Pure Mathematics 1: 第 1.7 章 微分學習筆記
你好！歡迎來到精彩的微分 (Differentiation) 世界。這一章非常重要——它基本上是我們用來研究事物變化快慢的數學工具。如果你能掌握微分，你就解鎖了處理關於速度、增長、運動和最優化問題的能力。
準備好開始了嗎？讓我們一起拆解 Paper 1 的核心概念吧！
1. 概念：尋找瞬時變化率
什麼是微分？（非正式概念）
想像一下你在開車。你的平均速度是總距離除以總時間。但如果你想知道你在某一精確時刻的速度呢？這就是微分告訴我們的：瞬時變化率 (Instantaneous rate of change)。
從幾何學上來說，曲線 \(y = f(x)\) 在某一點的變化率，就是該點切線 (Tangent) 的斜率。
課程要求大家有一種非正式的理解，即曲線的斜率是弦 (chord) 的斜率，當弦的兩個端點無限接近時的極限 (limit)。不用擔心使用「第一原理 (first principles)」進行正式定義，只要理解這個概念就可以了！
關鍵符號：
- 一階導數 (first derivative)（即導數函數）表示為：\(\frac{dy}{dx}\) 或 \(f'(x)\)。
- 二階導數 (second derivative) 表示為：\(\frac{d^2y}{dx^2}\) 或 \(f''(x)\)。（我們稍後會用它來判斷駐點的性質。）
你知道嗎？ 微分構成了微積分 (Calculus) 的骨幹，由 Isaac Newton 和 Gottfried Leibniz 在 17 世紀分別獨立開發。它永遠地改變了數學！
2. 微分規則 (Pure Mathematics 1)
在 P1 中，我們主要關注多項式以及涉及 \(x\) 的冪的簡單函數的微分。
2.1 冪法則 (Power Rule)
這是 P1 最重要的法則。如果你有一個函數 \(y = x^n\)，你可以使用以下公式求導數：
\[ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} \]
分步技巧：
- 將項乘以冪 \(n\)。
- 將冪減去 1。
例子：
- 如果 \(y = x^5\)，那麼 \(\frac{dy}{dx} = 5x^{5-1} = 5x^4\)。
- 如果 \(y = 3x^2\)，那麼 \(\frac{dy}{dx} = 3(2x^{2-1}) = 6x\)。
2.2 和、差及常數的規則
微分是線性 (linear) 的。這意味著你可以逐項微分。
- 常數法則：如果 \(y = c\)（其中 \(c\) 是常數，例如 5 或 -10），那麼 \(\frac{dy}{dx} = 0\)。（水平線的斜率為零。）
- 和/差法則：如果 \(y = u \pm v\)，那麼 \(\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}\)。
例子：如果 \(y = 4x^3 - 7x + 10\)，那麼：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^3) - \frac{d}{dx}(7x) + \frac{d}{dx}(10) \]
\[ \frac{dy}{dx} = 12x^2 - 7 + 0 = 12x^2 - 7 \]
2.3 處理根式和分數（非整數冪）
冪法則適用於任何有理數冪 (rational power) \(n\)（正數、負數或分數）。你必須先使用指數記法重寫函數。
關鍵重寫步驟：
- \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)
- \(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\)
- \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}\)
例子：微分 \(y = \frac{2}{x^3} + 5\sqrt{x}\)
第一步：重寫： \(y = 2x^{-3} + 5x^{1/2}\)
第二步：微分（對每一項應用冪法則）：
\[ \frac{dy}{dx} = 2(-3)x^{-3-1} + 5(\frac{1}{2})x^{1/2 - 1} \]
\[ \frac{dy}{dx} = -6x^{-4} + \frac{5}{2}x^{-1/2} \]
第三步：（可選但更整潔）用正指數重寫： \(\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{x^4} + \frac{5}{2\sqrt{x}}\)
2.4 連鎖律 (Chain Rule)（適用於 P1 中的複合函數）
當你有一個函數套在另一個函數裡面時（例如 \((3x+1)^4\)），你需要使用連鎖律。在 P1 中，這通常適用於形式為 \((ax+b)^n\) 的複合函數。
連鎖律規定：如果 \(y\) 是 \(u\) 的函數，且 \(u\) 是 \(x\) 的函數，那麼：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]
P1 簡化法（外層與內層）：
如果 \(y = (ax+b)^n\)：
- 對外層括號使用冪法則進行微分。
- 將結果乘以內層括號的導數（即 \(a\)）。
例子：求 \(y = (5x - 2)^3\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)
外層：對冪/括號微分：\(3(5x - 2)^2\)
內層：對內部 (\(5x - 2\)) 微分：\(5\)
結果： \(\frac{dy}{dx} = 3(5x - 2)^2 \times 5 = 15(5x - 2)^2\)
快速回顧：P1 微分檢查清單
我們只對 \(x^n\) 的和、差或常數倍進行微分，其中 \(n\) 是有理數（例如 2, -1, 1/2, -3 等）。
常見錯誤：未能正確重寫 \(\frac{1}{3x^2\) 之類的項。請將其重寫為 \(\frac{1}{3}x^{-2}\)，而不是 \(3x^{-2}\) 或 \((3x)^{-2}\)。
