歡迎來到坐標幾何！
在本章中，我們將探索坐標幾何 (Coordinate Geometry)。你可以把它想像成代數與圖形之間的橋樑。透過數字和方程式，我們可以精確地描述物體的位置及其移動方式。無論是追蹤汽車的 GPS 系統，還是建築師設計弧形窗戶，坐標幾何都是他們不可或缺的「地圖」。
如果起初覺得圖表有點令人望而生畏，別擔心。我們會將所有內容拆解成簡單的步驟。學完這些筆記後，你將能信心十足地掌握直線與圓形的相關概念！
1. 直線 (第 C1 部分)
你可能已經見過 \(y = mx + c\)，但在 AS Level 課程中，我們會運用更多工具，讓解題變得更輕鬆。
點斜式 (Point-Gradient Formula)
如果你知道直線上一點 \((x_1, y_1)\) 以及斜率 \(m\)，你可以使用這個超級好用的公式：
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
例子：求一條斜率為 3 並經過點 (2, 5) 的直線方程式。
代入公式：\(y - 5 = 3(x - 2)\)。只需展開並簡化即可！
一般式 (General Form)
有時候，考官喜歡將方程式寫成 \(ax + by + c = 0\) 的形式，其中 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 為整數。這只不過是同一條直線的另一種「包裝方式」而已。
平行線與垂直線
這是考試中的熱門考點！訣竅如下：
- 平行線的斜率相同 (\(m_1 = m_2\))。它們就像火車軌道一樣——永遠不會相交。
- 垂直線相交成直角 (\(90^\circ\))。它們的斜率遵循以下規則：\(m_1 \times m_2 = -1\)。
記憶小撇步：垂直線的「翻轉並變號」 要找到垂直線的斜率，先將原本的斜率取倒數（翻轉），再改變正負號（變號）。 例子：如果斜率是 \(2\)，垂直線的斜率就是 \(-\frac{1}{2}\)。如果是 \(-\frac{3}{4}\)，垂直線的斜率就是 \(+\frac{4}{3}\)。
快速回顧： - 使用 \(y - y_1 = m(x - x_1)\) 以提升速度。 - 平行 = 斜率相同。 - 垂直 = 翻轉並變號。
重點總結：直線由其陡峭程度（斜率）及位置（點）定義。掌握斜率之間的關係，就是解決本節大部分考試題目的秘訣。
2. 圓的幾何 (第 C2 部分)
圓形看起來或許很複雜，但它們遵循著非常有邏輯的規律。圓形不過是一組與固定圓心 (centre) 等距（即半徑 radius）的點的集合。
圓的方程式
圓的標準方程式為：
\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)
在這個公式中：
- 圓的圓心坐標為 \((a, b)\)。
- 半徑為 \(r\)（請注意：公式中使用的是 \(r^2\)，所以你需要開平方根才能得到實際半徑！）。
例子：對於圓 \((x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 16\)： - 圓心是 \((3, -5)\)（注意正負號改變了！）。 - 半徑是 \(\sqrt{16} = 4\)。
利用配方法求圓心
有時候考試會給你一個「凌亂」的方程式，例如 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0\)。別慌！你可以分別對 \(x\) 部分和 \(y\) 部分進行配方法 (completing the square)，將其變回好看的 \((x-a)^2\) 格式。
步驟如下：
1. 將 \(x\) 項歸組，\(y\) 項歸組。
2. 對 \(x\) 的括號進行配方。
3. 對 \(y\) 的括號進行配方。
4. 將常數移到等號右邊，以找出你的 \(r^2\)。
你知道嗎？這個方程式實際上是基於畢氏定理 (\(a^2 + b^2 = c^2\))。如果你在圓內畫一個直角三角形，半徑就是斜邊！
3. 圓的性質與定理
你需要了解三個經常出現在 Paper 2 坐標幾何題中的特定幾何性質。
1. 半圓內的角
如果你在圓內畫一個三角形，其中一邊是直徑 (diameter)，那麼接觸圓周的那個角始終為 \(90^\circ\)。 考試貼士：這意味著構成該角的兩條線是垂直的！
2. 弦與垂直線
弦 (chord) 是連接圓周上兩點的直線。 - 如果你從圓心畫一條線並與弦成 \(90^\circ\)，該線會將弦完美地平分。 - 相反地，任何弦的垂直平分線一定會通過圓心。
3. 切線與半徑
切線 (tangent) 是與圓在某一點相切的直線。 - 規則：半徑與切線在切點處相交成 \(90^\circ\)。 - 如何應用：若要找切線的斜率，先求出半徑的斜率，然後運用垂直線的「翻轉並變號」規則。
常見錯誤：當從 \((x-2)^2 + (y-3)^2 = 25\) 這類方程式求半徑時，學生經常忘記對 25 開平方根。請務必記住：右邊的數字是 \(r^2\)，而不是 \(r\)！
快速回顧： - 圓心為 \((a, b)\)，半徑為 \(r\)。 - 切線垂直於半徑。 - 使用畢氏定理計算圓心與圓周上一點之間的距離。
重點總結：圓形題目通常只是偽裝起來的「直線」問題。一旦你找到了圓心和半徑的斜率，你就能運用第 1 節學到的所有知識來解決問題。
Paper 2 總結核對表
考試前，請確保你能：
- 使用 \(y - y_1 = m(x - x_1)\) 寫出直線方程式。
- 轉換平行與垂直斜率。
- 從圓方程式中識別圓心與半徑。
- 運用配方法整理圓方程式。
- 應用圓定理（特別是切線-半徑垂直規則）。
如果起初覺得這些內容有點棘手，別擔心——坐標幾何的關鍵在於練習。一旦看清了規律，這將會成為這門課程中最有成就感的部分之一！