運用梯形法則計算定積分的近似值：練習題

利用梯形法則並取 \(n=3\) 個子區間，求 \(\int_{0}^{3} e^{x} dx\) 的近似值（準確至二位小數）。

利用梯形法則並取 4 個子區間，估算 \(\int_{1}^{3} e^{-x} dx\) 的近似值，並判斷該估算值相對於其真實值是過高還是過低。

下表顯示函數 \(f(x)\) 在區間 \([0, 2]\) 內一些點的數值：

\(x\): 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
\(f(x)\): 1.0, 1.2, \(a\), 1.8, 2.2

若運用梯形法則並將區間分成 4 個等寬的子區間，求得 \(\int_{0}^{2} f(x) dx\) 的近似值為 3.1，求 \(a\) 的值。

考慮下表所顯示的函數 \(f(x)\) 的值：

\(x\): 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0
\(f(x)\): 2.4, 3.6, 5.2, 7.2, 9.6

利用梯形法則並將區間 \([1, 3]\) 分成 4 個等寬的子區間，求 \(\int_{1}^{3} f(x) dx\) 的近似值。

利用梯形法則將區間 \([0, 2]\) 分成 4 個等寬的子區間，求 \(\int_{0}^{2} e^{x} dx\) 的近似值（準確至三位小數），並判斷該值較真實值為高還是低。

已知函數 \(f(x)\) 在 \(x=0, 2, 4\) 時的值分別為 \(f(0)=1, f(2)=3, f(4)=2\)。利用梯形法則及 2 個等寬子區間估計 \(\int_{0}^{4} f(x) dx\) 的值。

運用梯形法則，將區間 \([1, 4]\) 分成 3 個等寬的子區間，估計定積分 \(\int_1^4 \frac{2x}{x+2} dx\) 的近似值。答案須準確至兩位小數。

設利用梯形法則並取 2 個等寬子區間估計 \(\int_0^2 (kx^2 + 3) dx\) 所得的近似值為 13。
(a) 求 \(k\) 的值。
(b) 判斷此估計值是否高於準確值。試解釋原因。

運用梯形法則，將區間 \( [0, 2] \) 分成 4 個等寬的子區間，估計定積分 \( \int_0^2 \sqrt{4+x^2} dx \) 的值。答案須準確至三位小數。

考慮函數 \( f(x) = \ln(x+2) \)。
(a) 運用梯形法則，取 4 個等寬的子區間，估計 \( \int_{0}^{2} \ln(x+2) dx \) 的值，答案須準確至四位小數。
(b) 求 \( f''(x) \)。由此判斷 (a) 部所得的估計值是過高還是過低。試解釋你的答案。