三角形的心：練習題

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 邊上的中點，且中線長度 $AD=6$。設 $O$ 為 $\triangle ABC$ 的外心，$G$ 為形心，$H$ 為垂心。若 $A, D, O, G, H$ 五點共線，且線段 $OH$ 的長度為 6。求 $\triangle ABC$ 外接圓的半徑 $R$。

在直角坐標平面上，三角形 \(ABC\) 的頂點為 \(A(0, 12)\)、\(B(-5, 0)\) 和 \(C(5, 0)\)。已知 \(H\) 是 \(\triangle ABC\) 的垂心（orthocenter），而 \(G\) 是 \(\triangle ABC\) 的形心（centroid）。求 \(H\) 與 \(G\) 之間的距離。

三角形的形心是三角形中哪三條線的交點？

在直角三角形 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle C = 90^ \circ\)。若 \(AC = 9 \text{ cm}\) 且 \(BC = 12 \text{ cm}\)，求內切圓的半徑 \(r\)。

在一個等腰三角形 \(ABC\) 中，\(AB = AC = 10 \text{ cm}\) 且 \(BC = 12 \text{ cm}\)。設 \(I\) 和 \(O\) 分別為 \(\triangle ABC\) 的內心和外心。求 \(I\) 與 \(O\) 之間的距離。

在直角三角形 \(ABC\) 中，\(\angle B = 90^\circ\)。已知 \(AB = 6 \text{ cm}\) 及 \(BC = 8 \text{ cm}\)。設 \(I\) 為 \(\triangle ABC\) 的內心。

(a) 求 \(AC\) 的長度。

(b) 求內切圓的半徑。

(c) 求 \(\angle AIC\) 的值。