歡迎來到多元實證方法與績效持續性！

你好！歡迎來到 CAIA Level II 課程中最實用的章節之一。如果你曾經好奇過：「這位基金經理是真的有實力，還是純粹靠運氣？」或者「我們該如何判斷哪些因素才是驅動投資回報的真正動力？」那麼你來對地方了。

別擔心，「多元（Multivariate）」或「實證（Empirical）」這些詞聽起來或許有些嚇人。簡單來說，我們只是在學習如何同時檢視多項數據，以找出其中的規律，並判斷過去的成功在未來是否還會重演。讓我們開始吧！


1. 理解多元線性回歸

在 Level I 時，你可能接觸過簡單線性回歸（探討單一因素如何影響另一變數）。多元回歸（Multivariate regression）則是它的「升級版」。我們不再只看單一因素，而是同時觀察多個因素。

概念：試想你要預測房價。你不會只看面積（單變量），你會同時考慮面積、臥室數量、校網以及樓齡（多元）。這樣你得到的預測會準確得多。

一般公式如下：

\( R_i = \alpha + \beta_1 F_1 + \beta_2 F_2 + ... + \beta_n F_n + \epsilon \)

其中：
• \( R_i \) 是投資回報率（應變數 Dependent Variable）。
• \( \alpha \) (Alpha) 是截距，代表無法由各因素解釋的超額回報。
• \( \beta \) (Beta) 代表回報對各因素的敏感度（Sensitivity）。
• \( F \) 代表自變數（Independent Variables）（如市場風險、規模或價值等因素）。
• \( \epsilon \) (Epsilon) 是誤差項（Error term）（即我們無法解釋的「雜訊」或隨機因素）。

必須掌握的關鍵統計術語

  • 係數（Coefficient, \( \beta \)）： 告訴你關係的方向和強度。如果「利率」的係數是 -0.5，代表利率上升時，你的投資回報傾向於下降。
  • t-統計量（t-statistic）： 用來判斷某個因素是否具備統計顯著性（Statistically significant）。一個簡單的經驗法則：如果 t-統計量的絕對值大於 2，該因素通常很重要。
  • p-值（p-value）： 結果純屬巧合發生的機率。我們希望得到較低的 p-值（通常小於 0.05），以確信該因素具有解釋力。
  • 判定係數（R-squared, \( R^2 \)）： 告訴我們這些因素解釋了多少整體的「故事」。如果 \( R^2 \) 是 0.80，代表投資組合中 80% 的變動可由我們的模型解釋。

小貼士： 如果你在模型中加入更多變數，即使那些變數毫無用處，\( R^2 \) 幾乎總會上升！這就是為什麼我們使用調整後判定係數（Adjusted R-squared），它會針對無謂增加變數的行為進行懲罰。

總結： 多元回歸幫助我們將回報歸因於特定的風險因素，讓我們能看清經理人是在創造獨特價值（Alpha），還是僅僅在隨波逐流（Beta）。


2. 多因子模型在實務中的應用

在另類投資領域，我們使用特定的模型來「拆解」經理人的回報來源。最著名的就是法瑪-法蘭奇模型（Fama-French Model）。

法瑪-法蘭奇三因子模型

該模型認為股票回報由以下三點驅動：
1. 市場風險（市場風險溢價）： 整體股市的波動。
2. 規模（SMB - Small Minus Big）： 小型股長期表現優於大型股的趨勢。
3. 價值（HML - High Minus Low）： 高帳面市值比（價值股）表現優於低帳面市值比（成長股）的趨勢。

模型的擴展

後來，卡哈四因子模型（Carhart Four-Factor Model）加入了動能（UMD - Up Minus Down），追蹤贏家股持續獲勝的趨勢。近期，Fama 與 French 又增加了獲利能力（Profitability）與投資（Investment）因素，構建了五因子模型。

你知道嗎？ 過去許多號稱能創造「Alpha」的經理人，實際上只是「掛羊頭賣狗肉的指數追蹤者（Closet Indexers）」，他們只是重倉了小型股與價值因子。一旦使用這些模型進行檢測，他們的「過人能力」往往就消失了！

關鍵啟示： 透過多因子模型，投資者可以判斷他們所支付的高昂「Alpha」費用，是否其實只是在買「因子 Beta」（這些回報完全可以透過低成本的 ETF 買到）。


3. 績效持續性：「火熱手感效應」

績效持續性（Performance Persistence）旨在研究贏家是否持續贏、輸家是否持續輸。在一個完全有效的市場中，過去的表現對未來的績效應該毫無影響。

我們如何測試持續性

CAIA 課程主要採取以下兩種方式：

方法一：列聯表（Contingency Tables，贏家-贏家矩陣）

我們根據第一期的表現將經理人分為「贏家」與「輸家」，再觀察他們在第二期的表現。
• WW： 第一期贏家，第二期贏家（持續性）
• WL： 第一期贏家，第二期輸家（反轉）
• LW： 第一期輸家，第二期贏家（反轉）
• LL： 第一期輸家，第二期輸家（持續性）

如果 WW + LL 的數值顯著大於 WL + LW，我們便認為存在持續性的證據。

方法二：回歸分析

我們可以進行回歸分析，以第二期回報作為應變數，第一期回報作為自變數。
\( Return_{t+1} = \alpha + \beta(Return_t) + \epsilon \)

如果 \( \beta \) 為正且具統計顯著性，則暗示存在績效持續性。

常見避坑指南： 不要以為如果經理人去年是「贏家」，今年就一定是「贏家」。研究顯示，績效持續性常出現於私募股權（Private Equity）（因為長期的營運調整），但在避險基金（Hedge Funds）或共同基金（Mutual Funds）中則非常罕見且難以捉摸。


4. 實證分析的陷阱：倖存者偏差

當我們研究績效持續性時，必須非常小心倖存者偏差（Survivorship Bias）。

類比： 想像你想找出長壽的秘密。你走進養老院，訪問了所有 100 歲的老人。他們都說：「我每天都喝一杯威士忌！」如果你據此得出「威士忌是長壽秘訣」的結論，你就掉進了倖存者偏差。因為你沒有訪問到那些喝了威士忌卻在 50 歲就去世的人——他們已經不在那裡讓你訪問了！

在金融領域： 資料庫通常會剔除已經清算的基金（通常是因為表現不佳）。如果我們只看「倖存」至今的基金，整個產業的平均表現會看起來比實際好得多。這會讓人誤以為經理人的績效持續性比實際更高。

快速複習：
• 回溯偏差（Backfill Bias）： 當新基金加入資料庫時，常會包含其「良好」的歷史回報，卻隱藏了早期的「糟糕」表現。
• 選擇偏差（Selection Bias）： 只有表現優異的經理人才會選擇向資料庫主動呈報績效。


總結檢查清單

在繼續學習之前，請確認你能回答這些問題：
• 自變數與應變數有什麼區別？（因子 vs. 回報）
• t-統計量為 2.5 代表什麼？（該因素具備統計顯著性）
• 最初的 Fama-French 模型有哪三個因子？（市場、規模、價值）
• 為什麼倖存者偏差會使績效看起來比實際好？（因為它忽略了已經失敗的「死亡」基金）

做得好！ 你已經掌握了多元實證方法的核心概念。休息一下，喝杯咖啡，讓這些知識好好沉澱。你距離取得 CAIA 資格又更近了一步！