3. 微分的應用
3.1 斜率、切線與法線 (Tangents and Normals)
一階導數 \(\frac{dy}{dx}\) 在特定 \(x\) 值處的值，給出了該點曲線的斜率。
求切線方程的步驟：
- 求出切線與曲線相交處的坐標 \((x_1, y_1)\)（如果只給出 \(x\)，則將其代入 \(y=f(x)\)）。
- 通過求 \(\frac{dy}{dx}\) 並代入 \(x_1\) 來計算斜率 \(m_T\)。
- 使用直線方程形式：\(y - y_1 = m_T(x - x_1)\)。
求法線 (Normal)：
法線是垂直（90°）於該點切線的線。
如果切線的斜率是 \(m_T\)，那麼法線的斜率 \(m_N\) 是：
\[ m_N = -\frac{1}{m_T} \]
例子：如果切線斜率是 2，那麼法線斜率就是 \(-1/2\)。
3.2 遞增與遞減函數
我們使用導數的符號來描述函數的行為：
- 遞增函數 (Increasing Function)：斜率為正，\(\frac{dy}{dx} > 0\)。
- 遞減函數 (Decreasing Function)：斜率為負，\(\frac{dy}{dx} < 0\)。
4. 駐點 (Stationary Points)（極大值與極小值）
駐點（或轉折點）是曲線上斜率恰好為零的點。這就是曲線暫時停止增加或減少的地方。
\[ \text{在駐點處：} \frac{dy}{dx} = 0 \]
定位及判斷駐點性質的步驟
第一步：求一階導數，\(\frac{dy}{dx}\)。
第二步：令 \(\frac{dy}{dx} = 0\)** 並求解 \(x\)。這些 \(x\) 值就是駐點的位置。
第三步：求對應的 \(y\) 坐標**，將這些 \(x\) 值代回原函數 \(y = f(x)\)。
第四步：確定性質**（是極大值、極小值，還是兩者皆非？）：
方法 A：使用二階導數測試 (\(\frac{d^2y}{dx^2}\))
- 求二階導數，\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
- 將駐點的 \(x\) 值代入 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
- 如果 \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)，則為極小值點 (Minimum Point) (U 型)。（正數意味著笑臉/山谷。）
- 如果 \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)，則為極大值點 (Maximum Point) (n 型)。（負數意味著哭臉/山丘。）
- 如果 \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\)，測試失效，必須使用方法 B。
方法 B：符號測試 (Sign Test)（如果二階導數測試失效則必須使用）
我們檢查駐點 \(x=a\) 前後斜率的符號。
- 極大值：斜率從正 (+) 變為零 (0)，再變為負 (-)。(先上升，後下降。)
- 極小值：斜率從負 (-) 變為零 (0)，再變為正 (+)。(先下降，後上升。)
註：P1 課程不需要了解拐點 (Points of Inflexion)（斜率為零但性質測試失效的情況，例如 \(y=x^3\) 在 \(x=0\) 時）。
關鍵收穫：駐點幫助我們找到函數的最高點和最低點，這對於最優化問題（例如利潤最大化或材料成本最小化）至關重要。
5. 相關變化率 (Connected Rates of Change)
在現實問題中，數量通常隨時間 (\(t\)) 而變化。本節利用連鎖律結構將兩個不同的變化率聯繫起來。
如果數量 A 和數量 B 都隨時間 (\(t\)) 變化，且 A 和 B 由一個公式聯繫起來，我們可以找到它們變化率之間的關係：
\[ \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dB} \times \frac{dB}{dt} \]
\(\frac{dA}{dB}\) 項是通過對聯繫 A 和 B 的公式進行微分得到的。
類比：想像你在吹氣球。你注入空氣的速率是 \(\frac{dV}{dt}\)（體積變化率）。我們想知道半徑增加得有多快，即 \(\frac{dr}{dt}\)。聯繫它們的是體積公式，\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)。
例子步驟（圓面積的變化）：
如果一個圓的半徑 \(r\) 以 \(0.5 \text{ cm/s}\) 的速率增加，求當 \(r=4\text{ cm}\) 時面積 \(A\) 增加的速率。
已知速率： \(\frac{dr}{dt} = 0.5\)
目標速率： \(\frac{dA}{dt}\)
聯繫公式： \(A = \pi r^2\)
第一步：找到聯繫導數： \(\frac{dA}{dr} = 2\pi r\)
第二步：使用連鎖律公式： \(\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}\)
第三步：代入數值：
當 \(r=4\)，\(\frac{dA}{dr} = 2\pi (4) = 8\pi\)
\[ \frac{dA}{dt} = (8\pi) \times (0.5) = 4\pi \text{ cm}^2/\text{s} \]
這顯示了微分能幫助我們管理多個同時變化的相關變量！
🔥 P1 微分掌握檢查清單
你必須能夠：
- 使用指數記法重寫表達式（例如 \(x^{-3}\) 或 \(x^{1/2}\)）。
- 應用冪法則：\(\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}\)。
- 將連鎖律應用於 \((ax+b)^n\) 之類的表達式。
- 求曲線上某一點的斜率。
- 求切線和法線的方程。
- 定位駐點並使用二階導數測試 (\(\frac{d^2y}{dx^2}\)) 對其進行分類。
- 使用連鎖律設置求解涉及相關變化率的問題。