概率分佈、期望值和方差：練習題

一個離散隨機變量 \(X\) 的概率分佈如下：

試求 \(X\) 的期望值 \(E[X]\)。

擲一個公平的六面骰子。如果擲出的點數是偶數，隨機變量 \(X\) 的值為該點數；如果擲出的點數是奇數，\(X\) 的值為 \(-1\)。試求 \(X\) 的期望值 \(E[X]\)。

一個盒子中有 4 個球，分別標有數字 1, 2, 3, 4。從中隨機抽取兩個球（不放回）。設隨機變量 \(X\) 為這兩個球上數字之和。試求 \(Var(X)\) 的值。

設 \(X\) 為一個離散隨機變量，已知其期望值 \(E[X] = 5\) 和方差 \(Var[X] = 2\)。試求 \(Var(3X - 1)\)。

若已知 \(Var(3X-5) = 18\)，試計算 \(Var(2-X)\) 的值。

設離散隨機變量 \(X\) 的概率分佈如下：\(P(X=1) = 0.4\)，\(P(X=2) = 0.3\) 及 \(P(X=3) = 0.3\)。求 \(X\) 的期望值 \(E[X]\)。

一個袋中有 2 個標有數字 5 的球及 3 個標有數字 10 的球。現從中隨機抽取兩個球（不放回）。設 \(X\) 為抽得球上數字之和。求 \(E[X]\)。

離散隨機變量 \(X\) 的概率分佈如下：
\(x = 0, P(X=x) = a\)
\(x = 1, P(X=x) = 0.4\)
\(x = 2, P(X=x) = b\)
已知 \(E[X] = 1.2\)，求 \(Var(3X - 5)\)。

設離散隨機變量 \(X\) 的概率分佈如下表所示：

(a) 求 \(k\) 的值。
(b) 求 \(X\) 的期望值 \(E(X)\)。
(c) 求 \(E(10 - 4X)\)。

已知離散隨機變量 \(X\) 的概率質量函數為 \(P(X=x) = k \cdot \frac{2^x}{x!}\)，其中 \(x = 0, 1, 2\)。

(a) 試求常數 \(k\) 的值。
(b) 求 \(E(X)\)。
(c) 求 \(Var(3X + 2)\)。