歡迎來到面積與體積的世界！

各位同學好！這一章我們會建立中一級量度平面圖形和簡單立體的工具箱。學完之後，你將能夠求出所有常見平面圖形的面積、估算不規則圖形的面積、計算正方體和長方體的體積，並輕鬆進行公制單位換算。（弧、扇形和圓柱會在中二等著你；錐體、圓錐和球體則在中三——一步一步來！）

第一部分：基本平面圖形的面積

面積量度圖形內部表面的大小，單位是平方單位，例如 \(\text{cm}^2\) 或 \(\text{m}^2\)。你已經認識兩位老朋友：

  • 長方形：\(\text{面積} = \text{長} \times \text{闊}\)
  • 正方形：\(\text{面積} = \text{邊長} \times \text{邊長} = \text{邊長}^2\)

三角形

三角形正好是長方形沿對角線切開的一半，所以：

\(\text{三角形面積} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)

小心：這裡的「高」必須是垂直高——由底邊垂直向上到頂點的距離，不是斜邊！

平行四邊形

想像把平行四邊形一端的三角形切下來，移到另一端——就拼成一個同底同高的長方形。所以：

\(\text{平行四邊形面積} = \text{底} \times \text{高}\)

同樣，「高」是指兩條平行邊之間的垂直距離，不是斜邊。

梯形

梯形有一對平行邊（設為 \(a\) 和 \(b\)）。它的面積是兩條平行邊的平均值乘以高：

\(\text{梯形面積} = \frac{1}{2}(a + b) \times h\)

記憶口訣：「上底加下底，乘高除以二」。

菱形

菱形（四邊相等的「推歪了的正方形」）有一條利用兩條對角線 \(d_1\) 和 \(d_2\) 的捷徑：

\(\text{菱形面積} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\)

原理：兩條對角線把菱形分成四個直角三角形，恰好填滿外接長方形的一半。

第一部分重點

這裡每條公式都源自長方形！三角形＝半個長方形；平行四邊形＝重新拼合的長方形；梯形＝平均闊度×高；菱形＝對角線長方形的一半。測驗時忘了公式，就把圖形畫回長方形裡重新推導。


第二部分：組合圖形與不規則圖形

組合圖形：分割或相減

組合圖形由基本圖形拼合而成。兩種策略：

  • 分割：把圖形切成長方形、三角形和梯形，分別求面積，然後相加。
  • 相減：在圖形外畫一個大的簡單圖形，再減去不屬於它的部分（處理 L 形和相框形最好用）。

例子：一個 L 形地板可以分割成兩個長方形——也可以看成一個大長方形減去缺角。兩種方法答案相同，選量度次數較少的那種。

用方格估算不規則圖形的面積

樹葉、湖泊和手印沒有公式！要估算它們的面積，把方格紙（例如 1 cm 方格）鋪在圖形上，然後數：

  1. 數出完全在圖形內的方格數目。
  2. 數出部分在圖形內的方格，大約取一半（或兩兩配對）。
  3. \(\text{估計面積} \approx \text{完整方格數} + \frac{1}{2} \times \text{不完整方格數}\)，單位 \(\text{cm}^2\)。

方格越細，估計越準——這個大概念你在日後的數學裡還會再遇到！

第二部分重點

複雜的平面圖形靠分割、相減或數方格處理。不需要新公式——需要的是策略。


第三部分：進入立體——正方體與長方體的體積

體積量度立體所佔的空間，單位是立方單位，例如 \(\text{cm}^3\) 或 \(\text{m}^3\)。想像用 1 cm 的方糖填滿一個盒子：放得下多少粒方糖，體積就是多少 \(\text{cm}^3\)。

  • 長方體（長方盒）：\(V = \text{長} \times \text{闊} \times \text{高}\)
  • 正方體：所有稜相等，所以 \(V = \text{稜長}^3\)

例子：一個筆盒長 20 cm、闊 8 cm、高 5 cm。\(V = 20 \times 8 \times 5 = 800\ \text{cm}^3\)。

由多個長方體疊成的組合立體，處理方法和組合圖形一樣：分割成盒子，體積相加。

第三部分重點

盒子的體積＝長×闊×高。相乘之前，務必確認三個量度用的是相同單位！


第四部分：容量與單位換算

容量是容器能盛載液體的體積。容量單位和體積單位的關係非常簡潔：

  • \(1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3\)（一粒方糖大小的水正好是 1 mL！）
  • \(1\ \text{L} = 1000\ \text{mL} = 1000\ \text{cm}^3\)

面積與體積的單位換算——經典陷阱

1 m = 100 cm，但 1 \(\text{m}^2\) 不是 100 \(\text{cm}^2\)！因為面積是二維、體積是三維，換算倍數要平方或立方：

  • \(1\ \text{m}^2 = 100 \times 100 = 10\,000\ \text{cm}^2\)
  • \(1\ \text{m}^3 = 100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3\)

例子：一個魚缸體積 \(0.024\ \text{m}^3\)。換成公升：\(0.024 \times 1\,000\,000 = 24\,000\ \text{cm}^3 = 24\ \text{L}\)。

第四部分重點

1 mL = 1 \(\text{cm}^3\)，1 L = 1000 \(\text{cm}^3\)；換算面積或體積單位時，記得把長度倍數平方或立方。


第五部分：綜合應用

例子：一個花園是梯形，平行邊分別長 8 m 和 12 m，高 5 m。園內有一個邊長 2 m 的正方形水池。求草地的面積。

  1. 梯形面積：\(\frac{1}{2}(8 + 12) \times 5 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5 = 50\ \text{m}^2\)
  2. 水池面積：\(2^2 = 4\ \text{m}^2\)
  3. 草地面積：\(50 - 4 = 46\ \text{m}^2\)

常犯錯誤提醒

  • 把斜邊當成三角形、平行四邊形或梯形的高——高永遠是垂直距離。
  • 單位混用——計算之前先把所有量度換成相同單位。
  • 面積答案寫 cm、體積答案寫 \(\text{cm}^2\)——單位必須配合維度：面積用 \(\text{cm}^2\)，體積用 \(\text{cm}^3\)。
本章總結
  • 三角形 \(\frac{1}{2}bh\)．平行四邊形 \(bh\)．梯形 \(\frac{1}{2}(a+b)h\)．菱形 \(\frac{1}{2}d_1 d_2\)
  • 組合圖形：分割或相減。不規則圖形：用方格估算。
  • 長方體 \(V = lwh\)，正方體 \(V = a^3\)。
  • \(1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3\)，\(1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3\)，\(1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2\)，\(1\ \text{m}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3\)。

下一站，中二：圓形、弧、扇形、稜柱和圓柱。到時見！