歡迎來到或有權益（Contingent Claims）的世界！
你好！今天我們將深入探討 CFA Level II 課程中最迷人的領域之一：或有權益估值（Valuation of Contingent Claims）。雖然「或有權益」聽起來像法律術語，但它其實只是期權（Options）的專業稱呼。這些資產的價值取決於（或稱為「或有」於）其他資產（例如股票或債券）的價值。
如果剛開始覺得數學部分有點多，別擔心。我們會將其拆解成簡單、合乎邏輯的步驟。你可以把這一章想像成學習如何為一個「選擇」定下公平的價格。讀完這些筆記後，你將明白如何利用二叉樹模型和複雜的公式來精確算出期權的價值。讓我們開始吧！
1. 二叉樹期權定價模型（Binomial Option Pricing Model）
二叉樹模型是我們的起點。它假設在下一個時期，股價只會出現兩種情況：上漲或下跌。就像是股票價格的「冒險路線圖」。
單步二叉樹模型
想像一隻股票目前的價格為 \( S \)。在一個時期內，它可能會漲到 \( S^u \) 或跌至 \( S^d \)。為了對該股票的期權進行估值，我們使用無套利（No-Arbitrage）概念。這意味著兩個風險相同且回報相同的投資組合，必須擁有相同的價格。
步驟 1：計算對沖比率（Delta，\(\Delta\)）
Delta 告訴我們需要買入多少數量的股票，才能完美對沖一張賣出的看漲期權。它等於期權價格的變化除以股價的變化：
\( \Delta = \frac{c^u - c^d}{S^u - S^d} \)
其中 \( c^u \) 是股價上漲時的期權價值，\( c^d \) 是股價下跌時的期權價值。
步驟 2：風險中性概率（Risk-Neutral Probabilities）
這是一個讓數學變簡單的「小技巧」。我們假設投資者是風險中性的（他們不在乎風險，只關心預期回報）。在這種假設下，股票的預期回報率就是無風險利率（\( r \)）。
「上漲」的概率（\( \pi \)）為：
\( \pi = \frac{1 + r - d}{u - d} \)
注意：\( u \) 是「上漲因子」（例如上漲 10% 為 1.10），\( d \) 是「下跌因子」（例如下跌 10% 為 0.90）。
步驟 3：計算價值
看漲期權當前的價值（\( c_0 \)）是利用這些概率計算出的預期價值的折現值：
\( c_0 = \frac{\pi c^u + (1-\pi) c^d}{1 + r} \)
兩步二叉樹模型
兩步模型只是重複上述過程。你從末端（樹的「葉子」節點）開始，計算中間節點的價值，然後逐步反推回到當前。這就像是循著原路找鑰匙一樣。
重點提示：二叉樹模型使用的是風險中性定價。我們不需要知道股票上漲的「實際」概率；我們只需要一個能讓數學公式在無風險利率下成立的「合成」概率即可。
2. 布萊克-舒爾斯-默頓（BSM）模型
如果說二叉樹模型是一個簡單的梯子，那麼 BSM 模型就是一台高速電梯。它假設二叉樹中的時期變得無限小，從而形成了一條平滑、連續的價格變動曲線。
BSM 假設（必考點！）
CFA 考試很喜歡考這些。要使用 BSM 模型，我們假設：
• 標的股價服從對數正態分佈（Lognormal distribution）（價格不可能為負）。
• 無風險利率為常數且已知。
• 標的資產的波動率為常數且已知。
• 市場是連續的（價格沒有劇烈跳空）。
• 沒有稅收或交易成本。
• 期權為歐式期權（European-style）（只能在到期日行權）。
BSM 公式的組成部分
你通常不需要手動計算完整公式，但必須理解其組成部分：
\( c = S_0 N(d_1) - Ke^{-rt} N(d_2) \)
• \( S_0 N(d_1) \)：這是持有股票的收益。\( N(d_1) \) 同時也是該期權的 Delta。
