變分：練習題

已知 \(w\) 隨 \(u\) 正變且隨 \(v\) 反變。當 \(u=4\) 及 \(v=5\) 時, \(w=8\)。當 \(u=6\) 及 \(w=15\) 時, \(v =\)

已知 \(R\) 隨 \(S\) 的平方及 \(T\) 的立方根正變。當 \(S=2\) 及 \(T=64\) 時， \(R=160\)。當 \(S=3\) 及 \(T=8\) 時， \(R=\)

某地圖的比例尺是 \(1:2000\)。若某運動場在該地圖上的面積是 \(15\text{ cm}^2\)，則該運動場的實際面積是

已知 \(s\) 隨 \(t\) 正變且隨 \(w\) 反變。當 \(t=4\) 及 \(w=5\) 時，\(s=8\)。當 \(t=6\) 及 \(s=4\) 時，\(w=\)

已知 \(z\) 隨 \(x\) 正變且隨 \(\sqrt{y}\) 反變。若 \(y\) 增加 21% 且 \(z\) 增加 10%，則 \(x\)

已知量 \(A\) 與量 \(B\) 成反變。若 \(B\) 的值增至原來的 5 倍，則 \(A\) 的值會如何變化？

某班級的男生人數與女生人數之比為 \(5:4\)。若 2 名男生和 10 名女生加入了該班級，則男生人數與女生人數之比變為 \(1:1\)。求原本的男生人數。

已知變量 \(P\) 部分隨 \(x\) 正變，部分隨 \(x^2\) 反變。當 \(x=1\) 時，\(P=4\)，而當 \(x=2\) 時，\(P=5\)。試求 \(P\) 與 \(x\) 之間的關係式，並計算當 \(x=3\) 時 \(P\) 的值。

變量 \(Z\) 部分隨 \(X\) 正變，部分隨 \(Y\) 的平方反變。

已知當 \(X=1\) 且 \(Y=2\) 時，\(Z=10\)；當 \(X=3\) 且 \(Y=1\) 時，\(Z=26\)。

(a) 以 \(X\) 及 \(Y\) 表示 \(Z\) 的關係式。

(b) 求當 \(X=5\) 且 \(Y=4\) 時，\(Z\) 的值。

已知 \(z\) 的一部分為常數 \(k_1\)，另一部分隨 \(x^2\) 及 \(y\) 聯變（設變分常數為 \(k_2\)）。當 \(x = 2, y = 3\) 時，\(z = 43\)；當 \(x = 3, y = 2\) 時，\(z = 37\)。

(a) 求 \(z\) 與 \(x\) 及 \(y\) 之間的關係式。

(b) 某工廠的生產總成本 \(C\)（元）與機器運作時間 \(x\) 小時及原料數量 \(y\) 單位之間遵循上述的變分關係。已知固定成本為 \(15\) 元，當運作 \(3\) 小時、原料 \(4\) 單位時，總成本為 \(159\) 元。

(i) 求總成本 \(C\) 與 \(x\) 及 \(y\) 的關係式。

(ii) 若原料數量固定為 \(5\) 單位，且總成本不得超過 \(265\) 元，求機器運作時間 \(x\) 可取的最長整數小時數。