歡迎來到百分比的世界！
你好！準備好探索超級實用的百分比了嗎！你在日常生活中隨處可見它們：在你最喜歡的商店減價牌上、你的考試成績、經濟新聞，甚至在食物標籤上。明白百分比就好像擁有一種超能力，幫助你在日常生活中做出明智的決定！
在這些筆記中，我們會將所有事物拆解成簡單的步驟。我們會學到：
- 如何計算百分比改變（例如當價格上升或下降時）。
- 如何解決涉及折扣、盈利與虧蝕、增長與折舊、利息以及稅項（差餉、物業稅和薪俸稅）的實際生活問題。
如果一開始覺得這個課題好像有些難，不用擔心。我們會一起看許多例子。準備好了嗎？一起來學習吧！
第一部分：核心概念 – 百分比改變
所有事物都會變，是不是呢？價格會上升、商品會減價、你的身高會增加！百分比改變就是一種精確測量某樣事物相對於它原本價值改變了多少的方法。
尋找百分比改變
有一個萬能公式，無論是增加還是減少都適用。它簡直是救星！
萬能公式：
\( \text{Percentage Change} = \frac{\text{Change in Value}}{\text{Original Value}} \times 100\% \)
讓我們分解一下吧：
- 原有數值：這就是開始時的數量。是改變之前你擁有的數值。它是最重要的數字！
- 改變數值：這就是新數值與原有數值之間的差異。直接減就可以了！(新數值 - 原有數值)。
例子 1：百分比增加（增長）
想像一下，你最喜歡的珍珠奶茶店將你平時常喝的飲品價格由 \$20 加到 \$25。請問百分比增加是多少？
逐步解說：
1. 找出原有數值：開始時的價格是 \$20。所以，原有數值 = \$20。
2. 找出改變數值：價格上升了 \$25 - \$20 = \$5。所以，改變數值 = \$5。
3. 使用萬能公式：
\( \frac{\$5}{\$20} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\% \)
答案：價格增加了 25%。
例子 2：百分比減少
你一直儲錢想買一個 \$400 的電子遊戲。這個星期，它減價到 \$320 而已！請問百分比減少是多少？
逐步解說：
1. 找出原有數值：遊戲的原本價格是 \$400。所以，原有數值 = \$400。
2. 找出改變數值：價格下降了 \$400 - \$320 = \$80。所以，改變數值 = \$80。
3. 使用萬能公式：
\( \frac{\$80}{\$400} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\% \)
答案：價格減少了 20%。
百分比改變的重要提示
要找出百分比改變，一定要記住：將實際改變數值除以原有數值，然後乘以 100%。那個「原有」部分就是關鍵了！
第二部分：百分比應用於實際生活 – 解決問題
現在讓我們運用百分比技巧來處理一些常見的情況吧。這就是數學變得很有威力的地方！
2.1 折扣
人人都喜歡減價！折扣就是一件商品在原有價格上的百分比減少。
重要術語：
- 標價：標籤上的原有價格。
- 折扣：你可以「減去」的百分比（例如：減 30% / 七折）。
- 售價：你實際支付的最終價格。
例子：找出售價
一副耳機的標價是 \$500。現在有「減 20%」（八折）優惠。請問售價是多少？
方法 1：先計算折扣金額。
1. 計算折扣金額：\$500 \times 20\% = 500 \times 0.20 = \$100。這就是你省下的錢。
2. 從標價中減去折扣：\$500 - \$100 = \$400。
方法 2：一個更快的方法！
1. 想一下你要支付的百分比：如果你有減 20% 的優惠，你仍然需要支付 100% - 20% = 80% 的價格。
2. 直接計算售價：\$500 \times 80\% = 500 \times 0.80 = \$400。
兩種方法都得出相同的答案：售價是 \$400。
2.2 盈利與虧蝕
當商家賣東西的時候，他們要麼盈利（賺錢），要麼虧蝕（虧錢）。
重要術語：
- 成本價 (CP)：商家買入一件商品的價錢。
- 售價 (SP)：商家賣出商品的價錢。
- 盈利：如果售價大於成本價 (盈利 = 售價 - 成本價)。
- 虧蝕：如果成本價大於售價 (虧蝕 = 成本價 - 售價)。
重要提示：盈利或虧蝕百分比永遠都是基於成本價來計算的！
公式：
\( \text{Profit \%} = \frac{\text{Profit}}{\text{Cost Price}} \times 100\% \)
\( \text{Loss \%} = \frac{\text{Loss}}{\text{Cost Price}} \times 100\% \)
例子：賺取盈利
一個店主以 \$150（成本價）買入一個書包，然後以 \$180（售價）賣出。請問她的盈利百分比是多少？
1. 找出盈利金額：\$180 (售價) - \$150 (成本價) = \$30。
2. 計算盈利百分比（記住用成本價！）：
\( \frac{\$30}{\$150} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\% \)
答案：店主賺取了 20% 盈利。
2.3 增長與折舊
這些術語描述了隨時間重複發生的百分比改變。
- 增長：當一個數量以固定百分率 \(r\) 每期持續增加，歷時 \(n\) 期。
\( A = P(1 + r)^n \)
- 折舊 / 衰減：當一件物品的價值以固定百分率 \(r\) 每期持續減少，歷時 \(n\) 期。
\( A = P(1 - r)^n \)
例子：多期折舊
一輛全新汽車價值 \$200,000。它的價值每年折舊 15%。請問 3 年後它的價值是多少？
這裡，\(P = \$200,000\)，\(r = 15\% = 0.15\)，而 \(n = 3\)。
\( A = 200000 \times (1 - 0.15)^3 = 200000 \times (0.85)^3 = \$122,825 \)
答案：3 年後，這輛車的價值是 \$122,825。
