว่ามันก็แค่การบวกเลขในกล่อง คุณทำได้แน่นอน!