• \( Ke^{-rt} N(d_2) \)：這是行權的「成本」（行權價 \( K \)）折現到今天的價值。\( N(d_2) \) 是期權最終以「價內（in-the-money）」狀態到期的概率。
快速回顧：把 BSM 公式想像成：（你得到的）減去（你支付的），並根據概率和資金的時間價值進行調整。
3. 希臘字母（The Greeks）
「希臘字母」用來衡量期權價格對不同因素的敏感度。你可以把它們想像成期權的「天氣預報」。
1. Delta (\( \Delta \))：對標的資產價格的敏感度。
• 看漲期權的 Delta 為正（0 到 1）。
• 看跌期權的 Delta 為負（-1 到 0）。
• 類比：如果 Delta 是 0.5，那麼股價每上漲 1 美元，你的看漲期權價值就會上升 0.5 美元。
2. Gamma (\( \Gamma \))：Delta 對標的價格變化的敏感度。
• 它衡量的是你的 Delta 有多「穩定」。Gamma 越高，Delta 變化得越快。
• 當期權處於「平值（at-the-money）」時，Gamma 最高。
3. Theta (\( \theta \))：對時間流逝的敏感度。
• 期權會隨著到期日的臨近而貶值，這稱為「時間衰減」。
• 對於期權持有者來說，Theta 幾乎總是負數。
4. Vega (\( \nu \))：對波動率的敏感度。
• 如果市場變得更「瘋狂」（波動率更高），期權價值會變高，因為它們最終大幅進入價內的可能性更高。
• 常見誤區：別把 Vega 和 Delta 搞混了。Vega 是關於市場的「速度/劇烈程度」，而不是「方向」。
5. Rho (\( \rho \))：對利率的敏感度。
• 一般而言，當利率上升時，看漲期權的價值會增加。
重點提示：Delta 對於對沖最為重要。如果你達到「Delta 中性（Delta-neutral）」，你就抵消了因股票價格小幅波動而帶來的風險。
4. 其他標的資產的期權定價
我們可以使用 BSM 模型來處理不僅僅是非派息股票的標的。我們只需要為「持有成本」或「收益流失」調整公式。
派息股票的期權
股息就像股價中的「漏水」。當派發股息時，股價會下跌。我們通過用 \( S_0 e^{-qt} \) 替換股價 \( S_0 \) 來調整 BSM 模型，其中 \( q \) 是股息收益率。
貨幣期權（Garman-Kohlhagen 模型）
貨幣的獨特之處在於兩種貨幣都有各自的利率。「外幣」利率（\( r_f \)）的作用就像股息收益率。我們用 \( r_f \) 替換公式中的 \( q \)。
期貨期權（Black 模型）
期貨與股票不同，因為當前建立期貨頭寸不需要成本。Black 模型使用期貨價格（\( F \)）而不是現貨價格，並假設「持有成本」為零，因為期貨價格中已經包含了利率成分。
你知道嗎？Black 模型不僅用於商品期貨，還廣泛用於債券和利率期權的估值！
5. 隱含波動率（Implied Volatility）
通常我們將波動率代入 BSM 公式來得出價格。但在現實世界中，我們首先看到的是市場價格。隱含波動率（IV）就是那個當代入 BSM 公式時，能使計算價格等於市場價格的波動率數值。
• 如果 IV 高，代表期權很「貴」。
• 如果 IV 低，代表期權很「便宜」。
• 波動率微笑（Volatility Smile）：現實中的 IV 通常會隨著行權價的不同而變化。這說明 BSM 模型中「波動率恆定」的假設在現實中並不總是成立！
結語與鼓勵
你已經完成了或有權益估值的核心概念！請記住，CFA 考試不僅要求你死記公式，更要求你理解其中的關係。如果波動率上升，看漲期權價格會怎樣？（上升！）。如果時間流逝，看跌期權價格會怎樣？（通常會下降！）。
繼續練習那些二叉樹圖和希臘字母的定義。你一定沒問題的！