2.4 單利與複利
當你將錢存入銀行或借貸時，就會涉及利息。
單利
在單利計算下，你只會在你存入的原本金 \(P\) 上賺取利息。
公式： \( I = P \times R \times T \)
- I = 利息金額（\$）
- P = 本金（開始時的錢）
- R = 每年利息利率
- T = 時間（以年為單位）
例子：你將 \$1000 存入一個銀行帳戶，年利率為 3%（單利計算），存期 5 年。
\( I = \$1000 \times 3\% \times 5 = \$150 \)
總金額 \(A = P + I = \$1000 + \$150 = \$1150\)。
複利
在複利計算下，每個週期所賺取的利息都會加到本金中，用以計算未來的利息。
一般公式：
\( A = P\left(1 + \frac{R}{k}\right)^{n \times k} \)
- A = 最終總金額（本金 + 利息）
- P = 本金
- R = 年利率
- n = 年數
- k = 每年計算複利的次數（每年：\(k=1\)，每半年：\(k=2\)，每季：\(k=4\)，每月：\(k=12\)）
- 複利息 (CI)： \( \text{CI} = A - P \)
例子：你存入 \$10,000，年利率為 6%，每季計算複利一次，存期 2 年。求最終總金額及複利息。
- 每季利率 = \( \frac{6\%}{4} = 1.5\% = 0.015 \)
- 複利期總數 = \( 2 \times 4 = 8 \)
\( A = 10000 \times (1 + 0.015)^8 \approx \$11,264.93 \)
\( \text{利息} = \$11,264.93 - \$10,000 = \$1,264.93 \)
2.5 連續百分比改變
當多個百分比改變連續發生時，要利用更新後的基準數值一步一步地計算！
例子：連續折扣
一件商品價值 \$100。它先有 10% 折扣（九折），然後再有額外 10% 折扣。
1. 第一次折扣後： \( \$100 \times (1 - 10\%) = \$90 \)
2. 第二次折扣後： \( \$90 \times (1 - 10\%) = \$81 \)
整體百分比改變： \( \frac{\$81 - \$100}{\$100} \times 100\% = -19\% \)（即總共減了 19%，而不是 20%！）。
2.6 稅項與差餉
政府徵收稅款和差餉，以資助公共服務和基礎建設。
A. 差餉
差餉是對物業徵收的稅項，按應課差餉租值（物業估計的年租金價值）的某個百分比計算。
\( \text{全年應繳差餉} = \text{應課差餉租值} \times \text{差餉徵收率} \)
差餉通常按季（每 3 個月）繳交： \( \text{每季差餉} = \frac{\text{全年差餉}}{4} \)。
例子：一個單位的應課差餉租值為 \$120,000。若差餉徵收率為每年 5%，求每季應繳差餉。
\( \text{全年差餉} = \$120,000 \times 5\% = \$6,000 \)
\( \text{每季差餉} = \frac{\$6,000}{4} = \$1,500 \)
B. 物業稅
物業稅是向物業擁有人因出租物業獲取的租金收入而徵收的稅項。
1. 應評稅淨值 (NAV)： \( \text{NAV} = \text{年租金收入} \times (1 - 20\%) \)（其中 20% 是用於修葺及支出的法定免稅額）。
2. 物業稅： \( \text{物業稅} = \text{應評稅淨值} \times \text{物業稅率} \)
例子：一位業主以每月 \$30,000 出租一個商鋪。若物業稅率為 15%，求該年應繳的物業稅。
- 年租金收入 = \( \$30,000 \times 12 = \$360,000 \)
- 應評稅淨值 = \( \$360,000 \times (1 - 20\%) = \$288,000 \)
- 物業稅 = \( \$288,000 \times 15\% = \$43,200 \)
C. 薪俸稅
薪俸稅是從收入中扣除免稅額後，按累進稅率（或標準稅率）計算的。
\( \text{應課稅入息實額 (NCI)} = \text{總入息} - \text{免稅額} - \text{扣除額} \)
例子：假設累進稅率如下：
- 首 \$50,000 應課稅入息實額稅率為 2%
- 接下來的 \$50,000 應課稅入息實額稅率為 6%
- 剩餘的應課稅入息實額稅率為 10%
若某人的應課稅入息實額為 \$130,000，計算他應繳付的稅款。
1. 首 \$50,000： \( \$50,000 \times 2\% = \$1,000 \)
2. 接下來的 \$50,000： \( \$50,000 \times 6\% = \$3,000 \)
3. 剩餘的 \$30,000： \( (\$130,000 - \$100,000) \times 10\% = \$3,000 \)
4. 薪俸稅總額： \( \$1,000 + \$3,000 + \$3,000 = \$7,000 \)
章節總結：快速回顧
以下是百分比的重要公式與核心概念：
- 百分比改變： \( \frac{\text{改變}}{\text{原有}} \times 100\% \)
- 盈利 / 虧蝕百分比： 永遠基於成本價計算。
- 增長與折舊： \( A = P(1 + r)^n \) 或 \( A = P(1 - r)^n \)
- 單利： \( I = P \times R \times T \)
- 複利： \( A = P\left(1 + \frac{R}{k}\right)^{n \times k} \)
- 連續改變： 每次計算一個改變，並以更新後的數值為基礎。
- 稅項與差餉： 掌握差餉（應課差餉租值）、物業稅（應評稅淨值）和薪俸稅（應課稅入息實額）。
繼續練習這些概念，很快你就會成為百分比專家了。你一定可以的！